利润百分比计算公式第1课时等比数列的概念及通项公式达标练习含解析

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第1课时等比数列的概念及通项公式达标
练习含解析

[A 基础达标]
1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比q为( )
A．2 B．4
．8 D．16
解析：选B.由anan＋1＝16n，知a1a2＝16 ，a2a3＝162，
后式除以前式得q2＝16，所以q＝±4.因为a1a2＝a21q＝16＞0，所以q＞0，所以q＝4.
2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，
则实数a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
．a≠0 D．a≠0且a≠1
解 析：选D.由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数
列，则a需满足a≠0，a(1－a) ≠0，a(1－a)2≠0，所以a
≠0且a≠1.
3．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若a＝
a1a2a3a4a5，则等于( )
A．9 B．10
．11 D．12
解析：选.在等比数列{an}中，因为a1＝1，所以a＝
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a1a2a3a4a5＝a51q10＝q10.又因为a＝ q－1，所以－1＝10，
所以＝11.
4．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x
上，则a4的值为( )
A．7 B．8
．9 D．16
解析：选B.因为点(an，an＋1)在直线y＝2x上，
所以an＋1＝2an.
因为a1＝1≠0，
所以an≠0，
所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以a4＝1×23＝8.
5．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等
比数列，其公比为( )
A.53 B．43
.32 D．12
解析：选A.设这个数为x，
则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，
解得x＝25，
所以这三个数为45，75，125，公比q为7545＝53.
6．(1)把下面数列填上适当的数．
32，16，________，4，2，1.
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(2)数列2，4，8，16，32，…，的一个通项公式为________．
解析：(1)公比为12的等比数列．
(2)该数列为等比数列，首项a1＝2，公比q＝2，所以
an＝a1qn－1＝2n.
答案：(1)8 (2)an＝2n
7．已知等比数列{an}的前三项为a－2，a＋2，a＋ 8，
则2a1＋a22a3＋a4等于________．
解析：由题意知(a＋2)2＝(a－2)(a＋8)，
所以a＝10，
所以{an}的首项为8，公比为32，
即an＝8×32n－1，
所以2a1＋a22a3＋a4＝2×8＋8×322×8×94＋8×278
＝49.
答案：49
8．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则
此数列的 公比q＝________．
解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}单调递增，得q>1，所以q＝2.
答案：2
9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝12，求n.
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解：(1)因为a5＝a1q4＝a3q2，
所以q2＝a5a3＝14.
所以q＝±12.
当q＝12时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝
32×12n－3＝28－n；
当q＝－12时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3
＝
32×－12n－3.
所以an＝28－n或an＝32×－12n－3.
(2)当an＝12时，28－n＝12或32×－12n－3＝12，解
得n＝9.
1 0．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a2n－
(2an＋1－1)an－2an＋1＝ 0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)由题意可得a2＝12，a3＝14.
(2)由a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0
得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，
所以an＋1an＝12.
故{an}是首项为1，公比为12的等比数列，因此an＝
12n－1.
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[B 能力提升]
11．设x∈R，记 不超过x的最大整数为[x]，如[2.5]
＝2，[－2.5]＝－3，令{x}＝x－[x]，则5 ＋12，5＋12，5
＋12，三个数构成的数列( )
A．是等比数列但不是等差数列
B．是等差数列但不是等比数列
．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
解析：选A.因 为5＋12＝1，所以5＋12＝5＋12－5＋12
＝5＋12－1＝5－12.由于5－12·5＋ 12＝12，5－12＋5＋12
＝5≠2×1，所以5－12，1，5＋12成等比数列，不成等差< br>数列，即5＋12，5＋12，5＋12成等比数列，不成等差数列．
12．已知等比数列 {an}中，a1＝1，且a1，12a3，2a2
成等比数列，则an＝________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，
则a2＝q，a3＝q2.因为a1，12a3，2a2成等比数列，
所以14q4＝2q，解得q＝2，所以an＝2n－1.
答案：2n－1
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式；
(2)设bn＝an＋1＋2an，求证：数列{bn}是等比数列．
解：(1)因为Sn＝2an＋1，所以Sn＋1＝2an＋1＋1，
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Sn＋1－Sn＝an＋1＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)
＝2an＋1－2an，
所以an＋1＝2an①，
由已知及①式可知an≠0.
所以由an＋1an＝2，知{an}是等比数列．
由a1＝S1＝2a1＋1，
得a1＝－1，所以an＝－2n－1.
(2)证明：由第一问知，an＝－2n－1，
所以bn＝an＋1＋2an＝－2n－2×2n－1＝－2×2n＝－
2n＋1＝－4×2n－1.
所以数列{bn}是等比数列．
14．(选做题)在公差不为0的等差数列{an} 和等比数列
{bn}中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.
(1)求数列{an}的公差和数列{bn}的公比；
(2)是否存在a，b，使得对于一切自然 数n，都有an＝
lgabn＋b成立？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理
由．
解：(1)设{an}的公差为d(d≠0)，{bn}的公比为q(q≠
0)，由已知a 1＝b1＝1，a2＝b2，得1＋d＝q.由a8＝b3，得
1＋7d＝q2，解得q＝1，d＝0( 舍去)或q＝6，d＝5，即数列
{an}的公差为5，数列{bn}的公比为6.
(2)假设存在a，b，使得an＝lgabn＋b成立，即1＋(n
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－1)·5＝lga6n－1＋b，所以5n－4＝(n－1)lga6＋ b，所以
(5－lga6)n－(4＋b－lga6)＝0.要使上式对于一切自然数n
成立， 必须且只需5－lga6＝0，4＋b－lga6＝0.解得a＝56，
b＝1.因此，存在a＝56， b＝1使得结论成立．


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