死叉公式初二数学第11讲 乘法公式教案

第11讲 乘法公式
适用学科
适用区域
知识点
初中数学
人教版
平方差公式；完全平方公式
1、理解并掌握公式的结构特征，会用平方差公式，完全平方公式进行运算。
2、通过创设问 题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。培养学生的数学建模能
适用年级
课时时长（分钟）
初中二年级
120
教学目标
力 与抽象思维能力，感悟换元的思想方法，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维。
2、体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验。
教学重点
教学难点
掌握公式的结构特征及正确运用公式
公式推导的理解及字母的广泛含义


教学过程
一、复习预习
1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。





二、知识讲解
考点1.发现总结
计算下列各题
（1）（a-3）（a+3）（2）（1+2x）（1－2x）
（3） （a+3b）（a－3b）（4）（2x+y）（2x－y）
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？并举例计算验证自己的猜想.
平方差公式：（a+b）(a-b)=a
2
-b
2

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫平方差公式
平方差公式的特点：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
（2）右边是相同项的平方减去相反相的平方
（3）公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。
归纳：（a+b）(a-b)=a
2
-b
2
的8种变化形式
（1）位置变化
（2）符号变化
（3）系数变化
（4）指数变化
（5）增因式变化
（6）增项变化
（b+a）（-b+a）=(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
< br>（-a-b）（a-b）=-(a+b)(a-b)=-（a
2
-b
2
）
（2a+3b）（2a-3b）=（2a）
2
-（3b）
2
=4 a
2
-9b
2

(a
2
+b
2
) (a
2
-b
2
)=（a
2
）
2
-（b2
）
2
=a
4
-b
4

(a+b) (a-b)（-a-b）（-a+b）=(a
2
-b
2
)[(-a)
2
-b
2
]
(a-b-c)（a-b+c）=（a-b）
2
-c
2

（7）连用公式变化 (a+b)(a-b)(a
2
+b
2
)（a
4
-b
4
）=a
8
-b
8

22
（8）逆用公式变化
a-b=(a+b)(a-b)
考点2.发现、总结
根据乘方的定义，我们知道：a
2
=a·a，那么(a+b)
2
应该写成什么样的形式呢？
(a+b)
2
的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p+1）
2
=（p+1）（p+1）=_______； （m+2）
2
=_______；
（2）（p-1）
2
=（p-1）（p-1）=________； （m-2）
2
=_______；
通过计算，可以得到结果：（1）（p+1）2
=（p+1）（p+1）=p
2
+2p+1
（m+2）
2
=（m+2）（m+2）= m
2
+4m+4
（2）（p-1）
2
=（p-1）（p-1）= p
2
-2p+1
（m-2）
2
=（m-2）（m-2)=m
2
-4m+4
结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。
（1）（2）之间只差一个符号.


考点3.
结合以上情形，我们得到完全平方公式：(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2

(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2

即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
完全平方 公式的特点：公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项 是公式左边二项式中每一项的平
方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号” 不同。




考点4.
1、完全平方公式：(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
或(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
中的a、b 可以是单项式，也可以是多项式
2、对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以应用完全平方公式计算





三、例题精析
【例题1】
【题干】计算
（1）（a-2b）（2b+a）
（2）（3x-2y）（-3x-2y）
（3）（5mn-3mn）（-3mn-5mn）








【答案】
（1）（a-2b）（2b+a）= （a-2b）（a+2b）=a
2
-4b
2

（2）（3x-2y） （-3x-2y）=（-2y+3x）（-2y-3x）=4y
2
-9x
2

（3）（5mn-3mn）（-3mn-5mn）=（-3mn+5mn）（-3mn-5mn）=9m
2
n
2
-25m
2
n
2

【解析】直接运用平方差公式解答即可。

【例题2】
【题干】计算:
（1）9.8×10.2











2）59.8×60.2

（
【答案】（1）9.8×10.2 =（10-0.2）（10+0.2）=100-0.04=99.96
（2）59.8×60.2=（60-0.2）（60+0.2）=3600-0.04=3599.96
【解析】此类题注意向平方差公式形式转化，写成两个数的和与差的积的形式，使运算简便。

【例题3】
【题干】对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3- n）（3+n）的整数是（ ）
A．3 B．6







C．10 D．9


【答案】C
【解析】（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）=9n
2< br>-1-(9-n
2
)=9n
2
-1-9+n
2
=10 n
2
-10=10（n
2
-1）
n是正整数，10（n
2
-1）为10的整数倍，所以能被10整除。

【例题4】
【题干】计算
（1）（x-y+z）（




x+y+z）（2）（2a-b）（

2a+b）（4a
2
+b
2
）
【答案】（1）（x-y+ z）（x+y+z）=[(x+z)-y][(x+z)+y]=(x+z)
2
-y
2
（2）（2a-b）（2a+b）（4a
2
+b
2
）=（4a
2
-b
2
）（4a
2
+b
2
）=16a
4
-b
4

【解析】此题主要是平方差公式的综合应用，主要是找到a、b所 代表的具体式子，然后应用平方差公式进行计算。

【例题5】
【题干】计算(1)（2x+3）
2
(2)(a-2b)
2











【答案】(1)（2x+3）
2
=(2x)
2
+2﹒2x﹒3+3< br>2
=4x
2
+12x+9
(2)(a-2b)2
=a
2
-2﹒a﹒2b+(2b)
2
=a
2
-4ab+4b
2
【解析】此题直接应用完全平方公式计算即可。

【例题6】
【题干】计算(1)(-x-y)
2
(2)(3a+2)(-3a-2)








【答案】 (1)(-x-y)
2
=[-(x+y)
2
]=(x+y)
2
=x
2
+2xy+y
2
(2)(3a+2)(-3a-2)=(3a+2)[-(3a+2)]=-(3a+2)
2
=-(9a
2
+12a+4)=-9a
2
-12a-4

【解析】通过转化把各个式子转化为和完全平方公式然后利用公式进行计算，通过此例我们可以得到(-x-y )
2
可以直接转化为(x+y)
2
的形式

【例题7】
【题干】计算(1)102
2
(2)98
2







【答案】(1)102
2
=(100+2)
2
=10000+400+4=1 0404
(2)98
2
=(100-2)
2
=10000-400+4=9604 < br>【解析】根据数的特征，将底数转化为一个大数和一个小数和或差的形式，然后利用完全平方公式计算比较 简便。

【例题8】
【题干】如果x
2
-2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m=______．




【答案】-3或1
【解析】∵x
2< br>-2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴-2（m+1）=±4，则m=-3或1．

课堂小结
1、两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫平方差公式，即
（a+b）(a-b)=a
2
-b
2

平方差公式的特点：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
（2）右边是相同项的平方减去相反相的平方
（3）公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。

2、两数和的完全平方公式：(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2

两数差的完全平方公式：(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2

即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
完全平方 公式的特点：公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项 是公式左边二项式中每一项的平
方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号” 不同。
3、完全平方公式：(a+b)
2
=a
2
+2ab+b< br>2
或(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
中 的a、b可以是单项式，也可以是多项式
4、对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以应用完全平方公式计算