带公式复制高一数学数列解题方法[基础]

数学高考总复习：数列的应用
编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅
知识网络：



目标认知

考试大纲要求：

1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用；
2.掌握常见的求数列通项的一般方法；
3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问
题.
4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问
题.

重点：

1.掌握常见的求数列通项的一般方法；
3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题

难点：

用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.

知识要点梳理

知识点一：通项
任意数列
与前n项和
的前n项和
的关系

；

注意：由前n项和
（1）求，

求数列通项时，要分三步进行：
（2）求出当n≥2时的，
中的n=1时有成立，则最后的 （3）如果令n≥2时得出的
通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.

知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法

1.迭加累加法：

则


2.迭乘累乘法：
，
，
，…，


，
则，，…，



知识点三：数列应用问题

1.数列应用问题的教学已成为中学数学教 学与研究的一个重要内容,
解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）< br>以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
2.建立数学模型的一般方法步骤.
①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
⑴明确问题属于哪类应用问题；
⑵弄清题目中的主要已知事项；
⑶明确所求的结论是什么.
②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适< br>当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
③将实际问题抽 象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出
满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式 ）.

规律方法指导

1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；
2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如
通项公式、前n项和公式等.
3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内
容的综合.解决这些问题要注意：
（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；
（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题
的综合能力.
精析

类型一：迭加法求数列通项公式

1．在数列中，
，
时，
，
，
，


个式子相加得到：
，，求.
解析：∵
当





将上面

∴（），

当
故
总结升华：
1. 在数列
不是等差数列.
时，
.
符合上式
中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子
2.当数列的递推公式是形如
举一反三：
【变式1】已知数列

，，
的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法
，求.
【答案】

【变式2】数列

【答案】

.
中，

，求通项公式.
类型二：迭乘法求数列通项公式



解析：由题意
∴
∵，∴，


2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.
∴，
∴，又，
∴当
当
时，
时，符合上式
，
∴
总结升华：
1. 在数列
数列
中，
.
，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关
不是等比数列.
的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得. 2．若数列有形如
举一反三：
【变式1】在数列

中，，，求.
【答案】


【变式2】已知数列

中，，，求通项公式.
【答案】由得，∴ ，
∴
∴当时，
，


当
∴

时，符合上式

类型三：倒数法求通项公式



3．数列中，,，求.
思路点拨：对两边同除以得即可.
解析：∵，∴两边同除以得，
∴成等差数列，公差为d=5，首项，
∴，
∴
总结升华：
1．两边同时除以
.
可 使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都
构成一个新的数列，而 恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.
2．若数列有形如
举一反三：
的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.
【变式1】数列

中，，，求.
【答案】


【变式2】数列

中，,，求.
【答案】

.
类型四：待定系数法求通项公式



4．已知数列中，，，求.
法一：设，解得
即原式化为
设，则数列

为等比数列，且
∴
法二：∵ ①
②
由①－②得：
设，则数列

为等比数列
∴
∴
∴
法三：，，，……，
，
∴
总结升华：
1．一般地，对已知数列

的项 满足，（为常数，）,则可设得
利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了 递推关系式作差，构造
这两种方法均是常用的方法.
2．若数列有形如
举一反三：
（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.
【变式1】已知数列

中，，求
【答案】令，则，
∴，即
∴，
∴为等比数列，且首项为，公比，
∴，
故

.
【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.

【答案】∵，∴
设，则，即，
∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，
∴，∴.
∴.

类型五：和的递推关系的应用

5．已知数列中，是它的前n项和，并且,
(1)设,求证：数列是等比数列；
(2)设，求证：数列是等差数列；
(3)求数列的通项公式及前n项和.

解析：
（1）因为，所以
以上两式等号两边分别相减，得

即，变形得
因为 ，所以
.
由此可知，数列
由
所以
所以
, 所以
.
是公比为2的等比数列.
,,
,
（2） ，所以
将 代入得
由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项，
故.
（3）
当n≥2时，
∴
由于
故所求
，所以


也适合此公式，
的前n项和公式是.

