回转公式2016-2018年高考全国卷真题分类优选13-等差数列与等比数列

考纲解读明方向

考点
1.等差数列
及其性质
内容解读
①理解等差数列的概念;
理解
②掌握等差数列的通项公式
与前n项和公式;
③能在具体的问题情境中识
2.等差数列
前n项和公
式
别数列的等差关系,并能用
掌握
有关知识解决相应的问题;
④了解等差数列与一次函数
的关系

分析解读 1.理解等差数列的概念 、等差数列的通项公式与前n项和公式.2.
体会等差数列与一次函数的关系,掌握等差数列的一些基本 性质.3.命题以求
a
n
,S
n
为主,考查等差数列相关性质.4. 本节内容在高考中主要考查数列定义、
通项公式、前n项和公式及性质,分值约为5分,属中低档题.

考点 内容解读 要求 常考题型 预测热
填空题
选择题
★★★
填空题
要求
常考题预测热
型
选择题
★★★
度
1

度
①理解等比数列的概念;
1.等比数列
及其性质
②掌握等比数列的通项公式理解 填空题
★
与前n项和公式;
③能在具体的问题情境中识
2.等比数列
前
别数列的等比关系,并能用
有关知识解决相应的问题;
选择题
掌握 填空题 ★★★
解答题
解答题
选择题
★★
n项和公式
④了解等比数列与指数函数
的关系

分析解读 1.理解等比数列的概念 、掌握等比数列的通项公式和前n项和公
式.2.体会等比数列与指数函数的关系.3.求通项公式、求 前n项和及等比数列
相关性质的应用是高考热点.
2018年高考全景展示
1.【2018年文北京卷】】“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最
早用数学 方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平
均律将一个纯八度音程分成十二份，依 次得到十三个单音，从第二个单音起，
每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
频 率f
，
则第八个单音频率为
A. B. C. D.
.若第一个单音的
【答案】D
2

【解析】分析：根据等比数 列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利
用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为
又，则，故选D.
，所以，
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等
比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若
（）或（
中，且
）， 数列
（
是等比数列；（2）等比中
），则数列是等比项公式法，若数列
数列.
2.【2018年文北京卷】设
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求
【答案】（I）
的 通项公式；
.
（II）
是等差数列，且.

的方程组， 求解，【解析】分析：（1）设公差为，根据题意可列关于
代入通项公式可得；（2）由（1）可得进行求解.
，进而可利用等比数列求和公式
3


点 睛：等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量
三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想 .
3.【2018年全国卷Ⅲ文】等比数列
（1）求的通项公式；
的前项和．若
或
，求．
（2）
中，．
，知道其中（2）记为
【答案】（1）
【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n 项和，解方程可
得m。
详解：（1）设
去），
故
（2）若
数解．
若，则．由得，解得．综上，．
或
或
的公比为，由题设得
．
．
，则．由得，此方程没有正整
．由已知得，解得（舍
点睛：本题主要考查 等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。
4

4.【2018年新课 标I卷文】已知数列
（1）求
（2）判断数列
（3）求
；
满足，，设．
是否为等比数列，并说明理由；
的通项公式．
【答案】(1) b
1
=1，b
2
=2，b
3
=4．(2) {b
n
}是首项为1，公比为2的等比数列．理
由见解析.(3) a
n
=n·2
n-1
．
【解析】分析：(1)根据题中条件所给的 数列
将其化为a
n+1
=
再利用
的递推公式，
，分别令n= 1和n=2，代入上式求得a
2
=4和a
3
=12，
，从而求得b< br>1
=1，b
2
=2，b
3
=4．
，从而 可以得出 b
n+1
=2b
n
，这样就可以得到数(2)利用条件可以得到
列{ b
n
}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)借助等比数列的通项公式求得
，从而 求得a
n
=n·2
n-1
．

点睛：该题考查的是有关 数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公
式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定 新数列的项，利用递
5

推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列 ，根据等比数列通
项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公
式，从而求 得最后的结果.

