圆台体积计算公式等比数列概念优秀课程教案

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等比数列的概念教案
教学目标
1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它
的通项公式．
2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维
等能力．
3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．
教学重点和难点
重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用．
难点：对要领的深刻理解．
教学过程设计
(一)引入新课
师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差 数列，今天我们一
起研究第二类新的数列──等比数列．
(板书)三 等比数列
(二)讲解新课
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师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有 一字之差，一个
是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解．
(要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解)
生：数列1，3，9，27，…
师：你为什么认为它是等比数列呢？
生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列．
(先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，
以防限制其他学生的思维)
师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项
大，能否再举一个一项比一项小的．

师：你对等比数列的理解呢？

生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数．
师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例
子．

(若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了)
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师：下面再举例子又增加点要求 ，既然要去研究它，说明它一定有
实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子．
生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细
胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细 胞．这样分裂继续下去，细胞个
数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数< br>列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列．
师：这个例子举得很好，不仅能够发 现生活中的数学问题，还能把
数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值．
说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个
定义呢？
生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这
个数列就叫做等比数列．
师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，
这每一项应从数列的第二项起，否则第 一项没有前一项，也就做不出这
个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列．
生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个
常数，那么这个数列叫做等比数列．
师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来．
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(板书)1．定义 如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比
都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做公比，记
作q．
(教师在叙述的同时，再强调为突出所做出的比都相等，应写为同
一个常数更准确)
师： 记住这句话并不难，关键是如何理解它，并利用它解决问题，
先回到刚才几个例子看它们是否是等比数列 ，如果是，公比是多少？


师：好，公比会找了，再来看这样一件事，等比 数列从定义上与等
差数列有很多密切关系使我们想到，有没有这样的数列，它既是等差数
列也是 等比数列呢？
生：有，如数列1，1，1，1，…是一个以0为公差的等差数列，也
是以1为公比的等比数列．
师：除了这个数列以外，还能再举一个吗？


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师：他们举的例子都是对的，而且从例子中数列的特征，使我们联
想到，形如a，a，a，…(a∈R) 的数列好像都满足既是等差又是等比数列，
是这样吗？
(可让学生作短暂的讨论，再找学生回答)
生：形如a，a，a，…这样的数列一定是等差数列( 这一点可以由等
差数列的定义加以证明)．但它未必是等比数列．
师：能具体解释一下吗？
生：当a=0时，数列每一项均为零，都不能作比，因此不是等比数
列，a≠0时，此数列是等比数列．
师：这个回答非常准确，通过对这个问题的研究，对于我们进一步
认识等比数列有什么帮助 吗？从中得到什么启示吗？
生：等比数列中的每一项都不能为零，因为在定义中，数列中每一
项都要做分母，所以均不能为零．
师：这一点实际上是隐含在定义的叙述之中的，从另一个角度上讲，
数列各项均不为零是这 个数列成等比数列的什么条件呢？
生：是必要非充分条件．
师：这是我们对等比数列进一步理解得到第一点共识．
(板书)2．对定义的理解
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(1)“a
n
≠0”是数列｛a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．
师：这一点是对等比数列的项的特殊要求，这与等差数列也是不同
的．
下面 从另外一个角度研究一下定义，数学定义一般都是用文字语言
叙述表达的，但是在使用时往往需要符号化 ，因此下面试用数学符号语
言来描述它？

师：这种描述过于具体，能否用简单的一个式子来概括这么多个比
的等．

师：由于n可取任意自然数，故a
n+1
可表示数列中每一项，a
n
可表示相应的前一项，因此这一个比可以代表无数多个比的相等，所以这个
式子与定义是等价的．


师：这个比式也可作为我们判断一个数列{a
n
}是否是 等比数列的依
据．这样我们就完成了对等比数列的定义的研究、回顾一下研究过程．主
,. < br>要做了这样两件事：一是利用类比方法得到了等比数列的定义；二是用
抽象概括将定义翻译为符号 语言，并能利用它证明一个数列是否是等比
数列．
下面要进一步研究等比数列，必须先搞 清怎么表示一个等比数列，
要表示数列，需先确定这个数列，确定一个等比数列几个条件呢？
生：两个条件．
师：哪两个条件？
生：可以是首项和公比
师：如果 等比数列｛a
n
｝，首项为a
1
，公比为q，你会用什么方法
来表示 这个等比数列呢？
生：可以表示为a
1
，a
2
，a
3
，a
4
…这是常用的列举法
师：刚才举例时用的就是这种表示方法，除此之外，还有其它表示
法吗？

