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《乘法公式》综合练习
12.3 乘法公式
一、基础训练
1．下列运算中，正确的是（ ）
A．（a+3）（a－3）=a
2
－3 B．（3b+2）（3b－2）=3b
2
－4
C．（3m－2n）（－2n－3m）=4n
2
－9m
2
D．（x+2）（x－3）=x
2
－6

2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（1+x） B．（
1
2
a+b）（b－
1
2
a）
C．（－a+b）（a－b） D．（x
2
－y）（x+y
2
）
3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n－1）－（3－n）（
的整数是（ ）
A．3 B．6 C．10 D．9
4．若（x－5）
2
=x
2
+kx+25，则k=（ ）
A．5 B．－5 C．10 D．－10
5．9.8×10.2=________;
6．a
2< br>+b
2
=（a+b）
2
+______=（a－b）
2
+________．
7．（x－y+z）（x+y+z）=________;
8．（a+b+c）
2
=_______．
9．（
1
2< br>x+3）
2
－（
1
2
x－3）
2
=____ ____．
10．（1）（2a－3b）（2a+3b）； （2）（－p
2
+q）（－p
2
－q）；

（3）（x－2y）
2
； （4）（－2x－
1
2
y）
2
．

11．（1）（2a－b）（2a+b）（4a
2
+b
2
）；


（2）（x+y－z）（x－y+z）－（x+y+z）（x－y－z）．


1 6
3+n）

《乘法公式》综合练习 12．有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路
的宽为n，试求剩 余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，
验证了什么公式？



二、能力训练
13．如果x
2
+4x+k
2
恰 好是另一个整式的平方，那么常数k的值为（
A．4 B．2 C．－2 D．±2
14．已知a+
1
a
=3，则a
2
+
1
a
2
，则a+的值是（ ）
A．1 B．7 C．9 D．11
15．若a－b=2，a－c=1，则（2a－b－c）
2+（c－a）
2
的值为（ ）
A．10 B．9 C．2 D．1
16．│5x－2y│·│2y－5x│的结果是（ ）
A．25x
2
－4y
2
B．25x
2
－20xy+4y
2

C．25x
2
+20xy+4y
2
D．－25x
2
+20xy－4y
2
17．若a
2
+2a=1，则（a+1）
2
=_________．
三、综合训练
18．（1）已知a+b=3，ab=2，求a
2
+b
2
；



（2）若已知a+b=10，a
2
+b
2
=4，ab的值呢？



19．解不等式（3x－4）
2
>（－4+3x）（3x+4）．


2 6
）

《乘法公式》综合练习
20．观察下列各式的规律．
1
2
+（1×2）
2
+2
2
=（1×2+1）
2
；

2
2< br>+（2×3）
2
+3
2
=（2×3+1）
2
；
3
2
+（3×4）
2
+4
2
=（3×4+ 1）
2
；
…
（1）写出第2007行的式子；
（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．
3 6
《乘法公式》综合练习
参考答案
1．C 点拨：在运用平方差公式写结果时，要 注意平方后作差，尤其当出现数
与字母乘积的项，系数不要忘记平方；D项不具有平方差公式的结构，不 能用
平方差公式，而应是多项式乘多项式．
2．B 点拨：（a+b）（b－a）=（b+a）（b－a）=b
2
－a
2
．
3．C 点拨：利用平方差公式化简得10（n
2
－1），故能被10整除．
4．D 点拨：（x－5）
2
=x
2
－2x×5+25=x
2
－10x+25．
5．99.96 点拨：9.8×10.2=（10－0.2）（1 0+0.2）=10－0.2=100－0.04=99.96．
6．（－2ab）；2ab
7．x
2
+z
2
－y
2
+2xz
点拨：把（x+z）作为整体，先利用平方差公式，然后运用完全平方公式．
8．a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc
点拨：把三项中的某两项看做一个整体，运用完全平方公式展开．
111
9．6x 点拨：把（x+3）和（x－3）分别看做两个整体，运用平方差公式（x+3）
222
111 11
2
－（x－3）
2
=（x+3+x－3）[x+3－（x－3）]=x· 6=6x．
22222
10．（1）4a
2
－9b
2
；（ 2）原式=（－p
2
）
2
－q
2
=p
4
－ q
2
．
点拨：在运用平方差公式时，要注意找准公式中的a，b．
（3）x
4
－4xy+4y
2
；
111
（4）解法一：（－2x－y）
2
=（－2x）
2
+2·（－2x）·（－y ）+（－y）
222
1
2
=4x
2
+2xy+y
2
．
4
111
解法二：（－2x－y）
2
=（2x +y）
2
=4x
2
+2xy+y
2
．
224
点拨：运用完全平方公式时，要注意中间项的符号．
11．（1）原 式=（4a
2
－b
2
）（4a
2
+b
2
） =（4a
2
）
2
－（b
2
）
2
=16a< br>4
－b
4
．
点拨：当出现三个或三个以上多项式相乘时，根据多项式的结构特征，先进
行恰当的组合．
（2）原式=[x+（y－z）][x－（y－z）]－[x+（y+z）][x－（y+z）]
=x
2
－（y－z）
2
－[x
2
－（y+z）
2< br>]
=x
2
－（y－z）
2
－x
2
+（y+z）
2

