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作用力公式初高中数学衔接课程教案初高中数学公式大全-乘法公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-13 14:20
tags:乘法公式

写给女朋友的情话-吴起变法


初高中衔接课程
乘法公式
同学们,大家好:
今天和大家一起来复习乘法公式.在初中我们学过这两组乘法公式:
⑴平方差公式:(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
.
⑵ 完全平方公式:(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
, (a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
.
今天我们再来学习几个乘法公式,在高中会经常用到它们.
⑶三数和平方公式:(a+b+c )
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2a c+2bc.
证明:(a+b+c)
2
=[(a+b)+c]
2
= (a+b)
2
+2(a+b)c+c
2
=a
2
+2ab+b
2
+2ac+2bc+c
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc.
注:①大家要总结公式的规律,方便记忆和运用:三数和平方,等于这三个数的平方和,加
上每 两个数积的2倍;
②如果括号里有负号,把它看作加“负数”,仍用这个公式计算.
例1 计算⑴(x+2y+z)
2
; ⑵(m-n-3)
2
.
解 :⑴原式=x
2
+(2y)
2
+z
2
+2x·2y+2xz +2·2yz=x
2
+4y
2
+z
2
+4xy+2xz+4 yz.
⑵原式=m
2
+(-n)
2
+(-3)
2
+2m·(-n)+2m(-3)+2(-n)(-3)=m
2
+n
2
+9- 2mn-6m+6n.
例2 已知长方体的对角线长8,全面积为132,求所有棱长的和.
解:设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,则对角线长a
2
+b
2
+c
2
=8,即a
2
+b
2
+c
2
=64,
全面积S=2ab+2ac+2bc=132,求所有棱长的和,即求4(a+b+c),先求a+b+ c.
∵(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c2
+2ab+2ac+2bc=64+132=196=14
2
,
∴a+b+c=14,所有棱长的和为4(a+b+c)=4×14=56

⑷立方和 公式:(a+b)(a
2
-ab+b
2
)=a
3
+b
3
. 立方差公式:(a-b)(a
2
+ab+b
2
)=a3
-b
3

证明:(a+b)(a
2
-ab+b
2
)=a
3
-a
2
b+ab
2
+a
2< br>b-ab
2
+b
3
=a
3
+b
3

(a-b)(a
2
+ab+b
2
)=a
3
+a2
b+ab
2
-a
2
b-ab
2
-b
3
=a
3
-b
3
.
注:③这两个公式左边是两个数的和( 或者差),与一个二次三项式相乘,其首末两项是这
两个数的平方和,中间减去(或加上)它们的积,不 是积的2倍,所以它不是完全平方式.
..........
右边是这两个数的立方和(或者立 方差).
初高中衔接课程
大家必须抓住公式的特征,否则解题时,很容易用错.
例3 计算⑴(x-3)(x
2
+3x+9);
解:⑴原式=x
3
-3
3
=x
3
-27.
11
⑵原式=(2x)
3
+()
3
=8x
3
+.
28
例4 下列各式,能用立方和,立方差公式计算的是__________.
① (a-1)(a
2
-a+1);②(x
2
-y)(x
4
+x
2
y+y
2
);③(a+b)(a
2
-2ab+b
2
);④(a-2b)(a
2
+2ab+4b
2
).
解:①中间两个符号应该异号,错;②对;③三项式中间系数应该是1,错;④对.所以选②④. ⑸两数和立方公式:(a+b)
3
=a
3
+3a
2
b+ 3ab
2
+b
3
;
两数差立方公式:(a-b)
3
=a
3
-3a
2
b+3ab
2
-b
3
.
证明:(a+b)
3
=(a+b)
2
(a+b)=(a
2< br>+2ab+b
2
)(a+b)=a
3
+a
2
b+2a
2
b+2ab
2
+ab
2
+b
3
=a3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3

( a-b)
3
=(a-b)
2
(a-b)=(a
2
-2ab+ b
2
)(a-b)=a
3
-a
2
b-2a
2
b+2ab
2
+ab
2
-b
3
=a
3
-3a
2
b+3ab
2
-b
3
.
注:④这两个公 式是先求和(或差),再立方,而立方和,立方差公式是先求立方,再求和(或
差);
⑤这两 个公式的结果是一个三次齐次式,按照a的降幂,b的升幂排列,系数依次是
1,3,3,1,和立方系 数全正,差立方系数符号是+,-,+,-.这两个公式又称完全立方公
式.
例5 计算⑴(x+2)
3
; ⑵(3a-b)
3
.

11
⑵(2x+)(4x
2
-x+).
24
解:⑴原式= x
3
+3x
2
·2+3x·2
2
+2
3
= x
3
+6x
2
+12x+8.
⑵原式=(3a)
3
-3(3a)
2
b+3(3a)b
2
-b
3
=27a3
-27a
2
b+9ab
2
-b
3
.
例6 已知a+b=3,ab=1,求⑴a
2
+b
2
; ⑵a
3
+b
3
.
解:⑴∵a+b=3,ab=1,∴a
2
+b
2
=(a+b)
2
-2ab=3
2
-2=7.
⑵解1:∵a+b=3,ab=1,a
2
+b
2
=7∴a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)=3( 7-1)=18.
如果不求a
2
+b
2
,还可以这样做.
解2:⑵∵(a+b)
3
=a
3
+3a
2
b+3ab2
+b
3
=a
3
+b
3
+3ab(a+b)
初高中衔接课程
∴a
3
+b
3
=(a+b)
3< br>-3ab(a+b)=3
3
-3×1×3=18.
小结:本节课我们一起复习 了乘法公式,除了我们初中学过的平方差公式,完全平方公式,还
有三数和平方公式,立方和、立方差公 式,和立方、差立方公式,这些公式在高中都会用
到.
下面给大家留一份课后练习,请大家及时完成.

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