血压公式计算乘法公式与因式分解单元教学设计

单元备课 八上第2章 乘法公式与因式分解
临清市京华中学 齐 欣
2011-2-14
一、教材分析
1、内容分析
第2章“乘法公式 与因式分解”的内容分为两部分，即乘法公式和因式分解。本章内容属于
多项式最常用的恒等变形，是“ 数与代数”方面的基本知识和基本技能。今后遇到适合乘法
公式条件的乘式，可以直接用乘法公式写出乘 积，不必再按多项式乘多项式的法则来做。
2
本章教科书分4节。第2.1节先通过实例引导 学生得出（m+1）（m-1）=m-1,再由（a+b）
（a-b）推导出平方差公式。然后，教科书 借助于图形给出了a＞b＞0时平方差公式的几何
解释，以加强对公式的理解。第2.2节根据乘法的意 义和多项式乘法法则，得到了完全平方
222
公式（a+b）=a+2ab+b，又利用图形面 积的计算，对公式进行了直观的说明。教科书没有
22222
将（a-b）=a-2ab+b作 为公式列出，而是将（a-b）看作[a+（-b）]，进行了统一处理。
这样安排既有利于减轻学生的 记忆负担，又有利于学生运用转化的思想认识完全平方公式。
平方差公式和完全平方公式都叫做乘法公式 ，对于乘法公式，要求同学们都能独立推导出来，
并能作出几何解释，会利用公式进行简单的计算。第2 .3节和第2.4节首先给出了因式分解
的定义，接着依次介绍了提取公因式法和运用公式法。不仅要求 同学们能熟练利用这两种方
法进行因式分解，还要认识到因式分解与整式乘法互为逆过程。
2、任务分析
乘法公式与因式分解是下一章《分式》运算的基础。在解一元二次方程时，因式 分解是用于
降次的重要解法。在高中学习三角函数恒等变形、解一元二次不等式、对数运算中也经常用< br>到。本章突出了由特殊到一般的认识过程和由一般到特殊的应用过程。学习本章的意义并不
．．< br>在于让学生记忆几个公式和套用固定的模式，重要的是通过探求公式和应用公式的活动，提
．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．
高学生观察问题、探索问题、分析问题和解决问题的能力。
二、学情分析
学生在学习乘法公式与因式分解时，往往分辨不清什么样的结果是整式的乘法的 结果，什么
样的结果是因式分解的结果。因式分解时所用的公式是乘法公式的逆变形，所以应先熟练掌< br>握整式乘法内容，再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。在学习因式
分解之 前，可先对平方差公式、完全平方公式的应用及逆用作一个专题训练，因为整式乘法
中的平方差公式和完 全平方公式都是刚刚学习且应用较多的公式。作好这些准备工作之后，
再开始学习因式分解，提出因式分 解的定义，学生就会感到自然，顺理成章。而且这样会使
学生更确信因式分解与乘法公式是互逆的变形。 然后再讲授提公因式法、公式法（包括平方
差公式、完全平方公式）等分解因式的方法，学生就更容易接 受、理解了。
三、教学目标分析
1、会推导乘法公式，了解公式的几何解释，并能运用公式进行简单的计算。
2、在应用乘法公式进行计算的过程中，感受乘法公式的作用和价值。、
3、会用提公因式、公式法进行因式分解。
4、了解因式分解的一般步骤。
5、在因式分解中，经历观察、探索和作出推断的过程，提高分析能力和解决问题的能力。
四、重点、难点和关键分析
1、教学重点
（1）乘法公式的意义、乘法公式的由来和正确运用。
（2）用提公因式法和公式法进行因式分解
2、教学难点
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（1）在具体问题中，正确运用乘法公式
（2）在具体问题中，正确运用提公因式法和公式法分解因式
3、关键
使学生正确理解乘法公式和因式分解的意义，认识乘法公式的结构特征以及字母的广泛含
义。
五、策略方法分析
1、组织好学生的探索活动；
在教学过程中,借助学生已有的整 式乘法运算的基础,给学生提供丰富有趣的问题情境,并给
他们留有充分探索与交流的时间和空间,根据 需要创设具有启发性的问题情境,鼓励学生通
过独立思考与讨论交流发现问题情境中的变形关系,并运用 符号进行表示,然后再运用所学
的知识去解决相关的问题.
例如，在学习《2.1平 方差公式》时，由于这个公式比较简单，课前准备如下：先安排
学生复习整式乘法，为学习平方差公式做 好衔接。复习以下两点：（1）整式乘法的法则有
哪些？（2）进行多项式乘多项式时，易错点有哪些？ 如何克服？举例说明。
2、突出因式分解与乘法公式的互逆关系；
能否准确地表达整式乘法 与因式分解的关系，能否根据整式乘法公式的特点描述因式分解所
用公式的特点等。
3、因式分解的教学应抓住关键点；
会用提公因式法和公式法分解因式是学习本章内容的一个 重要目标。由于分解因式在下一章
的学习中还可以继续巩固，因此教学中要依据教科书的要求，适当地分 阶段进行必要的训练，
使学生在具备基本运算技能的同时，能够明白每一步的算理。
4、搞好例题教学，掌握分析解决问题的方法
例题教学的目的不是为了求得解答结果，而是通 过题目的解答过程为学生掌握分析问题和解
决问题的方法提供原形和模式，教学中应重视题目分析过程的 作用，引导学生思考题目的特
点，探索解题思路；例题解答之后，要引导学生反思思考过程，总结解题的 经验教训，对一
些常用的数学思想方法、解题策略要予以归纳概括，提示学生今后注意运用，让学生学会 综
合运用知识，增强综合运用知识的能力，拓宽知识面。
案例：下面以《因式分解》习题课的一个片段为例加一说明：
·复习纠错：判断下列各题因式分解的对错，为什么？
22 2
(1) x-2xy+y=(x-y)

