魔方最快公式北师大版七年级下册第一章《整式的乘除》乘法公式应用的五个层次

北师版七下数学第一章《整式的乘除》乘法公式应用的五个层次
教材中给出了以下乘法公式：
(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
，
(a±b)=a
2
±2ab+b
2
，
(a±b)(a
2
±ab+b
2
)=a
3
±b
3
．
对以上的重要公式，同学们学习时要有层次，有意识地由浅入深、由简单到
综合学会应用这些公式．下面 从五个方面说明乘法公式的应用．
第一层次──正用
即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．
例1 计算

(2)(-2x-y)(2x-y)．



(2)原式=[(-y)-2x][(-y)+2x]
=y
2
-4x
2
．
第二层次──逆用

即将这些公式反过来进行逆向使用．
例2 计算
(1)1998
2
-1998·3994+1997
2
；

解 (1)原式=1998
2
-2·1998·1997+1997
2

=(1998-1997)
2
=1



第三层次──活用

根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要
创造条件，灵活应用公式．
例3 化简
(2+1)(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1)+1．
分析 直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因
式“2-1”便 可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．
解 原式=(2-1)(2+1)(2
2< br>+1)(2
4
+1)(2
8
+1)+1
=(2
2
-1)(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1) +1
=…
=2
16
．
例4 计算：
(2x-3y-1)(-2x-3y+5)
分析 仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公 式相近，但常数不
符．于是可创造条件─“拆”数：-1=2-3，5=2+3，使用公式巧解．
解 原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)
=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)]
=(2-3y)
2
-(2x-3)
2
=9y
2
-4x
2
+12x-1 2y-5．
第四层次──变用
解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等 变形式，如
a
2
+b
2
=(a+b)
2
-2ab， a
3
+b
3
=(a+b)
3
-3ab(a+b)等，则求解 十分简单、明快．
例5 已知a+b=9，ab=14，求2a
2
+2b
2
和a
3
+b
3
的值．
解 ∵a+b=9，ab=14，
∴ 2a
2
+2b
2
=2[(a+b)
2
-2ab]
=2(9
2
-2·14)=106，
a
3
+b
3
=(a+b)
3
-3ab(a+b)
=9
3
-3·14·9=351
第五层次──综合后用
将(a+ b)
2
=a
2
+2ab+b
2
和(a-b)
2=a
2
-2ab+b
2
综合，
可得 (a+b)
2
+(a-b)
2
=2(a
2
+b
2
)；
(a+b)
2
-(a-b)
2
=4ab；

等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．限于篇幅，这里仅举一
例．
例6 计算：
(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)

=(2x +5)
2
-(y-z)
2
=4x
2
+20x+25-y2
+2yz-z
2