激光公式《乘法公式》教案

14．2 乘法公式
14．2.1 平方差公式
【出示目标】
1．掌握平方差公式．
2．会用平方差公式简化并计算解决简单的实际问题．
【预习导学】
阅读教材P107－108“探究、思考与例1”，掌握平方差公式，独立完成下列问题：
【课前导入】
根据条件列式：
a、b两数的平方差可以表示为__a
2
－b
2
__；
a、b两数差的平方可以表示为__(a－b)
2
__.
【教师点拨】审题要仔细，特别注意类似“的”、“比”、“占”等这些关键字的位置．
(1)计算下列各式：(x＋2)(x－2)＝__x
2
－4__；
(1＋ 3a)(1－3a)＝__1－9a
2
__；(x＋5y)(x－5y)＝__x
2< br>－25y
2
__.
观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因 式都是__二__项式；等式的左边都
是两个数的__和__与__两个数的差的积__，等式的右边是 这两个数的__平方差__．
(2)公式：__(a＋b)(a－b)＝a
2
－b
2
__.
语言叙述：两数的__和__乘以这两数的__差__等于这两个数的__平方差__．
【自学反馈】
11
(1)计算：①(－a＋b)(a＋b)； ②(－x－y)(x－y)．
22
1
解：①b
2
－a
2< br>；②y
2
－x
2
.
4
(2)(3a－2b)(__ 3a__＋2b)＝9a
2
－4b
2
.
【教师点拨】首先判断是否 符合平方差公式的结构，确定式子中的“a、b”，a是公式中相同
的数，b是其中符号相反的数．
【合作探究】
活动1 学生独立完成
【例1】 计算：(1)(a－b)(a＋b)(a
2
＋b
2
)；
1
(2)(xy－3m)(－3m－0.5xy)．
2
解：(1)原式＝( a
2
－b
2
)(a
2
＋b
2
)＝a
4
－b
4
；
1111
(2)原式＝－(xy－3m)(3m＋x y)＝－(x
2
y
2
－9m
2
)＝9m
2
－x
2
y
2
.
2244
【教师点拨】在多个因式相乘时可将符合平方差结构的因式交换结合进行计算．

14
【例2】 计算：100×99.
55
11124
解：原式＝(100＋)(100－)＝10 000－＝9 999.
552525
【教师点拨】可将两个因数写成相同的两个数的和与差，构成平方差公式结构．
活动2 跟踪训练
1．(2＋1)(2
2
＋1)(2
4
＋ 1)(2
8
＋1)．
解：2
16
－1.
【教师点拨】可添加式子(2－1)构成平方差公式使计算简便．
2．(3x－y)(3x＋y)－(x－y)(x＋y)．
解：8x
2
.
【教师点拨】运用平方差公式计算后合并同类项．
3．计算：(1)103×97；(2)59.8×60.2.
解：(1)9 991；(2)3 599.96.
活动3 课堂小结
1．利用平方差公式来计算某些特殊 多项式相乘，速度快、准确率高，但必须注意平方差公式
的结构特征．
2．一般地，把“数”上升到“式”后，思维要宽广得多，同学们要引起重视．
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．
14．2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
【出示目标】
1．理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征．
2．熟练运用公式进行计算．
【预习导学】
阅读教材P109－110“探究、思考及例3、例4”，掌握完全平方公式，独立完成下列问题：
【课前导入】
根据条件列式：
a、b两数和的平方可以表示为__(a＋b)
2
__；
a、b两数平方的和可以表示为__a
2
＋b
2
__.
【教师点拨】审题要仔细，特别注意类似“的”、“比”、“占”等这些关键字的位置．
(1)计算下列各式：
(a＋1)
2
＝(a＋1)(a＋1)＝__a
2
＋2a＋1__；
(a－1)
2
＝(a－1)(a－1)＝__a
2
－2a＋1__；
(m－3)
2
＝(m－3)(m－3)＝__m
2
－6m＋9__.
(2)公式：(a＋b)
2
＝__a
2
＋2ab＋b
2__；
(a－b)
2
＝__a
2
－2ab＋b
2
__.
语言叙述：两数的和(差)的平方等于这两个数的__平方和__加上(减去)这两个数乘积的__两_ _
倍．
(3)用图中的字母表示出图中白色和黑色部分面积的和．