总结升华：该 题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等 差或等比数列，这
的常见策略.
举一反三：
【变式1】设数列
（1）求证：数列
首项为1，前n项和
是等比数列；
满足.
（2）设数列
【答案】
的公比为，作数列，使，，求的通项公式.
（1），
∴
∴，
又
①－②


∴，
∴是一个首项为1公比为的等比数列；
（2）
∴
∴是一个首项为1公比为的等差比数列
∴

【变式2】若

【答案】当n≥2时，将
∴
整理得
,

()，求.
代入
,

,
两边同除以得 （常数）
∴是以为首项，公差d=2的等差数列，
∴ ，
∴

.
【变式3】等差数列

【答案】∵
中，前n项和，若.求数列的前n项和.
为等差数列，公差设为,
∴
∴
∴
,
,
,
若，则, ∴.
∵
∴
∴
∴

①-②得

∴
,∴
，
,
,
①
②




类型六：数列的应用题

6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间 距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，
面小旗，要使他走的路最短 ，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？

思路点拨： 本题求走的总路程最 短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一
程，然后求和.
解析：设将旗集中到第x面小旗处，则
从第一面旗到第面旗处，共走路程为了
回到第二面处再到第面处是
回到第三面处再到第面处是
，
面处取旗再回到第面处的路程为，
，
，
，
从第面处到第
从第面处到第

面处取旗再回到第面处，路程为20×2，
总的路程为：

∵，∴时,有最小值

答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短.
总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.
举一反三：
【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，则 该企业2007年年度产值的月平均增长率为（
A． B． C． D．

【答案】D；
解析：从2月份到12月份共有11个月份比基数（1月份）有产值增长，设为，
则

【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为
共计元，则该人存款的本金为（ ）

，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税（
A．1.5万元 B．2万元 C．3万元 D．2.5万元

【答案】B；
解析：本金利息／利率，利息利息税／税率



【 变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足
利 息
本金
（元），
（元）
.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是( )
A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．9月、10月

【答案】C；
解析：第个月份的需求量超过万件，则

解不等式，得

，即.

【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元 ，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年
4千元，第三年6千元，依 次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）

【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用.

当且仅当，即（年）时等到号成立.
因此该汽车使用10年报废最合算.

【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万 平方米的旧住房.假定该市每年新建
年年底住房面积的5%.
（1）分别求2007年底和2008年底的住房面积；
（2）求2026年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）

【答案】
（1）2007年底的住房面积为1200(1+5%)－20=1240（万平方米），
2008年底的住房面积为1200(1+5%)－20(1+5%)－20=1282（万平方米），
∴2007年底的住房面积为1240万平方米；
2008年底的住房面积为1282万平方米.
（2）2007年底的住房面积为[1200(1+5%)－20]万平方米，
2008年底的住房面积为[1200(1+5%)－20(1+5%)－20]万平方米，
2009年底的住房面积为[1200(1+5%)－20(1+5%)－20(1+5%)－20]万平方米，
…………
2026年底的住房面积为[1200(1+5%)―20(1+5%)―……―20(1+5%)―20] 万平方米
即1200(1+5%)―20(1+5%)―20(1+5%)―……―20(1+5%)―20
201918
2019
32
2
2

≈2522.64（万平方米），

∴2026年底的住房面积约为2522.64万平方米.

高考题萃

1．（2008四川）设数列
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明：
；
是等比数列；
的前项和为.
（Ⅲ）求的通项公式.
解析：
（Ⅰ）因为
∴
由
所以

∴
（Ⅱ）由题设和①式知
所以
（Ⅲ）
是首项为2，公比为2的等比数列.




知
，
，
，得 ①
，
2．（2008全国II）设数列
（Ⅰ）设
（Ⅱ）若
，求数列
，
的前项和为．已知，，．
的通项公式；
，求的取值范围．
解析：
（Ⅰ）依题意，
由此得
因此，所求通项公式为
（Ⅱ）由①知
于是，当

时，
，
，，
．
，．①
，即，
，
当
又
时，
．
．
．
综上，所求的的取值范围是
3．（2008天津）已知数列
（Ⅰ）设
（Ⅱ）求数列
（Ⅲ）若是
中，
，证明
，，且．
是等比数列；
的通项公式；
与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．
解析：
（Ⅰ）由题设
即
又
所以
，
．
，
，得，
是首项为1，公比为的等比数列．
，，……，
．
． （Ⅱ）由（Ⅰ），
将以上各式相加，得
所以当
上式对
时，
显然成立．
时，显然
可得
不是与

（Ⅲ）由（Ⅱ），当
由
的等差中项，故
，
．
由
整理得
解得
得 ①
，
或（舍去），于是．
另一方面，，

由①可得
所以对任意的，是与
．
．
的等差中项．
4．（2008陕西）已知数列
（Ⅰ）求的通项公式；
的首项，，．
（Ⅱ）证明：对任意的，，；
（Ⅲ）证明：．
解析：
（Ⅰ），，，
又，是以为首项，为公比的等比数列．
，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，


