独特的英文-大运河淮安至扬州间的淮扬运河又称
3.4乘法公式（第1课时）教学设计
一、教学内容及其解析
1. 地位和作用
《平方差公式》是浙教版义务教育课程标准教科书七下《整式的乘除》的内容。平方差公式是第一次接触的代数公式，是学生在已经掌握多项式乘法基础上的结构特殊化和创造，是对多项式乘法中特殊结构的算式的一种归纳总结，是从一般到特殊的认识过程.平方差公式这一内容属于数学再创造活动的结果，它< br>在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起作十分重要的作用，是构建学生有价值的数学< br>知识体系并形成相应数学技能的重要内容.同时，其探究方法也为下节课完全平方公式的探究打下基础.
2. 内容的解析
本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的运用. 学生在上一节课中已经学会
了多项式乘以多项式的法则，但是想从繁多的多项式相乘的式子发现结果只有 两项的就比较难.教师应该引
导学生去关注结果只有两项的式子，去观察这些式子的特征，进而归纳出式 子的结构特点，得出猜想，利
用多项式相乘法则推导平方差公式.在探索的过程中引导学生理解和掌握公 式的结构特征，准确运用公式简
化运算.
3. 思想方法
教学中要引导学生从一般 的二项式乘二项式的式子中，特别关注结果只有两项的式子；引导学生观察
公式的结构特征，去发现公式 左右两边的特点进而归纳式子的结构特征.对于其他代数知识时，同样可以通
过观察、归纳、验证、推导 证明等思路来学习.
4. 育人价值
教学中要关注学生对公式的探索过程，让学生经历从“ 两个二项式”相乘结果中观察式子、归纳特殊式子
的结构特点、猜想公式、推导证明的知识发生过程，有 意识的发展学生观察、归纳、类比、概括等能力.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：经历公式的建构过程，掌握平方差公式的结构特点
二、教学目标及其解析
1. 目标
（1）探索平方差公式的建构过程，掌握平方差公式的结构特点
（2）运用平方差公式进行多项式的乘法
（3）运用平方差公式进行简便计算
2. 目标解析
达成目标（1）的标志是：能发现式子的结构特点，归纳出平方差公式：( a + b )( a - b )=a
2
-b
2
，
理解公
式中a表示完 全相同项，b表示只有符号相反项，结果为相同项的平方减去相反项的平方.
达成目标（2）的标志是 ：熟练运用平方差公式简化整式计算，理解平方差公式的本质，即结构的不变
性，字母的可变性. 达成目标（3）的标志是：熟练运用平方差公式对
103×97
等这样的算式进行简便计算 .
三、教学问题诊断分析
（1）学生具备的基础（知识、能力）
学生基本已经熟 练掌握了多项式与多项式相乘的法则，能够运用法则进行整式的乘法；可以从式子的
左右两边的结构上去 发现相应的特征.
（2）本课的目标需求（知识、能力）
学生要掌握多项式相乘法则，观察、归纳式子结构的特征，会用符号语言表示公式.
（3）可能存在的问题（问题、障碍）
学生具有一定的观察、分析、归纳的能力，可以通过简 单的文字描述出来，但是想抽象成符号表达则
比较的困难，也不够完整.
（4）应对策略（过程、方法）
学生分小组讨论，引导学生关注公式左右两边各自的特点、左 右两边之间的联系，进而协力得出公式
的结构特点.
基于以上分析，确定本节课的教学难点是 ：掌握平方差公式的结构特征，理解平方差公式的本质，即
结构的不变性，字母的可变性.
四、教学过程设计
一、引入：回顾旧识，引发思考，自主探究，归纳公式
师生活动：回忆一下多项式的乘法法则和符号表示，完成一组练习.
(
1
) (
x+2
)
(
y-1
)
；
(
2
) (
a+1
)(
a-1
)
;
(
3
)(
2-t
)(
t-2
)
;
(
4
)(
2m+ n
)(
2m-n
)
;
(
5
)(
2+a)(
a-2
)
.
问题1 ：两个二项式相乘一般有几项（不考虑合并的情况下），考虑合并的话又会有几项？
师生活动：结果只 有两项的式子比较特殊，我们今天选取结果只有两项的式子，这样的式子会有怎么
样共同的结构特征？
问题2 ：思考具有什么特点的二项式相乘，结果只有两项？
追问1 ：运算结果的两项与这两数有什么关系？
师生活动：仔细观察这些式子左边部分，可表示成两数和与两 数差乘积的形式；式子的右边部分表示
成这两数的平方差.
