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审计的公式中数学人教A版(2019) 选择性必修《作业推荐》—等比数列前n项和综合篇—解析版

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-13 08:34
tags:等比数列公式

舞蹈研究生-诗经中的经典名句


《作业推荐》

等比数列前
n
项和综合篇

一、单选题
(

50

)
1.设为等比数列
A.
1

【答案】
C
【解析】

【分析】

的前项和,
B.
2

,则的值为( )
C.
3
D.
4
设等比数列的公比为,根据已知条件求得公比,即可求得结果.
【详解】

设等比数列的公比为,因为,
故可得
因为数列
,故可得
是等比数列,

故,故可得.
又 .
故选:
C.
【点睛】

本题考查等比数列基本量的计算,属基础题
.
2.已知数列
( )
A.34
【答案】
B
【解析】

【分析】

是公比大于1的等比数列,若
B.255 C.240
,则
D.511
由,结合,求得,再代入等比数列前n项和求解.
【详解】

因为,
所以,
所以.
故选:
B
【点睛】

本题主要 考查等比数列的性质及其前
n
项和,还考查了运算求解的能力,属于基础题
.
3.已知正项等比数列
的关系是( )
的前项和为,,且,,成等差数列,则与
A. B.
C.
【答案】
A
【解析】

【分析】

D.
设等比数列的公比为
得答案.
【详解】

,由已知列式求得 ,再由等比数列的通项公式与前项和求解
设等比数列的公比为,由,,成等差数列,得,
又,所以,即,所以,
又,所以,所以,,
所以
故选:
A.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式与前项和,考查等差数列的性质,属于中档题.
4.已知等比数列
A.
的前项和为,若
B. C.
,且
D.
,则

( )
【答案】
B
【解析】

【分析】

由等比数列的定义可得,再利用等比数列的性 质可得,进而
根据等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】

由题,因为数列是等比数列,,
所以,
因为,所以,即,
所以,即,
所以
故选
:B
【点睛】

,则当时,,
本题考查等比数列的性质的应用,考查等比数列定义的应用,考查等比数列的前项和.
5.已知等比数列
A.1
【答案】
A
的前n项和为,若
B.
,则
C.2019
( )
D.
【解析】

【分析】

根据等比数列通项公式及求和公式代入等式化简,即可求得公比,进而求得
【详解】

.
数列为等比数列,且,
当时,所以上述等式不成立,因而,
则,
化简可得,

故选:
A.
【点睛】

本题考查了等比数列通项公式与求和公式的简单应用,属于基础题
.
6.已知数列为等比数列,,数列的前项和为,则等于( )
A.
【答案】
A
【解析】

【分析】

B. C. D.
由,可得等比数列的首项和公比,进而可求得数列的首项和
公比,然后套用等比数列的求 和公式,即可得到本题答案.
【详解】

设数列的公比为,由题知,,解得,所以数
列是以8为首项,为公比的等比数列,所以.
故选:
A.
【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用,考查计算能力,属于基础题
.
7.已知
( )
,,,,设数列的前项和为,则
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】

【分析】

由得出 ,利用数列的递推公式推导出数列为等比数列,
确定该数列的首项和公式,利用等比数列的求和公式可计 算出
【详解】

的值.
,,,
则,且,
所以数列
故选:
C.
【点睛】

是首项为,公比为的等比数列,则.
本题考查递推数列的应用,同时也考查了等比数列求和公 式的应用,推导出数列
的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
是解题
,明 代数学家程大位所著,是中国古代数学名著
.
其中有这样一段记载:

三百< br>8.
《算法统宗》
七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”
其大意是,有人要去某
关口,路程为
378
里,第一天健步行走,从 第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天
的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第四天走的 路程(单位:里)为(


A.192 B.48 C.24 D.6
【答案】
C
【解析】

【分析】

根据题意可知
,
每天走的里程数为等比数列
,
由等比数列前
n
项和公式< br>,
即可求得首项
,
进而由
等比数列的通项公式求得第四天走的路程.
【详解】

记每天走的里程数为,易知是以为公比的等比数列,其前项和,
则,
解得,
所以由等比数列通项公式可知.
故选
:C.
【点睛】

本题考查了等比数列前
n
项和的基本量计算
,< br>等比数列通项公式的应用
,
属于基础题
.
9.已知数列满足,是数列的前项和,则( )
A.
【答案】
D
【解析】

【分析】

根据数列
【详解】

B. C. D.
的地推公式求解通项公式,再求和判断即可.
因为,故,故.
又.故成等比数列.成等比数列.
故.
.
故选:
D
【点睛】

本题主要考查了根据递推公式求解数列通项公式以及求和的方法
,
属于中等题型
.
10.已知等比数列满足,,则等于( )
A.
【答案】
A
【解析】

【分析】

B. C. D.
根据数列为等比数列可得,可证明是以为首项,为公比的
新等比数列
【详解】

,根据等比数列前n项和计算即可.
∵,,∴,
整理得及解得或-3(舍),
对于,
设,
则,,
其本质是以为首项,为公比的新等比数列的前项和,

故选:
A
【点睛】


本题主要考查了等比数列通项公式与前项和公式,考查了等比数列基本量的运算,属于中
档题.
二、填空题
(

20

)
11.已知数列为 各项均为正数的等比数列,是它的前n项和,若.且
,则
【答案】
【解析】

【分析】


______.
化简得到
【详解】

,,故,,在计算得到答案.
,故,,故,故,故,.
.
故答案为:.
【点睛】

本题考查了等比数列基本量的计算,求和,意在考查学生对于等比数列公式的灵活运用
.
12.在数列中,,且,则数列的通项公式__________.
【答案】
【解析】

【分析】

利用数列的递推关系式,通过迭代,转化求解数列的通项公式即可
.
【详解】

因为在数列中,,且,
所以当时,

由于当时,,符合上式,所以数列的通项公式 .
故答案为:
【点睛】

本题主要考查了迭代法求数列的通项公式,属于基础题
.
13.若数列满足:,则___________.
【答案】
【解析】

【分析】



【详解】

得是一个等比数列,结合已知及等比的前项和公式,即可求解.

