等比的求和公式三大类递推数列通项公式的求法

三大类递推数列通项公式的求法

一、一阶线性递推数列求通项问题
一阶线性递推数列主要有如下几种形式：
1.
这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).
当< br>则
为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当
为二阶等差数列，其通项公式 应当为
为等差数列时，
形式，注意与等
差数列求和公式一般形式的区别，后者是
2.
，其常数项一定为０．
这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).
当
3.
这类数列通常可转化为
.
例１已知数列中，,求
型递推数列．
的通项公式．
为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．
；
，或消去常数转化为二阶递推 式
解析：解法一：转化为
∵
∴
，即
又
．

，故数列｛｝
是首项为２，公比为２的等比数列．∴
解法二：转化为
∵
型递推 数列．
=2x
n-1
+1(n
≥
2) ① ∴=2x
n
+1 ②

(n
≥
2)，故｛
，再用累加法得
｝是首项为x
2
-x
1
=2，
．

②－①，
得
公比为２的等比数列，即
解法三：用迭代法．
当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．
例２ 已知函数
求数列
的反函数为
的通项公式.

解析：由已知得，则．
令
=
,则.比较系数，得.
即有．∴数列｛｝是以为首项，为
公比的等比数列，∴，故．
评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．
（4）
若取倒数,得
（5）
，令，从而转化为（1）型而求之.
；
这类数列可变换成
例３ 设数列
，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式.
求数列的通项公式．
解析：∵
，
两边同除以
，
得
．
令
，
则
有
．
于是，得
，∴
数列是以首项 为，
公比为的等比数列，故
，
即
求数列
，从而
的通项公式．
．

例４ 设
解析：设用代入，可解出．
∴是以公比为-2，首项为的等比数列．
∴
，

即
（6）
这类数列可取对数得

．

，从而转化为等差数列型递推数列.
二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列
例５ 设数列
的通项公式．
求数列
解析：由可得

设
故即用累加法得
或


例６ 在数列
项公式．
解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．
令使数列是以 为公比的等比数列(
求数列的通
待定
)．

对照已给递推式， 有
即
即
∴
的两个实根．
从而
∴ ①
或 ②
由式①得；由式②得．
消去
例７ 在数列
解析：由
式②+式①，得
==-1．
．
求．
①，
得
，
从而有

②．
．∴
数列是以６为其周期．故
三、特殊的n阶递推数列
例８ 已知数列
的通项公式．
解析：∵
满足
，求
①

②

∴
②－①，得．∴故有

将这几个式子累乘，得
又
例9 数列｛
解析：由
式①－式②，得
｝满足
①，得
，或
，求数列｛｝的同项公式．
②．
，故有
.
∴,.
将上面几个式子累乘，得，即．
∵


也满足上式，∴．