连续和可导的关系-pie
《乘法公式》教案
教学目标
1
、经历探究两数和乘以这两数的差的过程来 推导平方差公式,理解平方差公式的结构
特征,并能有意识地用平方差公式进行简单的运算;了解平方差 公式的几何背景;
2
、在探究平方差公式的过程中,发展学生的符号感和推理、概括能力;通 过平方差公
式的几何背景的了解,体会代数与几何的内在统一;
3
、学生通过推导两 数和的平方公式,了解公式的几何背景,理解并掌握公式的结构特
征,并能进行简单的计算,能用文字、 字母表达两数和的平方公式;
4
、学生通过推导两数差的平方公式,了解公式的几何背景,理 解并掌握公式的结构特
征,并能进行简单的计算,能用文字、字母表达两数差的平方公式.
教学重点
平方差公式的应用;
两数和、两数差的平方的公式.
教学难点
(
1
)平方差公式的结构特征及其有效地应用;
(
2
)平方差公式的几何意义;
(
3
)对公式中字母a
、
b
的广泛含义的理解与正确应用.
教学过程
【一】
活动一
竞赛激智,建立模型,揭示公式
问题
1
看谁能又快又准地回答下面
4
个小题的计算结果.
(
5
+
3
)(
5
-
3
)﹦_______ _;
(
0
.
5
+
0
.
3
)(< br>0
.
5
-
0
.
3
)﹦_______; < br>(
5
+
0
.
3
)(
5
-
0
.
3
)﹦________;
(
0
.
5
+
3
)(
0
.
5
-
3
)﹦_______ .
(全部结果出来后)追问:你是如何计算的?
设计意图:以通过竞赛为载体,以自主参与 为教学形式,使学生从计算的快慢中产生疑
惑:总是那几个算得快,我怎么也能象他们那样?进而激发学 生的求知的热情.
问题
2
:请计算下列多项式的积:
(
1
)(
x
+
1
)(
x
-
1
)﹦_____ _______;
(
2
)(
m
+
2
)(
m
-
2
)﹦___________;
(
3
)(
2x
+
1
)(
2x
-
1
)﹦__________ .
(全部结果正确后)追问
1
:你们的计算结果有什么规律吗?
追问
2
:你发现这些多项式的乘积的表达形式有什么规律吗?
学生总结:(
1
)计算的结果都是两项的平方差,与以往两项乘以两项的结果大多是三项
或四项不同 ;(
2
)这些两项乘以两项中,有一项是完全相同,另一项又是互为相反的;(
3)
结果是两项的平方差,并且是完全相同项的平方减区互为相反项的平方.
师生互动:(
a
+
b
)(
a
-
b
)﹦
a
-
b
两个数的和与这两个数的差的记,等于这两个数的平方差.
教师:(
1
)这个公式叫做(乘法的)平方差公式.
(
2
)公式中的字母可以表示具体的数,也可以表示单项式或多项式;
(
3
)只要是符合公式的结构特征,都可以用公式进行计算.
学生练习:
1
、下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的有___________.
A(
x
+
1
)(
1
-
x
)
B
(
a
+
b
)(
b
-
a
)
C
(-
a
+
b
)(
a-
b
)
D
(
x
2
-
y
)(
x
+
y
2
)
E
(-
a
-
b
)(
a
-
b
)
F
(
c
2
-
d
2
)(
d
2
+
c
2
)
2
、下面各式的计算对不对?如果不对,应当怎样改正?
22
(
1
)(
x
+
2
)(
x
-< br>2
)﹦
x
-
2
; (
2
)(-
3a
-
2
)(
3a
-
2
)﹦
9a
-
4
.
22
设计意图:以学生熟悉的多项式的积为载体,以全部参 与讨论、归纳总结为教学形式,
由于计算的结果与以往的结果在表现的形式上有大的差异,以及平方差公 式的发生过程的探
究,体会到从一般到特殊的数学思想方法;通过选择、填空等的练习让学生了理解、掌 握平
方差公式的结构特征,从心里感受这种一般到特殊的数学思想方法的魅力.
活动二
师生互动、感知代数、几何的统一
师:请同学们将准备的正方形纸板拿出:
(1
)设它的边长为
a
(图
1
),大家都知道它的面积为
a
;
(
2
)请同学们按图
2
剪去一个边长为
b< br>的小正方形,大家都知道剩下部分的面积为(
a
2
-
b
);
2
2
(
3
)请同学们将剩下的图形剪成(沿图
2
的 虚线)两个长方形,并将一边长为
b
的小长
方形拼到一边长为
a
的长 方形后得图
3
;同学们都知道图
3
的一边长为(
a
+
b
),另一边长为(
a
-
b
),面积为(
a
+< br>b
)(
a
-
b
);
(
4
)同学们 比较图
2
和图
3
不难发现它们面积的关系.
生:它们的面积相等, 即(
a
+
b
)(
a
-
b
)﹦
a< br>-
b
.
a
b
22
-
a
b
a
+
b
图(
1
) 图(
2
) 图(
3
)
师: 我们通过拼图游戏给出了平方差公式的一种几何解释.这说明平方差公式具有直观
的几何意义,也说明代 数不只是计算,还有美妙的几何意义,这实际就是数学魅力.
设计意图:通过学生拼图游戏,学生直观 体验了平方差公式的几何意义,感受代数不只
是计算,还有美妙的几何意义,亲身经历了数学魅力所在.