是一个公比为,首项的等比数列.

【点睛】

本题考查等比数列的定义,等比数列的前项和,属于基础题.
14.已知数列的前项和为,且满足,_______________.
【答案】
【解析】

【分析】


在时,利用得出 数列的递推关系式,这样我们在求数列和
时只要从第一项开始两项并一组,变可以求得偶数项和.而题中 求
【详解】

正好可求。
解:当时有得,当时,①,又
②,②-① 得整理得;于是得
,得,得,…,,


故答案为:
【点睛】


本题考查由数列前项和与项的关系求通项 ,考查并项求和,考查等比数列的前项和
公式.虽然考查知识点较多,但顺着题求解也较容易,属于中档 题.
三、解答题
(

72

)
15.已知正项数列的前n项和为,若数列是公差为的等差数列,且是
的等差中项.
(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若是数列的前n项和,若恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)
【解析】

【分析】

; (2).
(1)根据题意得到
通项公式;
,根据是的等差中项,得到的值,从而得到的
(2)由(1)可知
值范围.
【详解】

,利用等比数列的求和,得到,由恒成立,得到的取
(1)因为数列是公差为的等差数列,
所以,故,所以;
所以数列是公比为3的等比数列,
因为
所以
是的等差中项,所以


解得;
数列的通项公式为;
(2)由(1)可知,
故数列是以1为首项,为公比的等比数列,


因为恒成立,
所以,
即实数的取值范围为.
【点睛】

本题考查等差中项的应用,求等比数列的通项,等比数列求和,属于简单题
.
16.已知在等比数列中,,且,,成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足:,求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ)
【解析】

【分析】

(Ⅱ)
(Ⅰ)设等比数列的公比为,再根据,,成等差数列求解即可.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
式求解即可.
【详解】

,代入有,再分组利用等比和等差数列的求和公
(Ⅰ)设等比数列的公比为,
∵,,成等差数列,
,
(Ⅱ),


【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量求解以及等差等比数列求和公式,属于基础题
.
.
17.已知为数列的前项和,且(是非零常数).
(1)求的通项公式(答案含);
(2)设,当时,求数列的前项和.
【答案】(1)
【解析】

【分析】

;(2)
(1)利用项和转换,,,可得,
利用等比数列的通项公式,即得解
.
(2)
【详解】

,利用分组求和,分n为奇数,偶数两种情况讨论,即得解.
(1)当时,,,
可得,
当时,,
故数列的通项公式为.
(2)由时,知,故,
当为正偶数时,

当为正奇数时,
综上,数列的前项和.
【点睛】

本题考查了项和转换,分组求和,等比数列的前
n
项和公 式等知识点,考查了学生转化与划
归,分类讨论,数学运算的能力,属于中档题
.
18.已知数列为公差的等差数列,数列为公比的等比数列,数列满足
,且有,
(1)求和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
【解析】

,;(2)
【分析】

(1)令,结合等差数列与等比数列的通项公式,代入等式
得.即可求得和的通项公式. (2)因为,利用等差数列求和公式与等比数列求和公式,分别求得
n项和,合并即可求得的前项和 .
【详解】

(1)由题意可得,,可令,
可得

,即有,
解得(舍去),

则由等差数列通项公式可得,
由等比数列通项公式可得;
(2),
前n项和

.
【点睛】

.即可求
和的前
本题考查了等差数列通项公式与等比数列 通项公式的简单应用
,
等差数列与等比数列求和公
式的应用
,
分组求 和法
,
属于基础题
.
19.已知等比数列的各项均为正数,为等比数列的前项和,若,.
(1)恒成立,求的最小值;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1)3;(2)
【解析】

【分析】

. (1)根据等比数列下标公式,得到,从而得到的值,求出公比,根据等比
数列求和公式,得到,从 而得到的范围;(2)根据(1)得到的通项,从而得到的通
项,利用错位相减求和,得到
【详 解】

.
(1)因为为等比数列,所以,
所以,,
所以,
又,所以,
所以,
因为恒成立,
所以,
即的最小值是3.
(2)由(1)可知,
所以,
故 ①

①-②得:,

整理得,
【点睛】

本题考查等比数列下标公式,等比数列求和公式,错位相减法求和,属于简单题
.
20.已知各项均为正数的等比数列的公比,且,是方程的两根,
记的前n项和为.
(1)若,,依次成等差数列,求m的值;
(2)设
【答案】(1)
【解析】

【分析】

,数列的前n项和为,若,求n的最小值;
;(2)n的最小值为5
(1)利用韦 达定理求得,的值,从而得到,利用等差中项性质得
,利用通项公式和前项和公式得到关于的方程,解方 程即可得到
答案;
(2)利用等比数列和等差数列求和得
的取值情况,从而得到的最小值.
【详解】

,再用代入法求得使的
(1)因为,且,是方程的两根.
所以或,
因为,所以.
故,
又,所以,此时,,
由题意得,,又,
因为,,依次成等差数列,所以,
即,解得:.
(2)因为,所以,
从而

当时,,
当时,,
当时,,
当时,,
当时,,,此时,
所以,的最小值为5.
【点睛】

本题考查等差数列通项公式、等差中项性质、等差等比前项和公式、数列不 等式求解,考
方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.

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