师：这两种表示法各有所长，但使用最方便的还是通项公式法．即
如果已知{a
n
}是 等比数列，首项是a
1
，公比是q，如何用n的解析式表
示数列中的第n项呢？
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(板书) 3．等比数列的通项公式
(1)已知等比数列｛a< br>n
｝，首项为a
1
，公比为q，则a
n
=？
生：a
n
=a
1
q
n-1
(n∈N
+
)．
师：你是怎么得到的．
生：根据已知条件，数列可以写成a
1
，a
1
q，a
1
q
2
，a
1
q
3，…从而发
现规律，归纳出第n次a
n
=a
1
·q
n- 1
．
师：归纳的结论是正确的，且用的方法，调动的知识都非常好，寻
找通项即 寻找项的一般规律，先看特殊项，写出几项，再归纳出一般结
论．这种方法是不完全归纳法，因此这个结 论的正确性是需要证明的(请
同学们课下完成)．
(板书)a
n
=a
1
q
n-1
(n∈N
+
)．
(2)对公式的认识与理解
师：对于这个通项公式，可以从几个方面去认识它呢？
(这不是第一次遇到这类公式，学生应知道从什么角度去认识公式)
生：可以从函数观点去认识，把通项公式看作关于n的解析式．
师：与什么函数的解析式相类似．
生：指数函数．
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师：它类似于指数函数解析式，说明它在某些方面可能与指数函数
有联系．
生：还可以把它看作一个方程，用方程思想来求解其中的量．
师：方程中有四个量，知三求一是最 简单的公式应用，不过当已知
a
1
，q和a
n
，求n时，此时的方程 是个指数方程，求解时需多加注意．如
｛a
n
｝是等比数列，首项是2，公比是2，那 么256是数列中第几项？
生：因为a
n
=a
1
q
n -1
，则a
n
=2·2
n-1
=2
n
．又a
n
=256，得256=2
n
．解
得n=8．
师：其它的例 子不再举了．但如果只知二，那么就能求二，但求二
恐怕一个方程就不能解决了，需要方程组才能解决． 这也就是通项公式
的不同层次的应用了，下面一起看这样一个题目．
(板书) 例1 一个等比数列的第二项是2，第三项与第四项的和是
12，求它的第八项的值．
师：拿到这个题目，你打算怎样设计你的求解方案，或者说对这个
题目有什么想法．
生：想求出首项和公比．
师：为什么要求出它们呢？
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生：有了首项和公比，就有了通项公式，就可以求出数列中任何一
项．
师：好，这就是计 算中要抓基本量的思想．首项和公比就是等比数
列的两个基本量．下面我们具体开始解，大家共同完成这 个题目的求解．



师：怎么解这个方程组呢？

生：②÷①得q＋q
2
=6．解得q=－3或q=2．

师：最后结果是正确的，但在具体求解过程中还有值得改进的地方．
此题要求的是a
8< br>，即a
1
q
7
=a
1
q·q
6
=2 q
6
．故只要把q求出即可求出
a
8
的值．这样在解方程组时就不必 求出a
1
，从而使运算过程得以简化．
(板书) 解：设等比数列的首项为a
1
，公比为q．则由已知得
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②÷①得q
2
＋q=6．解得q=－3或q=2．则

a
8
=a
1
q
7
=a
1
q·q
6
=2·q6
=2·(－3)
6
=1458或a
8
=2q
6
=2·2
6
=27=128．故
数列第八项是1458或128．
师 ：通过这个小题的计算，发现这类型题目主要是方程思想的应
用．应用过程中主要是三个基本步骤：设、 列、求，通过刚才的实践，
你们觉得在这三步上应该注意什么呢？
生：设未知数应注意设等比数列的基本量首项和公比．在解方程组
时，通常会用到乘除消元的方法．
师：总结得不错，在注意以上几点的同时，还应注意利用分析综合
法寻求已知和所求之间的 联系，以达到简化运算的目的．
下面我们一起看例2．

(此题先让学生讲明思路，根据时间完成主要内容即可)
师：这个题目应从哪里入手解决呢？
生：应先判断这个数列是否是等比或等差数列．
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师：为什么要做这件事呢？
生：因为知道了是什么样的数列，就可以找出其通项公式，就可以
判断某个数是否是数列中的项．
师：如果判断它是否是等差或等比数列呢？



师：好，这种思路是可行的，除此之外还有其他思路吗？
生：可以利用2a
n
=3a
n+1
(n∈N
+
)找到 2a
1
=3a
2
，2a
2
=3a
3
，…
2a
4
=3a
5
，可以找

师：这种方法把 一般关系具体化，有一定可取之处，但有一定的偶
然性，因此两种思路比较而言，另一种方案更具一般性 ．
下面请同学把这种方案具体实施一下．

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(让一个学生就说一个重要环节，并及时指出表述上的问题)
师：这两步是等价的吗？
生：不等价，应保证a
n
≠0才等价．
师：题目中能保证a
n
≠0吗？
生：根据条件“各项均为负”可以保证a
n
≠0．
师：在表述上应怎样调整呢？






(提醒学生，开方时必须指明a
1
＜0，才能保证只有一解)

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师：在这个题目求解过程中注意这样几点：
(1)判断数列是等比数列时，将条件变形为比的形式，注意变形的
等价性；
(2)判断某个数是否是数列中的项，只需将该数代入通项公式，并
解此方程，看是否有正整数解．
(四)小结
师：这节课主要学习了一个重要概念等比数列和一个重要的公式等
比数列的通项公式．
(1)对于这个概念要注意与等差数列的类比中把握它们的区别与联
系．
(2)对于通 项公式除了记住内容，了解推导之外，关键是能用方程
观点去认识，并应用它解决有关问题．
(五)布置作业
课本习题(略)
课堂教学设计说明
等比数列是在等 差数列之后介绍的，因此它的数学方法不能简单地
重复等差数列．应当既(体现)出两者的联系，又有所 变化且有所提高．因
此在教学方法上突出了类比思想的使用，教师为学生创造好使用的条件，
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引导学生自己研究相关内容如定义、表示方法．通项公式及对公式的认
识，通过学生的研究 ，探索，加上老师概括总结，既充分发挥学生的主
体作用又体现教师的主导作用．
等比数 列的通项公式应用是等比数列这段知识的重点，也是本节课
的重点，方程思想的应用是公式应用的核心和 关键．所以必须了解方程
思想应用的特点，首先必须用方程的观点去认识等比数列的基础知识；
再从本质上把握公式．其次在运用方程思想解题时，对于设元要抓好其
中的关键量；最后在运用方程思想 时需恰当应用整体代入，设而不求，
如例1的计算应注意把a
2
=2的条件整体代入到 所求的a
8
中，从而使a
1
设而不求．