(a ＋b)
2
＝__a
2
__＋__2ab__＋__b
2
__ .
【自学反馈】
1
(1)计算：①(4m＋n)
2
；②(y－)
2
；③(b－a)
2
.
2
1
解：①16m
2
＋8mn＋n
2
；②y
2
－y＋；③b
2
－2 ab＋a
2
.
4
【教师点拨】分清a、b，选择适当的完全平方公式进行计算．
(2)(__1－3x__)
2
＝1－6x＋9x
2
.
【教师点拨】完全平方公式的反用，关键要确定a、b.
阅读教材P110“思考”，独立完成下列问题：
填空：(－2)
2
＝__4__；2
2
＝__4__；
(a)
2
__＝__(－a)
2
.
【教师点拨】互为相反数的两个数(式)的同偶次幂相等．
【自学反馈】
计算：(－a－b)
2
.
解：a
2
＋2ab＋b
2
.
【教师点拨】(－a－b)
2
实质就是求(a＋b)
2
.
【合作探究】
活动1 学生独立完成
【例1】 若(x－5)
2
＝x
2
＋kx＋25，则k值是多少？
解：依题意，得
x
2
－10x＋25＝x
2
＋kx＋25.
∴k＝－10.
【教师点拨】把左边的展开后对比各项．
【例2】 计算：(1)(a＋b＋c)
2
；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x＋y)． < br>解：(1)原式＝[(a＋b)＋c]
2
＝(a＋b)
2
＋2(a＋b )c＋c
2
＝a
2
＋2ab＋b
2
＋2ac＋2bc＋c< br>2
.
(2)原式＝[(1＋y)－2x][(1＋y)＋2x]＝(1＋y)
2
－4x
2
＝1＋2y＋y
2
－4x
2
.
【教师点拨】运用整体思想将三项式转化为二项式，再用完全平方公式或平方差公式求解．如
第(2) 题中符号相同的项可以结合成一个整体．
【例3】 计算：998
2
.
解：原式＝(1 000－2)
2
＝1 000 000－4 000＋4＝996 004.
【教师点拨】可将该式变形为(1000－2)
2
，再运用完全平方公式可简便运算．
活动2 跟踪训练
1．运用完全平方公式计算：
32
(1)(x＋6)
2
； (2)(x－y)
2
；
43
(3)(－2x＋5)
2;
(4)(a＋b－c)
2
.
94
解：(1)x
2
＋12x ＋36；(2)x
2
－xy＋y
2
；(3)25－20x＋4x
2< br>；(4)a
2
＋b
2
＋c
2
＋2ab－2ac－2b c.
169
【教师点拨】确定是用两数和的完全平方式还是两数差的完全平方式．
2．计算：(1)1 001
2
；(2)(－m－2n)
2
.
解：(1)1 002 001；(2)m
2
＋4mn＋4n
2
.
活动3 课堂小结
1．利用完全平方公式计算某些特殊多项式相乘，速度快，准确率高，但必 须注意完全平方公
式的结构特征．
2．利用完全平方公式，可得到a＋b，ab，a－b，a
2
＋b
2
有下列重要关系：
(1)a
2
＋b2
＝(a＋b)
2
－2ab＝(a－b)
2
＋2ab；
(2)(a＋b)
2
－(a－b)
2
＝4ab.
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．
第2课时 添括号
【出示目标】
1．掌握添括号法则．
2．综合运用乘法公式进行计算．
【预习导学】
阅读教材P111“例5”，掌握添括号法则，独立完成下列问题：
【课前导入】
根据条件列式：(1)(a＋b)(a－b)＝__a
2
－b
2
__；
(2)(a＋b)
2
＝__a
2
＋2a b＋b
2
__；(a－b)
2
＝__a
2
－2ab＋b2
__；
(3)a－2b－c一共有__3__项，各项分别是__a，－2b，－c__.
【教师点拨】多项式的项要连同符号一起看作一个整体．
(1)去括号法则：a＋(b＋c) ＝__(a＋b)＋c__；a－(b＋c)＝__a－b－c__.
(2)反过来，就得到添括号法 则：a＋b＋c＝a＋(__b＋c__)；a－b－c＝a－(__b＋c__)．
(3)法则：添 括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项__不变__符号；如果括号前面
是负号，括到括号里 的各项__都变__符号．
【自学反馈】
(1)下列等式中，不成立的是( C )
A．a－b＋c＝－(－a＋b－c)
B．a－b＋c＝a－(b－c)
C．a－b＋c＝－(－a＋b)－c
D．a－b＋c＝a＋(－b＋c)
(2) 填空：3mn－2n
2
＋1＝2mn－(__－mn＋2n
2
－1__)；
a＋b＋c－d＝a＋(__b＋c－d__)；
a－b＋c－d＝a－(__b－c＋d__)；
x＋2y－3z＝2y－(__－x＋3z__)．
【教师点拨】添括号与去括号法则类似．
【合作探究】
活动1 学生独立完成
【例1】 按要求将2x
2
＋3x－6：
(1)写成一个单项式与一个二项式的和；
(2)写成一个单项式与一个二项式的差．
解：略．
【教师点拨】每一题的答案不 唯一，要分清每一项及其符号，第(1)题是添括号，括号前是正
号；第(2)题括号前是负号．
【例2】 计算：(1)(a－m＋2n)
2
；
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)；
(3)(2x－y－3)(2x－y＋3)；
(4)(x－2y－z)
2
.
解：(1)原式＝[(a－m)＋2n]
2

