公式魔术高一必修四(推导公式)

推导公式：(a+b+c)(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径)
由正弦定理有
asinA=bsinB=csinC=2R
所以
a=2R*sinA
b=2R*sinB
c=2R*sinC
加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入
(a+b+c) (sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB+sin C)=2R
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)(cotB-cotA)
倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA
对数的性质及推导
用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数
*表示乘号，表示除号
定义式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质：
1.a^(log(a)(b))=b
(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
(a)(MN)=log(a)(M)-log(a)(N);
(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推导
1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)
=M*N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
3.与2类似处理
MN=MN
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN)=log(a)(M)-log(a)(N)
4.与2类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
其他性质：
性质一：换底公式
log(a)(N)=log(b)(N)log(b)(a)
推导如下
N=a^[log(a)(N)]
a=b^[log(b)(a)]
综合两式可得
N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)] *[log(b)(a)]}
又因为N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N)log(b)(a)
性质二：（不知道什么名字）
log(a^n)(b^m)=mn*[log(a)(b)]
推导如下
由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n)ln(b^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)][m*ln(b)]=(mn)*{[ln(a )][ln(b)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=mn*[log(a)(b)]
--------------- -----------------------------（性质及推导完）
公式三:
log(a)(b)=1log(b)(a)
证明如下:
由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b) =1
=1log(b)(a)
还可变形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=1
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·商的关系：
tanα=sinαcosαcotα=cosαsinα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
万能公式：
sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]
cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα
sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα
sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα
sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
一般的最常用公式有:
Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA
Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA
Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB
Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB
Tan(A+B)=(TanA+TanB)(1-TanA*TanB)
Tan(A-B)=(TanA-TanB)(1+TanA*TanB)
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanα·tanβ)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(12)sin(α+t)，其中
sint=B(A^2+B^2)^(12)
cost=A(A^2+B^2)^(12)
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα[1-tan^2(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式：
sin(α2)=±√((1-cosα)2)
cos(α2)=±√((1+cosα)2)

tan(α2)=±√((1-cosα)(1+cosα))=sinα(1+cos α)=(1-cosα)sinα
·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))2=versin(2α)2
cos^2(α)=(1+cos(2α))2=vercos(2α)2
tan^2(α)=(1-cos(2α))(1+cos(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]
cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(12)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(12)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(12)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(12)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]cos[(α-β)2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)2]sin[(α-β)2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]cos[(α-β)2]
cosα- cosβ=-2sin[(α+β)2]sin[(α-β)2]
·其他：
sin α+sin(α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α+2π*3n)+……+sin[α+2π *(n-1)n]=0
cosα+cos(α+2πn)+cos(α+2π*2n)+cos( α+2π*3n)+……+cos[α+2π*(n-1)n]=0以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
部分高等内容
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)](2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)][ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展开有 无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z1！＋z^22！＋z^33！＋z^44！＋…＋z^nn！＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们 可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角
函数的类似的性质，二者相映成趣。
特殊三角函数值
a0`30`45`60`90`
sina012√22√321
cosa1√32√22120
tana0√331√3None
cotaNone√31√330
三角函数的计算
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)
c0+c1 (x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数,这种 级数称为幂级
数.
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+ f'(a)1!*(x-a)+f''(a)2!*(x-a)2+...f(n)(a)n!*(x-a)n+ ...
实用幂级数：
ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...
ln(1+x)=x-x23+x33-...(-1)k-1*xkk+...(|x|<1)
sinx=x-x33!+x55!-...(-1)k-1*x2k-1(2k-1)!+...(-∞ cosx=1-x22!+x44!-...(-1)k*x2k(2k)!+...(-∞ arcsinx=x+12*x33+1*3(2*4)*x55+...(|x|<1)
arccosx=π-(x+12*x33+1*3(2*4)*x55+...)(|x|<1)
arctanx=x-x^33+x^55-...(x≤1)
sinhx=x+x 33!+x55!+...(-1)k-1*x2k-1(2k-1)!+...(-∞ coshx=1+x22!+x44!+...(-1)k*x2k(2k)!+...(-∞ arcsinhx=x-12*x33+1*3(2*4)*x55-...(|x|<1)
arctanhx=x+x^33+x^55+...(|x|<1)
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傅立叶级数(三角级数)
f(x)=a02+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx)
a0=1π∫(π..-π)(f(x))dx
an=1π∫(π..-π)(f(x)cosnx)dx
bn=1π∫(π..-π)(f(x)sinnx)dx
注意：正切也可以表示为“Tg”如：TanA=TgA
Sin2a=2SinaCosa
Cos2a=Cosa^2-Sina^2
=1-2Sina^2
=2Cosa^2-1
Tan2a=2Tana1-Tana^2