dpi计算公式北师版七年级下册第一章《整式的乘除》乘法公式应用大全

北师版七下数学第一章《整式的乘除》乘法公式应用大全
活用乘法公式
乘法 公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的
结构特征，而且能灵活使用它们，才 能获得简捷合理的解法．现介绍几种方法，
供同学们参考．
一、对号a、b，正确运用
例1 计算(-2+3x)(-2-3x)．
分析：两个因式中的-2完全相同，而 3x与-3x互为相反数，因而可运用平方
差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．
解：原式=(-2)
2
-(3x)
2
=4-9x
2
．
二、适当变形，灵活运用
例2 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．
分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当
分组，再用平方差公式计算．
解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕
= (2x+5)
2
-(y-z)
2

= 4x
2
+20x+25-y
2
+2yz-z
2
．
三、分析情况，合理选用
例3 计算(2a+1)(2a-1)(4a
2
-2a +1)(4a
2
+2a+1)．
分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方 差公式计算它们的积，但若
先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．
解：原式=〔(2a+1)(4a
2
-2a+1)〕〔(2a-1)(4a
2
+2a+1)〕
= (8a
3
+1)(8a
3
-1)=64a
6
-1
四、创造条件，巧妙应用
例4 计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．
分析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全
相同，另一项互为相反数，又 因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计
算．
解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)
=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕
=(5a+2c)
2
-(3b-4c)
2

=25a
2
+20ac+4c
2
-9b
2
+24bc-16c
2

=25a
2
-9b
2
-12c
2
+20ac+24bc．
五、避繁就简，逆向运用
例5 计算(x+y)
2
-2(x+y)(x-y)+(x-y)
2

分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，
可逆用完全平方 公式，迅速得出结果．
解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕
2
=4y
2
．
六、明确联系，综合运用
乘法公式的主要变式有：
①a
2
+b< br>2
=(a+b)
2
-2ab=(a-b)
2
+2ab；
②(a+b)
2
+(a-b)
2
=2(a
2
+ b
2
)；
③(a+b)
2
-(a-b)
2
=4ab；
④a
3
+b
3
=(a+b)
3
-3ab(a+b)．
熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．
例6 已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)
2
的值．
解：由完全平方公式得 (a+b)
2
-(a-b)
2
=4ab，则(a-b)
2
= (a+b)
2
-4ab．
∵a+b=5，ab=2
∴(a-b)
2
=5
2
-4×2=17．
逆用乘法公式解题
1 平方差公式
(a+b)(a-b)=a
2
-b
2

2 完全平方公式
(a±b)
2
=a
2
±2ab+b
2

3 立方和（差）公式

它们是整式运算的重点，又是整个代数计算的 基础，所以，同学们不仅要会
正向运用，还要熟练地逆向运用．
1．逆用平方差公式


解 原式






故选(D)




解 对分母逆用平方差公式，得
分母=(10031991
2
-1)+(19931993
2
-1)

=19931992×19931990+19931994×19931992
=19931992×[(19931992-2)+(19931992+2)]
=2×19931992
2


例3 计算

1990
2
-1989
2
+1988
2
-1987
2
+…+2
2
-1
解 原式
=(1990
2
-1989
2
)+(1988
2
-1987
2
)+ …+(2
2
-1)
=(1990+1989)+(1988+1987)+…+(2+1)
=1990+1989+1988+1987+…+2+1




=1981045
2．逆用完全平方公式
例4 计算
1.2345
2
+0.7655
2
+2.469×0.7655
解 原式
=1.2345
2
+2×1.2345×0.7655+0.7655
2

=(1.2345+0.7655)
2

=2
2
=4
例5 已知a=123456789，b=123456785， c=123456783，则a
2
+b
2
+c
2
-ab- bc-ca
的值是_______．
解 逆用完全平方公式得








3．逆用立方和（差）公式
例6 已知a+b=2，那么a
3
+6ab+b
3
=______
解 原式=a
3
+b
3
+6ab
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)+6ab
=2(a
2
-ab+b
2
)+6ab
=2a
2
+4ab+b
2

=2(a+b)
2
=2×2
2
=8

解 设a=11111，则





4．逆用多个公式
例8 若a=1995
2
+1995
2
·1 996
2
+1996
2

求证：a是一个完全平方数．
证明 a=1995
2
+1995
2
×1996
2+1996
2

=1995
2
×1996
2
+1995
2
-1+1996
2
+1
=1995
2
×1996
2
+1996×1994+1996
2
+1
=1995
2
×1996
2
+1996(1994+1996)+1
=(1995×1996)
2
+2·1995·1996+1
=(1995×1996+1)
2