原不等式成立．
，
另解：设，
则
，当时，；当时，，


当时，取得最大值．
原不等式成立．
，有 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的

．
令，则，

原不等式成立．
．
学习成果测评

基础达标：

1．若数列

中，且(n是正整数)，则数列的通项=____.
2．对正整数n，设曲线

3. 设
且

4. 如 果函数
是等比数列，
，则数列
在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n 项和的公式是________
是等差数列，且，数列的前三项依次是，
的前10项和为____________.
满足：对于任意的实数，都有，且，则


____________
5．已知数列

6．已知数列

中，, ()，求通项公式.
中，，，，求的通项公式.
7．已知各项均为正数的数列

的前项和满足，且，，求的通项公式.
8．设数列
（Ⅰ）求数列
满足
的通项；
，．
（Ⅱ）设

，求数列的前项和．
能力提升：

9．数列的前项和为
的通项
，
；
，．
（Ⅰ）求数列
（Ⅱ）求数列

的前项和．
10．数列

的前n项和为, 已知是各项为正数的等比数列，试比较与的大小关系.
11．某国采用养老储备金制度．公民在就 业的第一年就交纳养老储备金，数目为
年所交纳的储备金数目
如果固定年利率为
，以后 每年交纳的数目均比上一年增加
是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采 用固定利率，而且计算复
，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变 为
示到第年末所累计的储备金总额．
（Ⅰ）写出
（Ⅱ）求证：

与的递推关系式；
，其中是一个等比数列，是一个等差数列．
12．2007 年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2008年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和 盖房等用地
积的2%被非绿化.
（1）设该县的总面积为1，2007年底绿化面积为
（2）求数列的第n+1项；
，经过n年后绿化的面积为，试用表示；
（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超 过60%.（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

综合探究：

13．已知函数
（Ⅰ）用表示；
，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数
（Ⅱ）若
（Ⅲ）若

，记
，，
，证明数列
是数列
成等比数列，并求数 列
的前n项和，证明.
的通项公式；
参考答案：

基础达标：
1.
答案：
解析：由题设的递推公式可得

∴
2．
答案：2-2
解析：
曲线
，
在x=2处的切线的斜率为
n
n+1

即,
，切点为（2，-2）,
n
所以切线方程为y+2=k(x-2),
令x=0得,令.
数列
3. 答案：978
4. 答案：
5．

的前n项和为2+2+2+…+2=2-2
23nn+1
解析：将递推关系整理为
两边同除以
当时，
得

将上面
，，……，
个式子相加得到：
，即，
∴
当时，
（）.
符合上式
故
6.
解析：由题设



∴
所以数列
∴
即
7.
的通项公式为

.


．
是首项为，公比为
，
，．
的等比数列，
解析：由
由假设，因此
，解得
，
或，
又由
得
因
因此
故
8.
解析：
的通项为
，故
，从而
，即
不成立，舍去．
或
，
，
是公差为，首项为的等差数列，
．
（Ⅰ）， ①
∴当时， ②
①-②得，．
在①中，令，得符合上式
∴．
（Ⅱ）


④-③得
，∴．
， ③
． ④
．
即

能力提升：
9．
解析：
，．
（Ⅰ）
又

∴
当
数列
，
，
，
是首项为，公比为的等比数列，
．
时，，

（Ⅱ）
当
当




得：
时，
时，
；

，
， …………①
，…………②

．

又也满足上式，
．

10.
解析：∵
则有
．
为各项为正数的等比数列，设其首项为
, ，(
，公比为,
),
∴，即
（1）当
而
时，
,
，

,
∴

∴
（2）当
时，
时，
.
，,
∴

①当时，， ∴
②当时，， ∴
③当时，，∴
综上，（1）在时恒有
（2）在时，①若则；
②若则；
③若
11.
解析：
（Ⅰ）
（Ⅱ），
则.
．
对


反复使用上述关系式，得

， ①
，得
②

在①式两端同乘

②①，得
．
即．
如果记，，则．
其中是以为首项，以为公比的等比数列；

12.
解析：
是以为首项，为公差的等差数列.
（1）设2007年底非绿化面积为b
1
，经过n年后非绿化面积为
于是a
1
+b
1
=1，
依题意，

.
是由两部分组成：
一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余面积，
另一部分是新绿化的面积，
∴.
（2），.
数列是公比为，首项的等比数列.
∴.
（3）由，得，，
，
∴至少需要7年的努力，才能使绿化率超过60%.

综合探究：
13.
解析：
（Ⅰ）由题可得
所以曲线
即
令，得
．
在点
．
，即．
处的切线方程是：．
显然，∴．
（Ⅱ）由，知，
同理．
故．
从而，即．
所以，数列成等比数列．
故，即．
从而，所以
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴
∴
当时，显然．

当时，
∴
综上，
．
．