文科就业率高的专业-河北建筑工程学院
自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法(连载一)
《自然数平方和公式推导及其应用》< br>（
http:g_）
发表以来,得到了数学爱
好者的好评。其实，那是自然数平 方和公式推导，推广到偶数、奇数自然数平方
和以及自然数立方和公式与偶数、奇数自然数立方和求法的 一种偶然思路。如何
由二项式定理推导自然数的n次幂的求和公式才是该数学问题的完美思路，其研究的结果在现实中具备广泛的现实利用价值和数学理论意义，比如它完全可以代
表等差数列N项的高 次幂求和的思路与方法。
1.自然数的1至n次幂的求和的递进推导关系
1.1自然数的1次幂的求和 即s=1+2+3+...+n实际上是一个等差为1的等差数列求和,公
式为s=n(n+1)2
1.2自然数的2次与二次以上幂的求和 s=1+2+3+...+N(n
≥
2) 不是一个等差数列，也
nnnn
不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按 等差数列，由低
次幂到高次幂递进求和。怎样转化为等差数列、怎样由低次幂递进到高次幂这才
是研究思路的重点。
当n为奇数时，由1
n
+2
n< br>+3
n
+...+N
n
与s=N
n
+(N-1)n
+(N-2)
n
+...+1
n
相加得:
2s=N
n
+[1
n
+(N-1)
n
]+[2
n< br>+(N-2)
n
]+[3
n
+(N-3)
n
]+.. .+[(N-1)
n
+(N-N-1)
n
]+N
n
=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数
nnnn
=(1+N)N
n
减去所有添加的二项式展开式数。
当n为偶数时，由1
n
+2
n
+3
n
+...+N
n
与s=N
n
+(N-1)
n
+( N-2)
n
+...+1
n
相加得:
2s=Nn
+[1
n
+(N-1)
n
]+[2
n
+(N -2)
n
]+[3
n
+(N-3)
n
]+...+[(N- 1)
n
+(N-N-1)
n
]+N
n
=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二 项式展开式
nnnn
数
又当
n为偶数时，由1n
+2
n
+3
n
+...+N
n
与s=Nn
+(N-1)
n
+(N-2)
n
+...+1
n相加得:
2s=[N
n
+1
n
]+[(N-1 )
n
+2
n
]+[(N-2)
n
+3
n
] +...+[(N-N-1)
n
+(N-1)
n
]
=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展 开式数,合
nnn
并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N
n
+( N-1)
n
+(N-2)
n
+...+1的计算
公式。
其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然
数的1至n幂的求和公式的递进推导。
1.2.1自然数的2次幂的求和 自然数的2次幂的求和是 自然数的二次以上幂的求和公式推
导的基础，它是自然数偶数次幂的开始和代表。
命s= 1
2
+2
2
+3
2
+…+N
2
,则有 < br>2s=(N
2
+1
2
)+[(N-1)
2
+2
2
]+(N-2)
2
+3
2
]+…+{[N-(N-1)]
2
+N
2
}
=(N-1)
2
+2N+(N-3)< br>2
+2×2(N-1)+(N-5)
2
+2×3(N-2) +…+(N-1)
2
+2N [N-(N-1)]
=2[(N-1)
2
+(N-3)
2
+(N-5)
2
+…+1或0](其中N为偶数时取 1,N为奇数时取0)
+2N+2×2(N-1)+2×3(N-2)+…+2N [N-(N-1)]
= 2[(N-1)
2
+(N-3)
2
+ (N-5)
2
+…+1或0]
+2N(1+2+3+…+N)-2[2×1+3×2+…+N (N-1)]
=2[( N-1)
2
