短路电流公式待定系数法构造等比数列求通项公式

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待定系数法构造等比数列求通项公式

作者：吴会刚

来源：《新课程学习·下》2014年第11期

数列的通项公式是从函数的视角反映数列的本质的，而待定系数法又是高中数学中重要的
方法之一，借助 该方法构造等比数列可以求出几类数列的通项公式。
类型一：形如an+1=Aan+B（A≠0，B≠0）的数列.
例1.已知数列an满足：a1=1，an+1=4an+1（n∈N*），求数列an的通项公式.
类型二：形如an+1=Aan+Bn（A≠0，B≠0）的数列.
例2.已知数列an满足a1=1，an+1=2an+4n（n∈N*），求数列an的通项公式.
类型三：形如an+1=Aan+Bn2 +Cn+D（A≠0，B≠0，C≠0，D≠0）的数列.
例3.已知数列an满足：a1=1，an+1=2an+n2+3n+1，求数列an的通项公式.
解析：因为a1=1，an+1=2an+n2+3n+1，设
an+1+x（n+1）2+y（n+1）+z=2（an+xn2+yn+z）展开化简得：
an+1=2an+xn2+（y-2x）n+z-x，根据待定系数法，与已知条件比较系数得：
x=1，y-2x=3，z-x=1，故：x=1，y=5，z=2，代入所设的形式中得：
an+1+（n+1）2+5（n+1）+2=2（an+n2+5n+2），
例4.已知数列an满足：a1=8，an+1=4an-6·2n+1（n∈N*），求数列an的通项公式.
解析：因为a1=8，an+1=4an-3·2n+1，设an+1-x·2n+1 =4（an-x·2n），展开得an+1=4an-
2x·2n.由待定系数法知x=3再将x=3， 代入上面已设的形式中得：
an+1-3·2n+1=4（an-3·2n）从而数 列an-3·2n是以2为首项，4为公比的等比数列。故，an-
3·2n=2×4n-1，即an= 2×4n-1+3·2n
类型五：形如an+1=Aan+Bm2+Cn+D（A≠0，B≠0，C≠0，D≠0）的数列.
例5.已知数列an满足：a1=-1，an+1=-2an-4·3n-3n+2（n∈N*），求数列an的 通项公式.