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试计算酒桶体积和表面积
我读了《趣味几何学》，在“黑暗中的几何学”一章中，我了解了酒 桶，对
它体积和表面积近似计算时，可用图1：

即把酒桶看作两个截圆锥体，想算 截圆锥体体积，要从圆锥体入手，从图2
左图中可以看出，我们把圆锥沿底面半径切成如图2右图的近似 的三棱锥无限
个，要研究的仅是特定的一种三棱锥：
图1

把这个三棱锥扩 成三棱柱，再扩为长方体，只需要证明三棱锥体积为长方体
的，就说明了圆锥体积是等底等高的圆柱体的 ，过程见图3。
图2,左
图2,右
图3

可以从长方体中切去如图 4的与原三棱锥全等的三棱锥3个，即ABDE、
BCDG、DEGH，可得图5:
D
A
B
C
D
B
H
E
J
图5，左
F
G
E
图5，右
F
G
图4

从图5中看出， 剩下的是一个与原三棱锥全等的三棱锥BEFG，还有一个大
三棱锥BDEG，只要证明三棱锥BDEG 的高是三棱锥BEFG的2倍即可（实际要
证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的2倍，因为底面 积相等，故用高代替）。
看点划线长方形BDFH，取出它，如图6：
D
2
H
1
2
B
:
J
:1
图6
1
F
从图中来看，DO是FO的三倍长，那么这两条线与两个三棱锥高有什么关
系呢？可看图 5中波浪线长方形，如图7：

（以下证明该图的正确：由于两条线DQ、PF都是与面BE G垂直且在面
MNWZ上，而又是面MNWZ与面BEG的相交线，故PF及DQ都与垂
直，同 时也说明二者平行，而D、F两点都在面MNWZ上，两点的连线必然在
面MNWZ上，同样又由于又是 面MNWZ与面BEG的唯一的相交的部分，
线上，P、Q、O三点且O点是DF线与面BEG的唯一相 交点，故O点也在
共线）从图中可以看出，由于三角形DOQ和FOP相似，前面已证明DO是FO的两倍，故DQ是PF的两倍，而DQ、PF分别是两个三棱锥的高，则证明三棱
锥BDEG体积是 三棱锥BEFG的两倍。
综上所述，可得出圆锥体积公式：

再来看截圆锥体，如图8：
k
r
h
R

截圆锥体 是两个圆锥相减的结果，为了分别知道圆锥的高，需要知道k，为
此，我们看截圆锥体的截面，如图9：
图7
k
r
h
R
图8
从中可以得出比例式：





然后分别求两个圆锥的体积：







故截圆锥体体积为：

来看酒桶，它近似于两个全等的截圆锥体，如图10：
r
R
h
r
图9

故可用截圆锥体公式来计算酒桶体积。
那么酒桶表面积呢？同样近似于截圆锥体。截圆锥体表面积也要从圆锥说
起。如图11：
L

如上图点划线所示，可以把圆锥的侧面分成无数多个近似的三角形，它们的
高是L，底之和为2




，面积之和为：
图10
即圆锥的侧面积为
截圆锥侧面展开后得图12：
t
L
2лr
2лR
图11
截圆锥的截面为图13：

t
r
R

从图12中可以看出：




L
图12
根据图11，分别求两个扇形的面积（利用圆锥侧面积公式）：







即截圆锥体表面积为:

来看木桶，如图14：
r
L
R
图13

加上下底面，表面积近似于：

至此，木桶体积和表面积近似式都已得出。
高伟辰