取样公式专题8.2 空间几何体的表面积与体积(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)

【2014考纲解读】
1.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算公式.
2.了解球、柱体、锥体、台体的体积计算公式.
【重点知识梳理】
一、柱、锥、台和球的侧面积和体积

圆柱

圆锥

面积

体积
S
侧
＝2π
rl
S
侧
＝π
rl
V
＝
Sh
＝π
r
2
h

V
＝
Sh
＝π
r
2
h
＝π
r
2
l
2
－
r
2

V
＝(
S
上
＋
S
下
＋
S
上
·
S
下
)
h
1
3
1
3
1
3
1
3
圆台
S
侧
＝π(
r
1
＋
r
2
)
l < br>1
22
＝π(
r
1
＋
r
2
＋
r
1
r
2
)
h

3
直棱柱

正棱锥

正棱台

球
【方法技巧】
S
侧
＝
Ch
S
侧
＝
Ch
′

S
侧
＝(
C
＋
C
′)
h
′

S
球面
＝4π
R
2

1
2
1
2
V
＝
Sh

V
＝
Sh

V
＝(
S
上
＋
S
下
＋
S
上
·
S
下
)
h

V
＝π
R
3

4
3
1
3
1
3
1.几何体的侧面积和全面积： < br>几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的
记忆,最好结合几何体的侧面展开图来进行．
2．求体积时应注意的几点：
(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．
(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．
3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．
【随堂训练】
1．某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )



A．8
C．4
8
B.
3
4
D.
3

2．已知矩形
ABCD
的 顶点都在半径为4的球
O
的球面上,且
AB
＝3,
BC
＝2 ,则棱锥
O
－
ABCD
的体
积为( )
A.51
C．251
B．351
D．651
3．如图是一个几何体的三视图,则它的表面积为( )

A．4π
C．5π




15
B.π
4
17
D.π
4
4．用若干个大小相同,棱长为1的正方体摆成一 个立体模型,其三视图如图所示,则此立体模型
的表面积为( )


A．24
C．22






B．23
D．21
5．若一个几何体的三视图如下图所示,则此几何体的体积为( )

11
A.
2
9
C.
2







B．5
D．4
6．如图所 示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角
形组成,则该多面体 的体积是________．

7．(2012·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积 为2π的半圆面,则该圆锥的体积为
________．
8．在三棱锥
A
－
BCD
中,
AB
＝
CD
＝6,
AC
＝BD
＝
AD
＝
BC
＝5,则该三棱锥的外接球的表面积为
________．
9．如图,把边长为2的正六边形
ABCDEF
沿对角线BE
折起,使
AC
＝6.


(1)求证：面
ABEF
⊥平面
BCDE
；
(2)求五面体
ABCDEF
的体积．
【高频考点突破】
考点一、几何体的表面积
例1．(2012·高考辽宁卷)一个几何体的三视图如图所示,则 该几何体的表面积为________．
【变式探究】(2012·高考安徽卷)某几何体的三视图如 图所示,该几何体的表面积是________．

【感悟提升】 (1)以三视图为载体考 查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的
分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位 置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3) 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积
是侧面积与 底面圆的面积之和．
考点二 几何体的体积
例2、(1)(2012·高考广东卷)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )


A．12π
B．45π
C．57π
D．81π
(2)(2012·高考课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球 心O到平面α的距离为2,
则此球的体积为( )
A.6π B．43π
C．46π D．63π
【题后感悟】 给出几何 体的三视图,求该几何体的体积或表面积时,可以根据三视图还原出实物,
画出该几何体的直观图,确定 该几何体的结构特征,并利用相应的体积公式求出其体积,求体积的方法
有直接套用公式法、等体积转换 法和割补法等多种．若所给几何体为不规则几何体,常用等积转换法
和割补法求解．
【变式探 究】正六棱锥PABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC的体积之
比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．3∶2
考点三、 关于球的切、接问题
例3、(2012·高考课标全国卷)已知三棱锥S- ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长

为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC＝2,则此棱锥的体积为( )
A.
C.
23
B.
66
22
D.
32
【题后感悟】 解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元 素的关
系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及 体
现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的．
32π
【变式探究】已知 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是,则
3
这个三棱柱的体积 是________．
【感悟提升】
1．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作 为底面,例如三棱锥的三条侧棱两两垂直,
我们就选择其中的一个侧面作为底面,另一条侧棱作为高来求 体积．
2．与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接．解题时要认真分析图形,明确切点和接 点
的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图．
【经典考题精析】
（2013·福建卷）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧
视图、 俯视图均如图1－3所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是
_________ _．

图1－3
（2013·广东卷）某四棱台的三视图如图1－1所示,则该四棱台的体积是( )


图1－1
14
A．4 B.
3
16
C. D．6
3
（2013·湖南卷） 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正
视图的面积不可能等于( )
A．1 B.2
C.
2－12＋1
D.
22< br>（2013·辽宁卷）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________．

图1－3
（2013·陕西卷）某几何体的三视图如图1－3所示,则其体积为________．


图1－3
（2013·新课标全国卷Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－ xyz中的坐标分别是
(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面 体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到
的正视图可以为( )

图1－2
（2013·浙江卷）若某几何体的三视图(单位：cm)如图1－3所示,则此几 何体的体积等于
________cm.
3

图1－3

（2013·重庆卷） 某几何体的三视图如图1－2所示,则该几何体的体积为( )


图1－2
560580
A. B. C．200 D．240
33
【当堂巩固】
1． 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为 ( )

3
A.
π
2






B．π＋3
5
D.π＋3
2
3
C.
π＋3
2
2． 在四棱锥E—ABCD中 ,底面ABCD为梯形,AB∥CD,2AB＝3CD,M为AE的中点,设E—ABCD
的体积为V, 那么三棱锥M—EBC的体积为
2
A.V
5

1
B.V
3



( )
2
C.V
3
3
D.V
10
3．已知球 的直径SC＝4,A、B是该球球面上的两点,AB＝3,∠ASC＝∠BSC＝30°,则棱锥S－ABC的体积为





( )
D．1 A．33


B．23 C.3
4. 如图,已知正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底面边长为2 cm,高为5 cm,则
一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A
1
的最短路线

的长为______ cm.


5． 已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体,其三视图如图所示, 若图中圆的半径为
1,等腰三角形的腰长为5,则该几何体的体积是________．
< br>6．如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC＝2.若AD＝2c,且AB＋BD＝AC ＋CD＝
2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是________．

7．如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC＝90°,CD∥AB,AB＝4,AD＝CD＝2,将 △ADC沿AC折起,
使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D—ABC,如图2所示．

图1 图2
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D—ABC的体积．

8．如图所示,在边长为5＋2的正方形AB CD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个
圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆 O为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的全面积与体积．

9．如图,已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．