分解因式公式法常见导数公式

常见导数公式：
① C'=0(C为常数函数)；
② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；
③ (sinx)' = cosx；
(cosx)' = - sinx；
(tanx)'=1(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2
-(cotx)'=1(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2
(secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx
④ (sinhx)'=hcoshx
(coshx)'=-hsinhx
(tanhx)'=1(coshx)^2=(sechx)^2
(coth)'=-1(sinhx)^2=-(cschx)^2
(sechx)'=-tanhx·sechx
(cschx)'=-cothx·cschx
⑤ (e^x)' = e^x；
(a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）
(Inx)' = 1x（ln为自然对数）
(logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^12)'=[2(x^12)]^(-1)
(1x)'=-x^(-2)
另外就是复合函数的求导：
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(uv)'=(u'v-uv') v^2

后面这些高中用不到，但是多掌握点遇到时就可以直接写出来，不用再换算成
常见函数来求解，
(arcsinx)'=1(1-x^2)^12
(arccosx)'=-1(1-x^2)^12
(arctanx)'=1(1+x^2)
(arccotx)'=-1(1+x^2)
(arcsecx)'=1(|x|(x^2-1)^12)
(arccscx)'=-1(|x|(x^2-1)^12)
(arsinhx)'=1(x^2+1)^12
(arcoshx)'=1(x^2-1)^12
(artanhx)'=1(x^2-1) (|x|<1)
(arcothx)'=1(x^2-1) (|x|>1)
(arsechx)'=1(x(1-x^2)^12)
(arcschx)'=1(x(1+x^2)^12)
1、x→0，sin(x)／x →1
2、x→0，（1 + x）^（1／x）→e
x→∞ ，（1 + 1／x）^（1x） → 1
（其中e≈2.7182818... 是一个无理数）
函数极限的运算法则
设lim f(x) ，lim g(x)存在，且令lim f(x) =A, lim g(x)=B，则有以下
运算法则，
线性运算








加减：
lim ( f(x) ± g(x) )= A ± B
数乘：
lim( c* f(x)）= c * A （其中c是一个常数）
非线性运算










乘除：
lim( f(x) * g(x))= A * B
lim( f(x) g(x)) = A B ( 其中B≠0 )
幂：
lim( f(x) ) ^n = A ^ n

导数公式及证明

这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）:
1.y=c(c为常数) y'=0
2幂函数.y=x^n, y'=nx^(n-1) (n∈Q*) 熟记1X的导数
3.(1)y=a^x ,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x 唯一一个导函数为本身
的函数
4.(1)y=logaX, y'=1xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx ,y'=1x
5.y=(sinx y)'=cosx
6.y=（cosx y）'=-sinx
7.y=(tanx y)'=1(cosx)^2
8.y=（cotx y）'=-1(sinx)^2
9.y=（arcsinx y）'=1√1-x^2
10.y=（arccos y）'=-1√1-x^2
11.y=（arctanx y）'=1(1+x^2)
12.y=（arccotx y）'=-1(1+x^2)
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量， 而
g'(x)中把x看作变量』
2.y=uv,y'=(u'v-uv')v^2
3. 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)
的反函 数是x=g(y），则有y'=1x'
证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所 以处处的切线都是平行
于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：
y=c,Δy=c- c=0,limΔx→0ΔyΔx=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推 导的话就不能推广到
n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1x这两个结果后能用复合函数的求导
给予证明。
3.y=a^x,
Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)
ΔyΔx=a^x(a^Δx-1)Δx
如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一 个辅助的函数β＝
a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β )。
所以(a^Δx-1)Δx＝βloga(1+β)=1loga(1+β)^1β
显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1β=e,所以
l imβ→01loga(1+β)^1β=1logae=lna。
把这个结果代入limΔx →0ΔyΔx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)Δx后得到
limΔx→0ΔyΔx=a^xl na。
可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)x=loga[(1+Δxx)^x]x
ΔyΔx=loga[(1+Δxx)^(xΔx)]x
因为当Δx→0时，Δx x趋向于0而xΔx趋向于∞，所以
limΔx→0loga(1+Δxx)^(xΔx)＝logae ,所以有
limΔx→0ΔyΔx＝logaex。
也可以进一步用换底公式
limΔx→0ΔyΔx＝logaex=lne(x*lna)=1(x*lna)=(x*ln a)^(-1)
可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1x。
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以
y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·nx=nx^(n-1)。
5.y=sinx
Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx2)sin(Δx2)
ΔyΔx=2cos(x+Δx2)sin(Δx2)Δx=cos(x+Δx2)sin(Δx2)(Δx2)
所以
limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0cos(x+Δx2)·limΔx→0s in(Δx2)(Δx2)=c
osx
6.类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinxcosx

y'=[(sinx)'cosx- sinx(cosx)']cos^2x=(cos^2x+sin^2x)cos^2x=1cos^2x
8.y=cotx=cosxsinx
y'=[(cosx)'sinx- cosx(sinx)']sin^2x=-1sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1x'=1cosy=1√1-sin^2y=1√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1x'=-1siny=-1√1-cos^2y=-1√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1cos^2y
y'=1x'=cos^2y=1sec^2y=11+tan^2x=11+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1sin^2y
y'=1x'=-sin^2y=-1csc^2y=-11+cot^2y=-11+x^2
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx 等和
其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能较快捷地求得结果。
对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。
y=x^n
由指数函数定义可知，y>0
等式两边取自然对数
ln y=n*ln x
等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数
y' * (1y)=n*(1x)
y'=n*yx=n* x^n x=n * x ^ (n-1)
幂函数同理可证
导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率
上面说的分 母趋于零,这是当然的了,但不要忘了分子也是可能趋于零的,所
以两者的比就有可能是某一个数,如果 分子趋于某一个数,而不是零的话,那么比
值会很大,可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在 .
xx,若这里让X趋于零的话,分母是趋于零了,但它们的比值是1,所以极限
为1.
建议先去搞懂什么是极限.极限是一个可望不可及的概念,可以很接近它,
但永远到不了那个岸.
并且要认识到导数是一个比值.


三角函数公式:
现列出公式如下:
sin2α=2sinαcosα
tan2α=2tanα(1-tan^2(α))
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)(-1+3*tan(α)^2)
半角公式








sin^2(α2)=(1-cosα)2
cos^2(α2)=(1+cosα)2
tan^2(α2)=(1-cosα)(1+cosα)
tan(α2)=sinα(1+cosα)=(1-cosα)sinα
万能公式
sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]
cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]
积化和差公式








sinα
cosα
cosα
sinα
·cosβ
·sinβ
·cosβ
·sinβ=(12)[sin(α+β)+sin(α-β)]
=(12)[sin(α+β)-sin(α-β)]
=(12)[cos(α+β)+cos(α-β)]
=-(12)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]cos[(α-β)2]
sinα- sinβ=2cos[(α+β)2]sin[(α-β)2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]cos[(α-β)2]
cosα- cosβ=-2sin[(α+β)2]sin[(α-β)2]
其他

sin α+sin(α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α+2π*3n)+……+sin[α+2π *(
n-1)n]=0

cosα+cos(α+2πn)+cos(α+2π *2n)+cos(α+2π*3n)+……+cos[α+2π*(
n-1)n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

① C'=0(C为常数函数)；
② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1X的导数
③ (sinx)' = cosx；
(cosx)' = - sinx；
(tanx)'=1(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2
-(cotx)'=1(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2
(secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx
(arcsinx)'=1(1-x^2)^12
(arccosx)'=-1(1-x^2)^12
(arctanx)'=1(1+x^2)
(arccotx)'=-1(1+x^2)
(arcsecx)'=1(|x|(x^2-1)^12)
(arccscx)'=-1(|x|(x^2-1)^12)
④ (sinhx)'=hcoshx
(coshx)'=-hsinhx
(tanhx)'=1(coshx)^2=(sechx)^2
(coth)'=-1(sinhx)^2=-(cschx)^2
(sechx)'=-tanhx·sechx
(cschx)'=-cothx·cschx
(arsinhx)'=1(x^2+1)^12
(arcoshx)'=1(x^2-1)^12
(artanhx)'=1(x^2-1) (|x|<1)
(arcothx)'=1(x^2-1) (|x|>1)
(arsechx)'=1(x(1-x^2)^12)
(arcschx)'=1(x(1+x^2)^12)
⑤ (e^x)' = e^x；
(a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）
(Inx)' = 1x（ln为自然对数）
(logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^12)'=[2(x^12)]^(-1)
(1x)'=-x^(-2)