2
(2) (x+3)(x-3)=x-9
22
(3) a-b+1=(a-b)(a+b+1)
22
(4) (x-y)+(x+y)=(x-y)(x+y+1)
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(5) (m-n)+(n-m) a=(m-n)(1-a)
(6) x+1=x(1+ 1 x)
这几个题目来源于学生日 常作业的错误，这道题的目的旨在整理因式分解的概念和因式分解
应该注意的地方，学习完一个概念后， 学生对概念的理解可能存在误区，这时教师需要从正
反两个方面进行强化。
·整理提升
333
例1：因式分解：（1）2x-8x (2) 3mn-27mn

点拨：先提公因式，然后用公式，最后应是连乘式。
33 3
变式练习：（1）2(x+1) -8(x+1) (2) 3m(n-1)-27m (n-1)

例2：因式分解：
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（1） ab+6ab+9b (2)xy+4xy+4 (3)(a+b)-4ab

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2
练习：
2 22 2
(1) (x+4)-2(x+4)+1 （2）(x+y)-4(x+y-1)
22
（3）4(x-y)-4z(x-y)+z

·思想方法：此题组体现的是整体思想。
整体思想是在因式分解时最常用的一种思想方法，通 过“先看再想，先想再做”和有层次的
练习，可以使学生比较明了使用这种方法的题目特征，从而达到渗 透思想的目的。
六、教学资源分析
1. 能用平方差公式计算的题目的特征
（1 ）公式特点：公式中左边为两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项仅差一个符号，
右边是一个求差 算式，谁减去谁是关键．
（2）如何确定公式中的a、b：在公式的左边，完全相同的一项是a，相差 一个符号的为b，
22
公式的右边是a－b．
2、关于完全平方公式的一些常用变形形式：
③（a＋b）＋（a－b）＝2（a＋b）；
22
④（a＋b）－（a－b）＝4ab．
掌握这些变形形式，可以使相关题目运算更简便．
【例题资源】
22
例1. 计算：（2x－3y）（2x＋3y）．
222
分析：此题可 先运用完全平方公式变形为（4x－12xy＋9y）（4x＋12xy＋9y），后用平方
222差公式化简，也可先逆用积的乘方和平方差公式变形为（4x－9y），后用完全平方公式．
解法一：
2222
原式＝（4x－12xy＋9y）（4x＋12xy＋9y）
2222
＝[（4x＋9y）－12xy][（4x＋9y）＋12xy]
422422
＝16x＋72xy＋81y－144xy
4224
＝16x－72xy＋81y
解法二：
2
原式＝[（2x－3y）（2x＋3y）]
222
＝[（2x）－（3y）]
222
＝（4x－9y）
4224
＝16x－72xy＋81y
评析：比较两种解法，解法二更简洁，因为参与计算的项较少，计算量更小．
22
变式：计算：（a+b）-(a-b)
例2. 化简下列各式：
（1）（a－b）（－b－a）；
（2）（3a＋b－2）（3a－b＋2）；
2
（3）（x－3）（x＋9）（x＋3）；
（4）59.8×60.2
2222


