机械功率计算公式人教版八年级数学上册14.2乘法公式教学设计

14.2 乘法公式

14.2.1 平方差公式

第1课时

【教学目标】

知识与技能

会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.

过程与方法

经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握
平方差 公式.

情感、态度与价值观

通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与 他人合作的重要性,体验数学活动充满着探
索性和创造性.

【教学重难点】

重点:平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的了解.

难点:平方差公式的应用.

关键:对于平方差公式的推导,我们可以通过教师引导, 学生观察、总结、猜想,然后得出结
论来突破;抓住平方差公式的本质特征,是正确应用公式来计算的关 键.

【教学过程】

一、创设情境,故事引入

【情境设置】教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事

【学生活动】1位学生有 声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事,其他学生认真听着,不时
补充.

【教师归纳 】听了这则故事之后,同学们应该懂得这么一个道理,学习千万不能像狗熊掰
棒子一样,前面学,后面忘 ,那么,上节课我们学习了什么呢?还记得吗?

【学生回答】多项式乘以多项式.

【教师激发】大家是不是已经掌握呢?还是早扔掉了呢?和小狗熊犯了同样的错误呢?下
面我们 就来做这几道题,看看你是否掌握了以前的知识.

【问题牵引】计算:

(1)(x+2)(x-2);(2)(1+3a)(1-3a);

(3)(x+5y)(x-5y);(4)(y+3z)(y-3z).

做完之后,观察以上算式及运算结果,你能发现什么规律?再举两个例子验证你的发现.

【学生活动】分四人小组,合作学习,获得以下结果:

(1)(x+2)(x-2)=x
2
-4;

(2)(1+3a)(1-3a)=1-9a
2
;

(3)(x+5y)(x-5y)=x
2
-25y
2
;

(4)(y+3z)(y-3z)=y
2
-9z
2
.
【教师活动】请一位学生上台演示,然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果,寻找
规律.
【学生活动】讨论

【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘 法的结果的规律,这些是一
类特殊的多项式相乘,那么如何用字母来表示刚才同学们所归纳出来的特殊多 项式相乘的规
律呢?

【学生回答】可以用(a+b)(a-b)表示左边,那么右边 就可以表示成a
2
-b
2
了,即
(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
.

用语言描述就是:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

【教师 活动】表扬学生的探索精神,引出课题──平方差,并说明这是一个平方差公式和
公式中的字母含义.< br>
二、范例学习,应用所学

【教师讲述】

平方差公式的运 用,关键是正确寻找公式中的a和b,只有正确找到a和b,一切就变得容易
了.现在大家来看看下面几 个例子,从中得到启发.

例1:运用平方差公式计算:

(1)(2x+3)(2x-3);

(2)(b+3a)(3a-b);

(3)(-m+n)(-m-n).

填表:

(a+b)(a-b)

(2x+3)(2x-3)

(b+3a)(3a-b)

(-m+n)(-m-n)

a

2x

b

a
2
-b
2

(2x)
2
-3
2

结果












例2:计算:

(1)103×97;

(2)(3x-y)(3y-x)-(x-y)(x+y).

通过做题,应该能总结出:在两个因式中,符号相同的一项作a,符号不同的一项作b.

三、随堂练习,巩固新知

课本P108练习第1、2题.

四、课堂总结,发展潜能

本节课的内容是两数和与这两数差的积,公式指出了具有特 殊关系的两个二项式积的性
质.运用平方差公式应满足两点:一是找出公式中的第一个数a,第二个数b ;二是两数和乘以这
两数差,这也是判断能否运用平方差公式的方法.

五、布置作业,专题突破

课本112页第1(1)(2)题.

第2课时

【教学目标】

知识与技能

探究平方差公式的应用,熟练地应用于多项式乘法之中.

过程与方法

经历平方差公式的运用过程,体会平方差公式的内涵.

情感、态度与价值观

培养良好的运算能力,以及观察事物的特征的能力,感受到学习数学知识的实际价值.

【教学重难点】

重点:运用平方差公式进行整式计算.

难点:准确把握运用平方差公式的特征.

关键:弄清平方差公式的结构特点,左边: (1)两个二项式的积;(2)两个二项式中一项相同,另
一项互为相反数.右边:(1)二项式;(2 )两个因式中相同项平方减去互为相反数的项的平方.

【教学过程】

一、回顾交流,课堂演练

1.用平方差公式计算:

(1)(-9x-2y)(-9x+2y);

(2)(-0.5y+0.3x)(0.5y+0.3x);

(3)(8a
2
b-1)(1+8a
2
b);

(4)2008
2
-2009×2007.

2.计算:(a+b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b).

【教师活动】请部分学生上讲台“板演”,然后组织学生交流.

【学生活动】先独立完成课堂演练,再与同学交流.

二、范例学习,巩固深化

例1:计算:

(1)(y+2x)(2x-y);

(2)(-x-0.7a
2
b)(x-0.7a
2
b);

(3)(2a-3b)(2a+3b)(4a
2
+9b
2
)(16a
4
+81b
4
).