+(N-3)
2
+(N-5)
2
+…+1或0] +N
2
(1+N)
-2[1-1+2×(2-1)+3×(3-1)+…+N (N-1)]
=2[(N-1)
2
+(N-3)
2
+(N-5 )
2
+…+1或0]+N
2
(1+N)
-2(1+2
2< br>+3
2
+…+N
2
-1-2-3-…-N)
即4s=2[( N-1)
2
+(N-3)
2
+(N-5)
2
+…+1或0] +N
2
(1+N)+N(1+N)……………………………….(1)
同理：
2s=N
2
+[1
2
+ (N-1)
2
]+[2< br>2
+(N-2)
2
]+[3
2
+(N-3)
2
]…+{(N-1)
2
+[N-(N-1)]
2
}+N
2
=2N
2
+(N-2)
2
+2(N-1)+(N-4)
2
+2×2(N-2)+(N-6)
2
+2×3(N-3) +…+(N-2)
2
+2(N-1)[N-(N-1)]
=2[(N-2)2
+(N-4)
2
+(N-6)
2
+…+1或0](其中N为偶 数时取0,N为奇数时取1)
+2(N-1)+2×2(N-2)+2×3(N-3)+…+2(N- 1)[N-(N-1)]+2N
2
=2[(N-2)
2
+(N -4)
2
+(N-6)
2
+…+1或0]+2N
2
+2N(1+2+3+…+N-1)-2[1
2
+2
2
+3
2+…+ (N-1)
2
+N
2
- N
2
]
=2[(N-2)
2
+(N-4)
2
+(N-6)
2
+…+ 1或0]+4N
2
+N
2
(N-1)
-2[1
2
+2
2
+3
2
+…+ (N-1)
2
+N
2
]
4s=2[(N-2)
2
+(N-4)
2
+(N-6)
2
+…+1或0]+4N
2
+ N
2
(N-1)……………………………………….(2)
由(1)+(2)得: 8s=2[(N-1)
2
+(N-3)
2
+(N-5)
2
+ …+1或0]+N
2
(1+N)+N(1+N)
+2 [(N-2)
2
+(N-4)
2
+(N-6)
2
+…+1或 0]+4N
2
+N
2
(N-1)
即8s=2s+2N
2< br>+N
2
(1+N)+N(1+N)+N
2
(N-1)
s=N(N+1)(2N+1)6
1.2.2自然数的2次以上幂的求和
从自然 数的立方和开始探讨自然数的2次以
上幂的求和的递进规律，从而总结自然数的的n次幂的求和公式。< br>
1.2.2.1自然数的立方求和
命s=1
3
+2
3< br>+3
3
+…+N
3
,则有
2s=N
3
+[ 1
3
+[(N-1)
3
]+[2
3
+(N-2)
3
]+[3
3
+(N-3)
3
]+…+[(N-1)
3
+(N-N+1)
3
]+N
3
=N
3
+[N
3
-3(N-1)
2
-3(N-1)]+[N
3-3×2(N-2)
2
-3×2
2
(N-2)]+[N
3
-3×3(N-3)
2
-3×3
2
(N-3)]+…+[N
3-3(N-
N+1)(N-1)
2
-3(N-N+1)
2
(N- 1)]+N
3
=(N+1)N
3
-3(N-1)
2
-3(N-1)-3×2(N-2)
2
-3×2
2
(N-2)-3× 3(N-3)
2
-3×3
2
(N-3)+…-3(N-N+1)(N-1)< br>2
-3(N
-1)(N-N+1)
2
=(N+1)N
3
-[3(N-1)
2
+3(N-1)]-[3×2(N-2)
2< br>+3×2
2
(N-2)]-[3×3(N-3)
2
+3×3
2
(N-3)]+…-[3(N-N+1)(N
-1)
2
+3(N-1)(N- N+1)
2
]
=(N+1)N
3
-3N(N-1)-3×2N (N-2)-3×3N(N-3)+…-3N(N-1)(N-N+1)
=(N+1)N
3
-3N[(N-1)+2(N-2)+3(N-3)+…+(N-1)(N-N+1)]
=(N+1)N
3
-3N[N+2N+3N+...+(N-1)N-1
2
- 2
2
-3
2
-...-(N-1)
2
]
=( N+1)N
3
-3N
2
[1+2+3+...+(N-1)](自然数的一次 幂)+3N[1
2
+2
2
+3
2
+...+(N-1)2
](自然数的二次
幂)
=(N+1)N
3