追问2 ：用一句文字描述关于这些式子的猜想，符号语言又怎么表示？
追问3 ：如何证明你的猜想？
师生活动：平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.即：( a + b )( a - b )=a
2
-b
2
.利用多
项式相乘法则推导：( a + b )( a - b )=a
2
-ab+ab-b
2
=a
2
-b
2.
设计意图： 从一般的二项式相乘中取出特殊的结果为两项的式子，思考运算结果的特殊的来源，进一
步关注式子中前两个多项式的结构特点，归纳结构特点进而抽象出平方差公式.
二、深入挖掘、加深理解
师生活动：对比这三道题：
(
1
)(a+1
)(
a-1
)
;
(
2
)(
2m +n
)(
2m-n
)
;
(
3
)(
2+a< br>)(
a-2
)
.
发现用平方差公式就
可以省略逐项相乘这一步，做到简化运算的效果，体现数学的简洁美！
问题3：公式里面的a
、
b在这些具体题目中怎么找？
师生活动：a指的是 完全相同项，b是只有符号相反项，结果是完全相同项的平方减去只有符号相反项
的平方.
追问1 ：下列各式能用平方差公式计算吗？
11
(1)(4a+3)(2a-3) (2)(3x+5y)(3x-5y)(3)(b-a)(-b+a)(4)(b+a)(-b+a)(5)(2 ab-c)(2ab+c)
22
设计意图： 掌握公式还需要理解公式的内涵，公式的结构不变；明白什么条件下能使用平方差公式.
三、借助例题，巩固新知
例1 利用平方差公式计算：
11
(1)(3 x+5y)(3x-5y)(2)(b+a)(-b+a)(3)(2ab-c)(2ab+c)
22
问题4： 要想利用平方差公式计算，我们先要做什么？
师生活动：观察是否有相同项和相反项，找准相同项和相反项.
追问1 ：我们找准之后怎么计算，计算的过程中要注意什么问题？
追问2 ：做完本题，你觉得计算的时候要注意什么问题？
师生活动：用平方差公式计算时要找准相同项和相反项，结果就是相同项的平方减去只有相反项
的平方；在计算过程中对于整体的a
、
b要带上括号， 还能合并和计算要计算到底.
练习巩固：计算：
(1)(-
1
m+0.25n)(-
1
m-0. 25n)(2)(2x
2
-
y
)(2x
2
+
y)(3)(2+a
2
)(2-a
2
)
2233
设计意图：掌握平方差公式的使用条件以及加深对于平方差的简单运用.
四、活用公式、开拓思维
师生活动：接下来，我们来看看，这些题目怎么做？
（1）(4-3y)( )=16-9y
2
（2）(-2n+m)( )=m
2
-4n
2
(3)(+2)(
-
2)=
x
4
-
4
(4)(x+y+z)(x+y-z)=( )
2
-( )
2
师生活动：公式里面的a
、
b能表示数，单项式，多项式，或者更复杂的代数式.
例2：简便计算
(
1
)
103×97
(
2
)
59.8×60.2
问题5：上述两题，我们可以利用列竖式得出结论，但是计算 会比较复杂，能否利用我们今天所学的平
方差公式予以简便计算.
追问1 ：可以把103、97看成那两数的和、差呢？
提升能力：先化简再求值：
当x=
1
时,求(2x-1)(2x+1)-(x+2)
(
x-2
)
的值.< br>
3
设计意图：深入理解公式的本质，结构的不变形，字母的可变性；同时运用平方差公 式简便计算.
五、总结反思
1、平方差公式的结构特点是怎么样的？
2、平方差公式中的a
、
b可以表示哪些式子？
3、满足什么条件的多项式相乘可以使用平方差公式？
4、我们是怎样归纳总结出平方差公式的？
设计意图：总结归纳，形成知识体系，明晰公式课的研究路径.
知识框图：
六、课后作业
1、运用平方差公式计算：
(
1
)(
-m+11
)(
-m-11
)
(
2
)
50.5×49.5
2、运用平方差公式计算：
(
2+1)
(
2+1
)(
2+1
)(
2+1
)
+1
.
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