∴a是一个完全平方数
例9 已知7
24
-1可被40至50之间的两个整数整除，这两个数是 [ ]
A．41,48 B．45,47
C．43,48 D．41,47
解 7
24
-1
=(7
12
+1)(7
6
+1)(7
3
+1)(7
3
-1)
=(7
12
+1)(7
6
+1)(7+1)
(7
2
-7+1)(7-1)(7
2
+7+1)
=(7
12
+1)(7
6
+1)×8×43×6×57
=(7
12
+1)(7
6
+1)×43×48×57
故应选(C)
活用乘法公式的“八先”
运用乘法公式可使乘法运算简捷，但有些多项 式相乘不能直接运用公式计
算，这时若能先适当变形，使之便于运用公式，则往往可化难为易、避繁就简 ．
一、先结合后用公式
例1 计算(a-b+c-d)(a+b-c-d)．
分析：两因式中的a，-d分别相同，而b，c分别相反，因而可把第一、四
项结合为一组 ，第二、三项结合为另一组，再用平方差公式计算．
解： 原式=[(a-d)-(b-c)][(a-d)+(b-c)]
=(a-d)
2
-(b-c)
2

=a
2
-2ad+d
2
-b
2
+2bc-c
2
．
二、先活用运算律后用公式

分析：本题虽可利用平方差公式计算，但若能利用乘法交换律与结合律适当
变形，改用立方和与立方差公 式计算较简便．

三、先逆用法则后用公式
例3 计算(x-y)
2
(x+y)
2
(x
2
+y
2
)
2
．

分析：若顺向先平方展开再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则(abc)
2

=
a
2
b
2
c
2
，再利用平方差公式计算较简捷．
解： 原式=[(x-y)(x+y)(x
2
+y
2
)]
2

=[(x
2
-y
2
)(x
2
+y
2
)]
2

=(x
4
-y
4
)
2

=x
8
-2x
4
x
4
+y
8
．
四、先拆项后用公式
例4 计算(2x+5y-3)(-2x+5y+5)．
分析：初看两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以运用公式求解，但
若把“-3”拆 为“-4+1”，把“5”拆为“4+1”，则运用公式的前景依稀可见．
解：原式=(2x+5y-4+1)(-2x+5y+4+1)
=[(5y+1)+(2x-4)][(5y+1)-(2x-4)]
=(5y+1)
2
-(2x-4)
2

=25y
2
+10y-4x
2
+16x-15．
五、先增添因式后用公式
例5 计算(2
2
+2+1)(2
6
+2
3
+1)(218+2
9
+1)．
分析：若直接相乘将繁杂冗长，注意到各因式具有立方差公式中第二个因式
的结构特征，因 而先增添因式(2-1)，再用公式简捷运算．
解：原式=(2-1)(2
2
+2+1)(2
6
+2
3
+1)(218+2
9
+1)
=(2
3
-1)(2
6
+2
3
+1)(218+2
9
+1)
=(2
9
-1)(218+2
9
+1)
=2
2
7-1．
六、先换元后用公式
例6 计算(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)．
分析：注意到1+4=2+3这个特征，因而可先换元然后运用公式计算．
解：原式=(x+1)(x+4)](x+2)(x+3)]
=(x
2
+5x+4)(x
2
+5x+6)
设a=x
2
+5x+5，则
原式=(a-1)(a+1)=a
2
-1
=(x
2
+5x+5)
2
-1
=x
4
+10x
3
+35x
2
+50x+24．
说明：本解法用到了公式(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc．
七、先变换所求式后用公式
例7 a=1998x+1997，b=1998x+1998，c= 1998x+1999，那么a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca
的值是______．
分析：注意到所求式的2培具有完全平方公式的特征，因而先变换所求式然
后应用公式计算．
解：由已知，得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，则




八、先添项后用公式

例8 若(z-x)
2
-4(x-y)(y-z)=0，则x+z-2y+1999=_______．
分析：注意到已 知式中4(x-y)(y-z)具有完全平方公式中2ab的形式，因而在
(z-x)
2
中添项“-y+y”，把它变形为[(z-y)+(y-x)]
2
，然后运用公式计算．
解：∵(z-x)
2
-4(x-y)(y-z)
=[(z-y)+(y-z)]
2
-4(z-y)(y-x)
=(z-y)
2
-2(z-y)(y-x)+(y-x)
2

=[(z-y)-(y-x)]
2
=(x+z-2y)
2
=0，
∴x+z-2y=0．
∴x+z-2y+1999=0+1999=1999．