解:(1)原式=(x+y)(x-y)

=x
2
-y
2

(2)原式=(-0.7a
2b-x)(-0.7a
2
b+x)

=(-0.7a
2
b)
2
-(x)
2
=0.4 9a
4
b
2
-x
2

(3)原式=(4a
2
-9b
2
)(4a
2
+9b
2
)(16a
4
+81b
4
)

=(16a
4
-81b
4
)(16a
4
+81b
4
)

=256a
8
-6561b
8

例2:运用乘法公式计算:7×8.

【分析】因为7可改写为8-,8可改写成8+,这样可用平方差公式计算.

解:7 ×8=(8-)(8+)=8
2
-()
2
=64-=63.

【教师活动】边讲例边引导学生学会应用平方差公式.

【学生活动】参与到例1~2的学习中去.

三、课堂演练,拓展思维

【演练题1】想一想:(1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特征.


(2)从以上的过程中,你能寻找出什么规律?

(3)请你用字母表现你所发现的规律,并得出结论.

【演练题2】

1.计算:(1)118×122 (2)105×95 (3)1007×993

2.求(2-1)(2+1)(2
2
+1)(2
4
+1)…(2
32
+1)+1的个位数字.

【教师活动】组织学生进行课堂演练,并适时归纳.

【学生活动】先独立完成上面的演练题,再与同伴交流.

四、随堂练习,巩固提升

【探研时空】

1.计算:
< br>[2a
2
-(a+b)(a-b)][(-a-b)(-a+b)+2b
2].

2.解不等式:(3x+4)(3x-4)<9(x-2)(x+3).

3.利用平方差公式计算:1.97×2.03.

4.化简求值:x
4-(1-x)(1+x)(1+x
2
),其中x=-2.

【教师活动】引导学生通过探究,领会平方差公式的真正意义.

【学生活动】分四人小组合作学习,互相交流.

五、课堂总结,发展潜能

提问式总结:

1.什么叫做平方差公式?它有什么特征?

2.你在应用过程中有什么感想?

3.在应用平方差公式时,应注意什么?举例说明.

六、布置作业,专题突破

课本112页第1(3)(4)(5)(6)题.

14.2.2 完全平方公式

第1课时

【教学目标】

知识与技能

会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算,形成推理能力.

过程与方法

利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式.掌握完 全平方公式的计
算方法.

情感、态度与价值观

培养学生观察、类比、发现的能力,体验数学活动充满着探索性和创造性.

【教学重难点】

重点:完全平方公式的推导和应用.

难点:完全平方公式的应用.

关键:从多项式与多项式相乘入手,推导出完全平方公 式,利用几何模型和割补面积的方
法来验证公式的正确性.

【教学过程】

一、创设情境,导入新知

【情境设置】

寓言故事:请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事.

【学生活动】由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事,其他学生补充.

【教师活动】提出:你们从故事中学到了什么道理?(寓德于教)

【学生发言】比喻没有真才实学的人,混在行家里充数,或以次货充好货.

【教师引 导】对!所以我们在以后的学习和工作中,千万别滥竽充数,一定要有真才实学.
好.今天同学们喊得很 响亮,我要看看有没有南郭先生,请同学们完成下面的几道题:

(1)(2x-3)
2
;(2)(x+y)
2
;

(3)(m+2n)
2
;(4)(2x-4)
2
.

【学生活动】先独立完成以上练习,再争取上讲台演练.

解:(1)(2x-3)
2
=4x
2
-12x+9;
(2)(x+y)
2
=x
2
+2xy+y
2
;

(3)(m+2n)
2
=m
2
+4mn+4n
2
;

(4)(2x-4)
2
=4x
2
-16x+16.

【教师活动】组织学生通过上面的运算结果中的每一项,观察、猜测它们的共同特点.

【学生活动】分四人小组,讨论、观察、探讨,发现规律如下:

(1)右边第一项是 左边第一项的平方,右边最后一项是左边第二项的平方,中间一项是它
们两个乘积的2倍.
< br>(2)左边如果为“+”号,右边全是“+”号,左边如果为“-”号,它们两个乘积的2倍就为“-”号 ,其
余都为“+”号.

教师提问:那我们就利用简单的(a+b)
2
与(a-b)
2
进行验证,请同学们利用多项式乘法以及幂
的意义进行计算.

【学生活动】计算出(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
;(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
,完成后 ,一位学生上讲台板演.

【教师活动】利用学生的板演内容,引出本节课的教学内容──完全平方公式.

归纳:完全平方公式:

(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
;

(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
.

语言叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.

为了让学生直观理解公式,可做下面的拼图游戏.

【拼图游戏】解释:(1)现有图 1所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式
a
2
+2ab+b
2
,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意
义.

(2)你能根据图2,谈一谈(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
吗?

