安徽专科院校-两向量平行的公式
近几天，我有点无聊便去推导了一些物体的体积和表面积公式，下面就是公式的
推导过程：
球的体积：
球的体积在所有的立体中是很难求的这是因为它那完美的曲线不知道该如何表达.其实这只要正确的运用微积分的思想__无限,就可以很简单的解决球的体积
了.
球 是立体,它就是由无限的面组成的,我可以先求半球的体积.半球也是由无限个
逐渐减少的面组成.我们 会发现半球的体积就是一个半径为R高为R的圆柱体减
去一个半径为R高为R的圆锥后余下的体积.我只 要证明在任何情况下横向把站
立的圆柱截一下,所得的截面中S圆柱-S半球=s圆锥,这就证明了半球 的体积就
是一个半径为R高为R的圆柱体减去一个半径为R高为R的圆锥后余下的体积.
证明过 程如下:
如图,上图是一个半径为R高为R的圆柱,内切一个半球,和一个半径 为R高为R
的圆锥,L是横向切面,右下图是该切面的S圆柱-S半球.左下图为该切面的圆锥
截面.按照上面的思想只要证明S蓝=Sr1,就可以了就证明了半球的体积就是一
个半径为R高为R的 圆柱体减去一个半径为R高为R的圆锥后余下的体积.
因为相似三角形,所以NR=r1R,所以N=r1
所以Sr1=N^2*Π,因为勾股定理,所以r^2=R^2-N^2
所以r^2Π=R^2Π-N^2Π
所以S蓝=(R^2-r^2)Π=(R^2-R^2+N^2)Π=N^2*Π
所以Sr1=S蓝
所以V半球=V柱- V锥=R^2*R*Π-R^2*R*Π3=(2*R^3*Π)3
所以V球=(4*R^3*Π)3
圆锥的体积:
上面推倒了球的体积公式用到了圆锥的体积,现在我就来推导圆锥体积.以前老
师都是直接把公式交给我们,没去推导,这次推导用到了微积分中的祖恒定理
根据祖恒定理,底一样高一样的规则体,他们体积都一样.所以圆柱可以化身为一
个 底面积一样的三棱柱,圆锥可以化身为一个三棱锥,所以三棱锥占三棱柱体积
的几分之几,圆锥就占圆柱 体积的几分之几.
因为是三棱柱,所以S三角形EDF=S三角形ABC,AE=FB
所以V1=V2
又因为S三角形AED=S三角形ACD,并且他们的高都是F到AEDC面上最短的线
所以V1=V3
所以 V1=V2=V3
所以V1=V三棱柱3
所以圆锥的体积是圆柱体积的13
球的表面积:
由图可知球的体积是由无数个像V1,V2,V3一样的锥体组成的,把球表面无限分
割,就可以细化到 平面,
所以V球=RS13+RS23+RS33+......+RSN3=RS表3
4*R^3*Π3=RS表3
S表=4R^2*Π
内切球和圆柱的表面积比:
S圆柱=(2*R^2+2R*2R)*Π=6*R^2*Π
S内切球=4*R^2*Π
S内切球S圆柱=23
下面推倒一个比较奇怪的立体图形的体积和表面积-- 圆帽.圆帽就是一个球,切
一块高H∠R的立体,它的体积公式推倒与球的体积公式推倒有着相同之处
上面经过推导后知道了
圆帽的体积其实就是为L以上的圆柱体积-圆台体积ABCD的体积
所以V圆帽=R^2*Π*H-(R^2*R*Π3-(R-H)^3*Π3)
=(H^2*R-H^33)Π
以上就是同过圆帽的高和圆帽的外接球的半径来求圆帽的体积,其实还 可以通过
圆帽的底面半径来求.设圆帽的底面半径为r
通过勾股定理可得,R^2-(R-H)^2=r^2
R=(r^2+H^2)2H
带入公式,V圆帽=(3*r^2*H+H^3)*Π6
圆帽的表面积:
推导圆帽的表面积公式其实和推球的表面积公式是一样的,就是利用无限来分.
我们可以算出 V1,然后算出V1+V圆帽,再把它分成锥体最后求出弧面的面积,再
加上底面积.就求出了它的表面 积公式.
因为r^2=R^2-(R-H)^2
=2HR-H^2
所以V1=(2HR-H^2)(R-H)*Π3
=(2*H*R^2*Π)3-H^2*R*Π+(H^3*Π)3
所以V1+V圆帽=(2*H*R ^2*Π)3-H^2*R*Π+(H^3*Π)3+(H^2*R-H^33)Π
=2*H*R^2*Π3=RS表弧
解得S表弧=2HRΠ
因为R=(r^2+H^2)2H
所以S表弧=2HRΠ=2HΠ*(r^2+H^2)2H=r^2*Π+H^2*Π
所以S表=S表弧+S底=r^2*Π+H^2*Π+r^2*Π
(Π为圆周率)
以上就是我经过深入思考后的结果,希望对大家有所帮助.谢谢!
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本文更新与2020-09-13 12:48，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/393437.html
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