4 6
《乘法公式》综合练习
=（y+z）
2
－（y－z）
2

=（y+z+y－z）[y+z－（y－z）]
=2y·2z=4yz．
点拨：此题若用多项式乘多项式法则，会出现18项，书写会非常繁琐，认
真观察此式子的特点，恰当选 择公式，会使计算过程简化．
12．解法一：如图（1），剩余部分面积=m
2
－m n－mn+n
2
=m
2
－2mn+n
2
．
解法二：如图（2），剩余部分面积=（m－n）
2
．
∴（m－n）
2
=m
2
－2mn+n
2
，此即完全平方公式．
点拨：解法一：是用边长为m的正方形面积减去两条小路的面积，注意两
条小路有一个重合的边长为n的 正方形．
解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘，剩余面积即为边长为（m
－n） 的正方形面积．做此类题要注意数形结合．

13．D 点拨：x
2
+4 x+k
2
=（x+2）
2
=x
2
+4x+4，所以k
2
=4，k取±2．
14．B 点拨：a
2
+
11
2
=（a+）－2=3
2
－2=7．
2
aa
15．A 点 拨：（2a－b－c）
2
+（c－a）
2
=（a+a－b－c）
2< br>+（c－a）
2
=[（a－b）
+（a－c）]
2
+（c－ a）
2
=（2+1）
2
+（－1）
2
=9+1=10．
16．B 点拨：（5x－2y）与（2y－5x）互为相反数；│5x－2y│·│2y－ 5x│=
（5x－2y）
2
=25x
2
－20xy+4y
2
．
17．2 点拨：（a+1）
2
=a
2
+2a+1， 然后把a
2
+2a=1整体代入上式．
18．（1）a
2
+b2
=（a+b）
2
－2ab．
∵a+b=3，ab=2，
∴a
2
+b
2
=3
2
－2×2=5．
（2）∵a+b=10，
∴（a+b）
2
=10
2
，
5 6
《乘法公式》综合练习
a
2
+2ab+b
2
=1 00，∴2ab=100－（a
2
+b
2
）．
又∵a
2
+b
2
=4，
∴2ab=100－4，
ab=48．
点拨：上述两个小题都是利用完全平方公式（a+b）
2
=a
2
+2ab+b
2
中（a+b）、
ab、（a2
+b
2
）三者之间的关系，只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出
第三者．
19．（3x－4）
2
>（－4+3x）（3x+4），
（3x）
2
+2×3x·（－4）+（－4）
2
>（3x）
2
－4
2
，
9x
2
－24x+16>9x
2
－16，
－24x>－32．
4
x<．
3
点拨：先利用完全 平方公式，平方差公式分别把不等式两边展开，然后移项，
合并同类项，解一元一次不等式．
20．（1）（2007）
2
+（2007×2008）
2
+（2008）< br>2
=（2007×2008+1）
2

（2）n
2
+[n（n+1）]
2
+（n+1）
2
=[n（n+1）+1]
2
．
证明：∵n
2
+[n（n+1）]
2
+（n+1）
2

=n
2
+n
2
（n+1）
2
+n
2
+2n+1
=n
2
+n
2
（n
2+2n+1）+n
2
+2n+1
=n
2
+n
4
+2n
3
+n
2
+n
2
+2n+1
=n
4
+2n
3
+3n
2
+2n+1．
而[n（n+1）+1]
2
=[n（n+1）]
2
+2n（n+1）+1
=n
2
（n
2
+2n+1）+2n
2
+2n+1
=n
4
+2n
3
+n
2
+2n
2
+2n+ 1
=n
4
+2n
3
+3n
2
+2n+1，
所以n
2
+[n（n+1）]
2
+（n+1）
2
=[n（n+1）+1]
2
．
6 6