-3N
3
(N-1)2+(N-1)N
2
(2N-1)2
即s=N
2
(N+1)
2
4
1.2.2.2自然数的4次幂求和
命s=1
4
+2
4
+3
4
+…+N
4
,则有
2s=N
4
+[1
4
+[(N-1)
4
]+[2
4
+(N-2)
4
]+[3
4
+(N-3)
4
]+…+[(N-1)
4< br>+(N-N+1)
4
]+N
4
=N
4
+[(N-2)
4
+4(N-1)
3
-6(N-1)
2
+4(N-1)]+[(N-4)
4
+4×2(N-2)
3
-6×2
2
(N-2)
2
+4×2
3
(N-2)]+[(N-6)< br>4
+4×
3(N-3)
3
-6×3
2
(N-3)2
+4×3
3
(N-3)]
+[(N-2)
4
+4( N-N+1)(N-1)
3
-6(N-N+1)
2
(N-1)
2+4(N-N+1)
3
(N-1)]+N
4
=2N4
+2[(N-2)
4
+(N-4)
4
+(N-6)
4
+…
+1或0](其中N为偶数时取0,N为奇数时取1)
+4[(N-1 )
3
+2(N-2)
3
+3(N-3)
3
] +…+(N-1)(N-N+1)
3
]
+4[(N-1)+2
3
(N-2)] +3
3
(N-3)+…+(N-1)
3
(N-N+1)]
-6[( N-1)
2
+2
2
(N-2)
2
+3
2
( N-3)
2
+…+ (N-1)
2
(N-N+1)
2
] < br>命上式中s
1
=(N-1)
3
+2(N-2)
3
+3 (N-3)
3
] +…+(N-1)(N-N+1)
3
；
S
2
=(N-1)+2
3
(N-2)] +3
3
(N-3)+…+(N-1)
3
(N-N+1)；
S
3
=(N-1)
2
+2
2
(N-2)
2
+32
(N-3)
2
+…+ (N-1)
2
(N-N+1)
2
；
则有：
s
1
=(N-1)
3
+2(N-2)
3
+3(N-3)
3
+…+(N-1)(N-N+1)
3
=(N-1)
3
+2(N -2)
3
+3(N-3)
3
+…+(N-1)(N-N+1)
3+N
4
+(N-1)
4
+(N-2)
4
+…+(N-N +1)
4
-s
=[(N-1)
3
+ (N-1)
4]+[2(N-2)
3
+(N-2)
4
]+[3(N-3)
3< br>+(N-3)
4
]…+[(N-1)(N-N+1)
3
+(N-N+1 )
4
]+N
4
-s
=N
4
+N(N-1)3
+N(N-2)
3
+N(N-3)
3
+…+N(N-N+1)
3
-s
=N[N
3
+(N-1)
3
+(N-2 )
3
+(N-3)
3
+…+(N-N+1)
3
]-s
=N[1
3
+2
3
+3
3
+…+N< br>3
]-s
S
2
=(N-1)+2
3
(N-2)] +3
3
(N-3)+…+(N-1)
3
(N-N+1)
=N( 1
3
+2
3
+3
3
+…+(N-1)
3
] -1
4
-2
4
-3
4
-(N-1)
4
=N(1
3
+2
3
+3
3
+…+N
3
]-s
S
3
=(N-1)
2
+2
2< br>(N-2)
2
+3
2
(N-3)
2
+…+ (N-1)
2
(N-N+1)
2
=N
2< br>-2N+1+2
2
(N
2
-4N+2
2
)+3
2
(N
2
-6N+3
2
) +…+ (N-1)
2
[N
2
-2N(N-1)+(N-1)
2
]
=N
2
[1
2
+2
2
+3
2
+…+(N-1)
2
]-2N[1
3
+2
3
+3
3
+…+(N-1)
3
]+1
4
+2
4
+3
4
+…+(N-1)
4
=N
2
[1
2
+ 2
2
+3
2
+…+N
2
]-2N[1
3
+ 2
3
+3
3
+…+N
3
]+s
将s
1
、S
2
、S
3
代回上式得：
16 s=2N
4
+2[(N-2)
4
+(N-4)
4
+(N-6 )
4
+…
+1或0]+
20N[1
3
+2
3
+3
3
+…+N
3
]-6N
2
[1
2
+ 2
2
+3
2
+…+N
2
]
< br>└………………………………………………………………………………................ ................