（2）（3a＋b－2）（3a－b＋2）
＝[3a＋（b－2）][3a－（b－2）]
22
＝（3a）－（b－2）
22
＝9a－（b－4b＋4）
22
＝9a－b＋4b－4；
2
（3）（x－3）（x＋9）（x＋3）
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3
＝[（x＋3）（x－3）]（x＋9）
22
＝（x－9）（x＋9）
4
＝x－81；
（4）59.8×60.2＝（60－0.2）（60＋0.2）
22
＝60－0.2＝3600－0.04＝3599.96．
评析：①应用平方差 公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的a，哪一项是公
式中的b．②在两个二项式中，相 同项是公式中的a，相反项的绝对值是公式中的b，乘积
22
是a－b，即相同项的平方减去相 反项的平方．
例3. 分解因式：（1）－a＋2a－a；（3）y－9（x＋y）；（4）a－< br>224
8ab＋16b．
3222
错解：（1）原式＝－a+2a－a＝－a（a+2a＋1）＝－a（a＋1）；
22
（2）原式＝2（x＋2x＋1）＝2（x＋1）；
222
（3）原式＝（y－3x－3y）＝（－2y－3x）＝(3x+2y)；
222
（4）原式＝（a－4b）．
错因分析：（1）加法交换律，将负号转化一下 ，结果在提负号时忘了改变一次项的符号；
（2）提公因式时，应该用“公因式去除多项式的每一项”， 此题括号中的第二项漏除，第
三项却又相乘；（3）将平方差公式和完全平方公式混淆，用错了公式；（ 4）分解因式不彻
22
底：a－4b还能分解．
22
正解：（1）原式＝－a（1－2a＋a）＝－a（1－a）；

（3 ）原式＝（y＋3x＋3y）（y－3x－3y）＝（4y＋3x）（－3x－2y）＝－（3x＋4y）（3x
＋2y）；
222222
（4）原式＝（a－4b）＝[（a＋2b）（a－2b） ]＝（a＋2b）（a－2b）．
评析：用公式法分解因式时应注意：①步骤为“先提后套”，有公因 式时先提公因式，后套
用公式．②提公因式时，注意系数与符号。

22
例4. 已知（a＋b）＝11,（a－b）＝7,求ab的值．
222222
分析：由完全平方公式知：（a＋b）＝a＋2ab＋b ①；（a－b）＝a－2ab＋b ②．将
22
①－②得到一个含有（a＋b）、（a－b）、ab的等式．
222
解：因为（a＋b）＝a＋2ab＋b ①；
222
（a－b）＝a－2ab＋b ②．
22
①减去 ②，得（a＋b）－（a－b）＝4ab，

评析：利用a＋b，（a＋b），（a－b），ab之间的转化关系，整体代入求值．
222
例5. 若△ABC的边长是a、b、c且满足a＋b＋c＝ab＋bc＋ac，试判断此三角形的形状．
22 2222
分析：由a＋b＋c＝ab＋bc＋ac可以猜想a＝b＝c一定成立，左边a、b、c均为平 方项，
右边ab，bc、ac为三个乘积项，而没有系数2,可以在两边同乘以2,试着配出完全平方式 ，
222
2ab、2bc、2ac均需要两个平方项，右边乘以2后，a、b、c各两个恰好能 构成三个完全
平方式．
222
解：因为a＋b＋c＝ab＋bc＋ac
222
所以2a＋2b＋2c＝2ab＋2bc＋2ac
222
所以2a＋2b＋2c－2ab－2bc－2ac＝0
222222
所以（a＋b－2ab）＋（b＋c－2bc）＋（a＋c－2ac）＝0
222
所以（a－b）＋（b－c）＋（a－c）＝0
222
又因为（a－b）≥0,（b－c）≥0,（a－c）≥0
222
所以（a－b）＝0,（b－c）＝0,（a－c）＝0
所以a＝b＝c，三角形a、b、c为等边三角形．
2222
23224
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评析：大胆猜想，三边相等，巧妙构造两边乘以2,实现目标：变成三个完全平方式．
【方法总结】
1. 把握公式的特点，公式中的a与b可表示具体的数，也可表示单项式或多项式．
2. 运用乘法公式时 ，要灵活处理符号，使运算准确简便．如：（－x＋2y）（－x－2y）．可
以把－x看成公式中的a ，2y看成公式中的b；也可先进行符号运算，（－x＋2y）（－x－
2y）＝[－（x－2y）][ －（x＋2y）]＝（x－2y）（x＋2y）．
七、课时安排分析
2.1平方差公式 1课时
2.2完全平方公式 2课时
乘法公式习题课 1课时
2.3用提公因式法进行因式分解 1课时
2.4用公式法进行因式分解 2课时
因式分解习题课 1课时
回顾与总结 1课时
八、知识结构分析

多项式乘多项式的法则








完全平方公式
乘法公式
平方差公式
互
为
逆
变
形


逆
用
因式分解
逆
用


利用公式法 提公因式法

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