【课堂活动】第(1)题由小组合作,在互动中完成拼 图游戏,比一比,哪个四人小组快?第(2)
题,可以借助多媒体课件,直观地演示面积的变化,帮助学 生联想到
(a-b)
2
=a
2
-b
2
-2b(a- b)=a
2
-2ab+b
2
.

二、范例学习,应用所学

例1:运用完全平方公式计算:

(1)(-x-y)
2
;(2)(2y-)
2
.

(1)解法一:(-x-y)
2
=[(-x)+(-y)]
2

=(-x)
2
+2(-x)(-y)+(-y)
2

=x
2
+2xy+y
2
;

解法二:(-x-y)
2
=[-(x+y)]
2

=(x+y)
2
=x
2
+2xy+y
2
.

(2)解法一:(2y-)
2
=(2y)
2
-2·2y·+()2

=4y
2
-y+.

解法二:(2y-)
2
=[2y+(-)]
2

=(2y)
2
+2·2y·(-)+(-)
2

=4y
2
-y+.

例2:运用乘法公式计算9 999
2
.

解:9 999
2
=(10
4
-1)
2
=10
8
-2×10
4
+1

=100 000 000-20 000+1

=99 980 001.

三、随堂练习,巩固新知

【基础训练】

(1)(-)
2
;(2)(2xy+3)
2
;

(3)(-ab+)
2
;(4)(7ab+2)
2
.

【拓展训练】

(1)(-2x-3)
2
;(2)(2x+3)
2
;

(3)(2x-3)
2
;(4)(3-2x)
2
.

【教师活动】在学生完成“拓展训练”之后,让学生观察一下结果,看看有什么规律.

【学生活动】分四人小组合作交流,寻找规律如下:把以上所有的题目都看作两个数的和
的完全平方( 把减去一个数看作加上一个负数),如果两个数是相同的符号,则结果中的每一项
都是正的,如果两个数 具有不同的符号,则它们乘积的2倍这一项就是负的.

【探研时空】

已知:x+y=-2,xy=3,求x
2
+y
2
.

四、课堂总结,发展潜能

本节课学习了(a±b)
2
=a
2
±2ab+b
2
,两个乘法公式,在应用时,(1)要了解公式的结构和特征.记< br>住每一个公式左右两边的形式特征,记准指数和系数的符号;(2)掌握公式的几何意义;(3)弄清公式的变化形式;(4)注意公式在应用中的条件;(5)应灵活地应用公式来解题.

五、布置作业,专题突破

课本112页习题14.2第3、4、8、9题.

第2课时

【教学目标】

知识与技能

引导学生 通过观察、分析使他们掌握每一个乘法公式的结构特征及公式的含义,会正确
地运用这些公式.

过程与方法

通过探索和理解乘法公式,感受乘法公式从一般到特殊的认知过程,拓展思维空间.

情感、态度与价值观

培养良好的分析思想和与人合作的习惯,体会到数学算理的重要价值.

【教学重难点】

重点:正确应用乘法公式(平方差公式,完全平方公式).

难点:对乘法公式的结构特征以及内涵的理解.

关键:对公式的结构特征进行具体的分析,从中感悟公式的特点并加以概括.

【教学过程】

一、回顾交流,拓展延伸

教师提问:

1.请同学们说一说平方差公式与完全平方公式的内容.

2.这两个公式有什么区别?如何使用?

【学生活动】踊跃发言.

平方差公式:(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
.
完全平方公式:(a±b)
2
=a
2
±2ab+b
2

这里的字母a、b可以是数、单项式、多项式.

二、范例学习,拓展知识

例1:计算(2a-3b-4)(2a+3b+4)

【分析】该题关键在于正确的分 组,一般规律是:把完全相同的项分为一组,符合相反、绝
对值相等的项分为另一组.

例2:当a=-1,b=2时,求代数式[(a+b)
2
+(a-b)
2
] (a
2
-2b
2
)的值.

例3:已知a+b=-2,ab =-15,求a
2
+b
2
的值.

解:∵(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
,变形后可有a
2
+b
2
=(a+b)
2
-2ab.

把a+b=-2,ab=-15代入上式,则

a
2
+b
2
=(-2)
2
-2×(-15)=34.

三、随堂练习,巩固深化

【课堂演练】

演练题1:应用乘法公式计算:

1 995
2
-1 994×1 996.

演练题2:已知a+b=-6,ab=8,

求(1)a
2
+b
2
;(2)(a-b)
2
.

四、课堂总结,发展潜能

1.本节课应理解乘法公式是一种特殊形式的乘法,注意平 方差公式与完全平方公式的区
别.

2.在乘法计算中,能用公式简便计算的应该使用 公式,要注意公式的应用条件,记住公式的
模样,在此前提下对具体题目进行细致观察,想办法将题目调 整或变形,使之能使用公式,当然,
有些不能使用公式的整式乘法计算就只能运用一般的多项式乘法来进 行了.

五、布置作业,专题突破

课本112页第2、7题.