……...(3)
同理: 命s=1
4
+2
4
+3
4
+…+N
4
,则有
2s=[N
4
+1
4
]+[(N-1)
4
+2
4
]+[(N -2)
4
+3
4
]+[(N-3)
4
+4
4
]+…+[ (N-N+1)
4
+N
4
]
= [(N-1)
4
+4N
3
-6N
2
+4N]+[(N-3)
4
+4×2(N-1)
3
-6×2
2
(N-1)
2
+4×2
3
(N-1)]+[(N-5)
4
+4×3(N-2)3
-6×3
2
(
N-2)
2
+4×3
3
(N-2)] +…+[(N-1)
4
+4(N-N+1)N
3
-6(N- N+1)
2
N
2
+4(N-N+1)
3
N
=2[(N-1)
4
+(N-3)
4
+(N-5)
4
+…< br>+1或0](其中N为偶数时取1,N为奇数时取0)
+4[N
3
+ 2(N-1)
3
+3(N-2)
3
+…+ (N-N+1)N
3
]
+4[N+2
3
(N-1)+3
3
(N-2)+…+ (N-N+1)
3
N]
-6[N
2
+2
2
(N- 1)
2
+3
2
(N-2)
2
+…+ N
2
(N-N+1)
2
]
命上式中s
4
=N3
+2(N-1)
3
+3(N-2)
3
+…+N (N-N+1)
3
；
S
5
=N+2
3
(N-1 )+3
3
(N-2)+…+N
3
(N-N+1)；
S
6
=N
2
+2
2
(N-1)
2
+3
2
(N-2)
2
+…+N
2
(N-N+1)
2
；
则有：s
4
=N
3
+2(N-1)
3
+3(N-2)
3
+…+ N (N-N+1)
3
=N
3
+2(N-1)
3
+3(N-2)
3
+…+ (N- 1)N
3
+N
4
+(N-1)
4
+(N-2)
4< br>+…+(N-N+1)
4
-s
=(N+1)N
3
+(N+ 1)(N-1)
3
+(N+1)(N-2)
3
+…+N+1-s
=(N+1)[ N
3
+(N-1)
3
+(N-2)
3
+…+1]-s
=(N+1)[ 1
3
+2
3
+3
3
+…+N
3
]-s
S
5
=N+2
3
(N-1)] +3
3
(N-2) +…+N
3
(N-N+1)+1
4
+2
4
+3
4< br>+…+N
4
-s
=N+1
4
+2
3
( N-1)+2
4
+3
3
(N-2) +3
4
+…+N
3
(N-N+1)+N
4
-s
=(N+1)[ 1
3
+2
3
+3
3
+…+N
3
]-s < br>S
6
=N
2
+2
2
(N-1)
2
+ 3
2
(N-2)
2
+…+N
2
(N-N+1)
2< br>
=N
2
+2
2
(N
2
-2 N+1)+3
2
(N
2
-4N+2
2
)+…+N
2
[N
2
-2N(N-1)+(N-1)
2
]
=N2
(1
2
+2
2
+3
2
+…+N
2< br>)-2N[2
2
+2×3
2
+…+(N-1)N
2
] +2
2
+2
2
×3
2
+…+(N-1)
2
N
2
=N
2
(1
2
+2
2
+3
2
+…+N
2
)-2N[1-1+2
3
-2
2+3
3
-3
2
+…+N
3
-N
2
]+ 1-1+(2-1)
2
2
2
+(3-1)
2
×3
2
+…+(N-1)
2
N
2
=N
2
( 1
2
+2
2
+3
2
+…+N
2
)-2N[ 1+2
3
+3
3
+…+ N
3
-1-2
2
-3
2
-…-N
2
]+1-1+2
4
-2×2
3
+2
2
+3
4
-2×3
3
+3
2
+…+N
4
-2×N
3
+N
2
=N
2
(1
2
+2
2
+3
2
+…+N
2
)-2N[1+2
3
+3
3
+…+
N
3
-1-2
2
-3
2
-…-N
2
]+1+2
2+3
2
+..+N
2
+1+2
4
+3
4
+…+N
4
-2×1
3
-2×2
3
-2×3
3< br>-…-2×N
3
=(N+1)
2
(1
2
+ 2
2
+3
2
+…+N
2
)-2(N+1)[1+2
3
+3
3
+…+ N
3
]+s
将s
4
、 S
5
、S
6
代回上式得：16s=2[(N-1)
4
+(N -3)
4
+(N-5)
4
+…
+1或0]
+20(N+1) [ 1
3
+2
3
+3
3
+…+N
3
] < br>-6(N+1)
2
(1
2
+2
2
+3
2+…+N
2
) ................................. ....………………………………………………
………………………(4)
由(3)+(4)得：
32s=2N
4
+2[(N-2)
4
+(N-4)
4
+(N-6)
4
+…
+1或0]+
20N [1
3
+2
3
+3
3
+…+N
3
]-6N
2
[1
2
+2
2
+3
2
+…+N
2
]+
2[(N-1)
4
+(N-3)
4
+(N-5)< br>4
+…
+0或1]
+20(N+1)[ 1
3
+2
3
+3
3
+…+N
3
] -6( N+1)
2
(1
2
+2
2
+3
2
+…+N
2
)
即32s=2[N
4
+ (N-1)
4
+( N-2)
4
+(N-3)
4
+(N-4)
4
+(N-6)< br>4
+(N-5)
4
+…
+1]
+20(2N+1)[ 1
3
+2
3
+3
3
+…+N
3
]
-6(2N
2
+2N+1)(1
2
+2
2
+3
2
+…+N
2
)
=2s+20(2N+1)N
2
(N+1)
2
4-(2N
2
+2N+1)N(N+1)(2N+1)
即30s=5(2N+1)N
2
(N+1)
2
4-(2N
2
+2N+1)N(N+1)(2N+1)
s= N(N+1)(2N+1)(3N
2
+3N-1)30
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本文更新与2020-09-13 04:52，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/393285.html