＝(a－m)
2
＋4n(a－m)＋4n
2

＝a
2
－2am＋m
2
＋4an－4mn＋4n
2
；
(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]
＝(x－y)
2
－(m－n)
2

＝x
2
－2xy＋y
2
－(m
2
－2mn＋n
2
)
＝x
2
－2xy＋y
2
－m
2
＋2mn－n
2
；
(3)原式＝[(2x－y)－3][(2x－y)＋3]
＝(2x－y)
2
－9
＝4x
2
－4xy＋y
2
－9；
(4)原式＝[(x－2y)－z]
2

＝(x－2y)
2
－2z(x－2y)＋z
2

＝x
2
－4xy＋4y
2
－2xz＋4yz＋z
2
.
【教师点拨】此式需添括号变形成公式结构，再运用公式使计算简便．
活动2 跟踪训练
1．在下列( )里填上适当的项，使其符合(a＋b)(a－b)的形式．
(1)(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋(__b－c__)][a－(__b－c__)]；
(2)(2a－b－c)(－2a－b＋c)＝[(__－b__)＋(__2a－c__)][(__ －b__)－(__2a－c__)]．
【教师点拨】添括号可用在将多项式变形中，主要是将多项式变成乘法公式的结构．
2．计算：(1)(x＋y＋2)(x＋y－2)；(2)(a－2b－3c)
2
.
解：(1)x
2
＋y
2
＋2xy－4；
(2)a
2
－4ab＋4b
2
－6ac＋12bc＋9c
2
.
3．已知a＋b＝5，ab＝－6，求下列各式的值：
(1)a
2
＋b
2
；
(2)(a－b)
2
.
解：(1)37；(2)49.
【教师点 拨】根据a
2
＋b
2
＝(a＋b)
2
－2ab，(a－b)
2
＝(a＋b)
2
－4ab，和(差)的平方是可以互相转
化的．
活动3 课堂小结
学生试着总结：这节课你学到了些什么？
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．