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数学的公式法自然数求和公式及其应用

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-13 04:43
tags:求和公式

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自然数求和公式及其应用
聪明的高斯在九岁时就在短时间内算出了1+2+3+-- ---+100的
和,关于此公式的几种简单代数证明有好几种,本文将从几何的角度
对此公式 给出证明,然后举例说明此公式在生活中的广泛应用。
一:探究自然数求和公式与梯形面积之间的关系
1
n





n
●●●

n

最后一层共有n个
如图我们可以把左边 圆圈的个数问题转化为右边梯形面积的计算问
题。梯形的面积是S=n(n+1),所以左边圆圈的个数 是n(n+1),所以
1+2+3+-----+n=n(n+1)
此即自然数求和公式。
利用梯形面积公式,我们还可以求出不是从“1”开始的自然数或等
差数列的求和公式。而此时 求和的重点在于确定梯形的“高”。
例1、求13+14+15+-----+887的值。
我们可以仿照上面的图形解释把此问题转化为求一个梯形的面积。已
知此上底是13,下底是887, 难点在于确定梯形的“高”,即从13到
887中自然数的个数。
1
2
1
2
1
2
我们可以从最简单开始
起止数 1—2 3—7 17—35
5 19
27—66
------
m—n
50 ------ n-m+1
自然数的个数
2
所以这个两底是13和887的梯形的高就是887-13+1=875。所以此梯
形的面积是:
11
(13+887)×875=393750,所以13+14+15+- ----+887=(13+887)
22
×875=393750
更一般的,我们 还可以通过这种列表探寻规律的方法来求出等差不是
“1”的自然数的求和规律。(以等差为3的自然数 为例)
起止数
个数
1—4
2
1—10
4
2—17
6
------
------
m——n
1
(n-m)+1
3
计算11+15+19+------+411 分析,我们可以把它看做一个两底边分别是11和411,(等差为4),
高为(411-11)+ 1的梯形的面积既是所求11+15+19+------+411的值
即11+15+19+------+411=
11
(11+411)×[(411-11)+1]=21311
24
1
4
二、自然数求和公式的应用
例1、50个同窗好友见面两两握手,共握手多少次?
我们把50个同学编上从1——50的 号码。那么1号同学要与其余49
人握手49次,1号同学完成任务后2号同样与余下的48个同学握手
共握手48次------最后是49号和50号同学握手1次。于是这50个同
学握手的问题 就转化为了1+2+3+------+50的自然数求和问题。
所以握手的总次数是1+2+3+------+49=(1+49)×50=1250(次)
1
2

例2、如图直线l上有A、B、C、D、E、F、G、H 8个点,那么这8
个点一共可以确定多少条不同的线段。
A B C D E F G H
线段有两个端点,因此这类问题又可以转化为这八个线段两两握手的
问题。
由于点A 不与自己握手构成线段,所以线段的总条数是:
7+6+------+2+1=(1+7)×7=28
例3、从一点出发有6条射线,那么以O
为顶点的角有多少个?
分析:由于一个角有 两条有公共端点的两
条射线组成,所以,这又可以转化为一条
射线和另外一条射线“两两握手” 的问题。
从而转化为自然数的求和公式:5+4+3+2+1=(1+5)×5=15
问题1 :如果是从一点出发100条射线,其中不存在与问题2:顶点
三点共线的情况,那么此时共有多少条射 线呢?
如果是一条直线上有100个点,那么这100个点可以确定多少条线段
呢?
规律:他们都可以转化为1+2+3+------+99的求和问题。(想想为什么
最大数不是加到 100)
例4:实践应用
一辆列车往返北京与广州之间,若北京与广州之间共有18个站点 (不
1
2
1
2
包括北京与广州),那么在北京与广州的列车票价共有 几种?列车票
共有多种?
把问题转化为:把京广线近似地看做是一条直线,在北京与广州连同
起止站点20个站点共有多少条线段的问题。
所以不同的票价为:19+18+17+------+2+1=(1+19)×19=190(种)
练习:1、如图,共有多少个三角形



2、有10个人参加乒乓球决赛,两两对决,至少要进行多少场比赛?
1
2

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