活动三
例题分析、指导应用、巩固理解
例
1
运用平方差公式计算:
(
1
)(
a
+
3
)(
a
-
3
)
(
2
)(< br>2a
+
3b
)(
2a
-
3b
)
(
3
)(
1
+
2c
)(
1
-
2c< br>)
(
4
)(-
2x
-
y
)(
2x
-
y
)
分析:
(
1
)在(
1
)中,可以把
3
看成
b
,即:
(
a
+
3
)(
a
-
3
)﹦
a
-
3
(
a
+
b
)(
a
-
b
)﹦
a
-
b
(
2
)将(
2
)调整成平方差公式形式计算.
(
3
)(
4
)自主计算.
例
2
:
运用平方差公式计算:
1998
×
2002
设计意图: 通过一则平方差公式简单的例题分析及应用,巩固理解了公式结构特征,让
学生进一步感受到这种一般到 特殊的数学思想方法的魅力.
活动四
拓展分析、提升能力
计算
(
1
)
102
×
98
;
(
2< br>)(
y
+
2
)(
y
-
2
)-(y
-
1
)(
y
+
5
).
分析:只有符合公式要求的乘法,才能用公式简化计算,其余的乘法运算仍按乘法法则
计算.
学生练习:
22
22
运用平方差公式计算:
(
1
)
51
×
49
; (< br>2
)(
3x
+
4
)(
3x
-
4)-(
2x
+
3
)(
3x
-
2
) < br>设计意图:这是平方差公式的拓展例题分析及应用,使学生进一步体会平方差公式的结
构特征,能 进一步灵活运用乘法公式、法则进行计算.
活动
5
小结:
平方差公式你学会了吗?
【二】
知识回顾
学生活动:计算:(
1
)(
x
+
3
) (
x
+
3
) (
2
)(
x
-
3
) (
x
-
3
)
(
3
)(
a
+b
)(
a
+
b
) (
4
)(
a-
b
)(
a
-
b
)
教学活动说明:通过复习反馈旧知,为新知作铺垫,体现知识的连续性.
创设情景提出问题,引入课题
小组活动素材:有一位老爷爷非常喜欢孩子,每当有孩子到他家 作客时,老爷爷都要拿
出糖果招待他们.来一个孩子就给这个孩子一块糖,来两个孩子就给每个孩子两块 糖,来三
个孩子就给每个孩子三块糖……
(
1
)地一天有
a
个小男孩一起去了老爷爷家,老爷爷一共给了他们_______块糖;
(
2
)第 二天有
b
个小女孩一起去了老爷爷家,老爷爷一共给了她们_______块糖;
(
3
)第三天这(
a
+
b
)个小孩子一起去了老爷爷家,老爷 爷一共给了他们_______块糖;
(
4
)这些孩子第三天得到的糖果总数与前两 天他们得到的糖果总数哪个多?多多少?
为什么?
222
教学活动说明:学生分组讨 论,从有趣的分糖情景中理解(
a
+
b
)与
a
+
b
的关系.可激发
学生学习的欲望,体现循序渐进的原则,利于运用所学知识解决实际问题从而引 出课题.
探究(
a
+
b
)的几何意义
1
、(两 人合作探究):请同学们用自制长方形、正方形卡片拼出一个大正方形.按以下要
点思考:(
1
)大正方形的边长是多少?(
2
)写出每一块卡片的面积.(
3
)用 不同的形式表
示正方形的总面积,并进行比较,你发现了什么?
2
222
(
a
+
b
)
=
a
+
2ab
+
b
教学活动说明:由于正方形的总面积有多种表示方式,学生通过自己动手操作,观 察、
222
对比、猜想,了解(
a
+
b
)
=
a
+
2ab
+
b
的几何背景,对此公式有了一个直观的 认识.
2
2
、(学生猜想):(
a
-
b
)=?
教学活动说明:学生在直观认识的基础上,从代数角度推导公式,可以进一步理解算理.
鼓励学生自己探 索,鼓励算法多样化.
知识归纳交流活动
(学生活动):用自己所理解的语言叙述公式.理解并掌握公式的结构特征.
教学活动说明: 有意识培养学生有条理的思考和语言表达能力,在交流的氛围中分享同
学的想法.
公式的运用
(师生合作学习):两数和(差)的平方公式计算
第一题组
(
1
)(
a
+
1
);(
2
)(
a
+
3
);(
3
)(
2a
+
3b
);(
4
)(
2a
+
b
);
第二题组
(
1
)(
x
-
1
);(
2
)(
x
-
3
);(
3
)(
2x
-
3
y
);(
4
)(
2x
-
y
);
第三题组
(
1
)(-
2m
+< br>n
);(
2
)(-
2m
-
n
);(
3
)
1001
;(
4
)
999
.
(教学 活动说明):帮助学生理解公式中字母的广泛性,在练习的过程中掌握书写的格式.
体会公式的应用价值 .
六、学生反馈练习
(学生四大组竞赛活动):
(
1
)(2x
+
y
);(
2
)(
5a
+
4b
);(
3
)
97
;
(
1
)(
2x
-
y
);(
2
)(
5a
-
4b
);(
3
)
202
;
(
1
)(
x
+
2y
);(
2
)(
4a
+
5b
);(
3
)
101
;
(
1
)(
x
-
2y
);(
2
)(
4a
-
5b
);(
3
)
99
.
(教学活动说明):由 每个组的组长抽题交给本组成员,限定每人只能做一题然后传给下
一个同学,比速度、比合作、比准确, 通过学生的共同努力完成任务.在巩固知识的同时培
养团队精神和荣誉感.
七、知识的小结和延伸
教学活动说明:本节课理解掌握了两数和的平方公式,利用公式计算时 首先确定将哪个
数或者式看作
a
,哪个数或者式看作
b
,然后再按公 式展开.我们还可以运用所学的知识和方
法去探索(
a
+
b
+
c
)
的结论.只要求感兴趣的同学去探索.
2
22 2
222
222
222
2222
2222
2222
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