2017年高考全景展示
1.【2017浙江，6】已知等差 数列{a
n
}的公差为d，前n项和为S
n
，则“d>0”
是“S< br>4
+ S
6
>2S
5
”的
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
【答案】C
【解析】

B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

【考点】

等差数列、充分必要性

【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套 入与简单运
算，可知
分条件，若
故为充要条件．
， 结合充分必要性的判断，若
，则是的必要条件，该题“”“
，则是的充
”，
6

2.【2017江苏，9】等比数列
,则= ▲ .
【答案】32
【解析】当
的各项均为实数,其前项的和为,已知
时，显然不符合题意；
当时，，解得，则.
【考点】等比数列通项
【名师点睛】在解决等差、等比数列的 运算问题时，有两个处理思路,一是
利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思 路简洁,目
标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体
现，是 解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
但在应用性质时要注意性质的前提条 件，有时需要进行适当变形. 在解决等
差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”
的方法.
3.
【
2017
课标
1
，文
17
】记S
n
为等比数列
（
1
）求的通项公式；

S
3
=-6
．

的前
n
项和，已知
S
2
=2
，
（
2
）求
S
n
，并 判断
S
n+1
，
S
n
，
S
n+2
是否成等差数列
．

7

【答案】（1）
【解析】
；（2），证明见解析．
试题分析：（1）由等比数列通项公式解得
项证明S
n+1
，S
n
，S
n+2
成等差数列．
，；（2）利用等差中

【考点】等比数列

【名师点睛】等差、 等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解
决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有 意识地去应用．但在应用
性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．

在解决等差、等

比数列的运算问题时，经常采用
“
巧用性质、整体 考虑、减少运算量
”
的方法．
4.
【
2017
课标
II
，文
17
】已知等差数列
前项和为，
(1)
若
（
2
）若
，求
，求

的通项公式；

.
；（
Ⅱ
）当时，
8
的前项和为，等比数列的
【答案】（< br>Ⅰ
）
.
当时，
.


【解析】试题分析： （
1
）根据等差数列及等比数列通项公式，表示条件，得
关于公差与公比的方程组，解 方程组得公比，代入等比数列通项公式即可，
（
2
）由等比数列前三项的和求公比，分 类讨论，求公差，再根据等差前三
项求和
.

【考点】等差、等比数列通项与求和

【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题 时，有两个处理思路
,
一是
利用基本量
,
将多元问题简化为一元问题
,
虽有一定量的运算
,
但思路简洁
,
目
标明确;
二是利用等差、等比数列的性质
,
性质是两种数列基本规律的深刻体
现 ，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用
.
但在应用性质时要注意 性质的前提条件，有时需要进行适当变形
.
在解决等
差、等比数列的运算问题时，经常采用
“
巧用性质、整体考虑、减少运算量
”
的方法
.
9


2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标2文数】等差数列{}中，
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整
.
数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案】（Ⅰ）
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 题目已知数列{}是等差数列，根据通项公式列出关于，
的方程，解方程求 得，，从而求得；（Ⅱ）根据条件
的最大整数，求，需要对分类讨论，再求数列
表示不超过；（Ⅱ）24.
的前10项和.

考点：等差数列的性质 ，数列的求和.
10

【名师点睛】求解本题会出现以下错误：①对“
理解出错；
2.【2016高考北京文数】（本小题13分）
已知
（1）求
（2）设< br>是等差数列，是等差数列，且
表示不超过的最大整数”
，，，.
的通项公式；
，求数列的前n项和.
【答案】（1）
【解析】
（，，，）；（2）
试题分析：（Ⅰ）求出等比数列
等差数列的通项公式求解；
的公比，求出，的值，根 据
（Ⅱ）根据等差数列和等比数列的前项和公式求数列
试题解析：（I）等比数列
所以
设等差数列
因为
所以
所以
，
，即
（
，的公比
．
的公差为．
，
．
，，，）．
，
的前项和.
11


考点：等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.
【名师点睛】1.数列的 通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，
是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列 的问题，最终归结为对
数列通项的研究，而数列的前n项和S
n
可视为数列{S
n
}的通项.通项及求和
是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到 的数学思
想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应
用)、 特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，
或)等.
3.【2016高考四川文科】（本小题满分12分）
已知数列{ }的首项为1， 为数列
q>0，
（Ⅰ）若
.
成等差数列，求的通项公式；
的前n项和， ，其中
（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且
12
，求
.


【答案】（Ⅰ）
【解析】
；（Ⅱ）.
试 题分析：（Ⅰ）已知的递推式，一般是写出当
，得出数列
时，
，两式相减，利用
明
的递推式，从而证
为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲解出的值，最后利用等比数列线的离心率定义得到的表达式，再由
的求和公式求解计算.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
所以双曲线
由解得
的离心率
.所以，
.
.
，
考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式
13