反馈公式高等数学公式定理(全)

高等数学复习公式
·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα

·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1

直角三角形ABC中,



·三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanα·tanβ)

·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα ·sin
β·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sin
β·sinγ- sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ- tanα·tan
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, β·tanγ)(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,

·辅助角公式：
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Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(12)sin(α
+t)，其中
sint=B(A^2+B^2)^(12)
cost=A(A^2+B^2)^(12)
tant=BA
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(12)cos(α
-t)，tant=AB
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2(tanα+cotα) < br>cos(2
α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：
sin(α2)=±√((1-cosα)2)
cos(α2)=±√((1+cosα)2)
tan(α2)=±√((1-cosα) (1+cosα))=sinα
(1+cosα)=(1-cosα)sinα

·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))2=versin(2α)2
cos^2(α)=(1+cos(2α))2=covers(2α)2
tan^2(α)=(1-cos(2α))(1+cos(2α))

·万能公式：
sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]
cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]

·积化和差公式：
sinα·cosβ=(12)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(12)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(12)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(12)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]cos[(α-β)2]
sinα- sinβ=2cos[(α+β)2]sin[(α-β)2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]cos[(α-β)2]
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cosα- cosβ=-2sin[(α+β)2]sin[(α-β)2]

·推导公式
tanα+cotα=2sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα2+cosα2)^2

·其他：
sin α+sin(α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α
+2π*3n)+……+sin[ α+2π*(n-1)n]=0
cosα+cos(α+2πn)+cos(α+2π
*2 n)+cos(α+2π*3n)+……+cos[α+2π
*(n-1)n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π
3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+
B)=0
三角函数的角度换算
[编辑本段]
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角
函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三
角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα

公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

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公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的
三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα

公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α
的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间
的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)](2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]2
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tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα
sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα
sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα
sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
部分高等内容
[编辑本段]
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒
级数易得)：
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tanx=[e^(ix)-e^(-ix)][ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰 勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z1！＋z^22！＋z^33！＋z^44！＋…＋z^nn ！
＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表 示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与
三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
特殊三角函数值
a 0` 30` 45` 60` 90`
sina 0 12 √22 √32 1
cosa 1 √32 √22 12 0
tana 0 √33 1 √3 None
cota None √3 1 √33 0


考研数学高数定理定义总结


第一章 函数与极限
1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下
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界；如果有f(x)≤K2，则有上界 ，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要
条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数 列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数
列{xn }一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数
列有界是 数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的 关系)如果数列{xn} 收敛于a，那么它的任一子数列
也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数 列{xn}是发散的，
如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于 1，{xnk}收敛于-1，{xn}却
是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能 是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有 极
限与f(x)在点x0有没 有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim( x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着
点那么x0的 某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必 要条件是左极限右极限各自存在并且相
等，即f(x0- 0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果 lim(x→∞ )f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x )=∞，则直线x=x0是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限 个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积
是无穷小；常数与无穷小的乘积是 无穷小；有限个 无穷小的乘积也是无穷小；定理
如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2( x)=b，那么a≥b.
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5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinxx)=1；lim(x→∞)(1+ 1x)x=1.夹逼准
则如果数列 {xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且 limyn=a，limzn=a，那么
limxn=a，对于函数该准则也成立。
单调有界数列必有极限。
6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义， 如果函数f(x)当x
→x0时的极限存在，且等 于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x →x0)f(x)=f(x0)，那
么就称函数f(x)在点x0处连续。
不连续情形：1、在 点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不
存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但 lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数
在x0处不连续或间断。
如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称 x0为函数f(x)的
第一类间断 点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类
间断点的任何间断点都称为第 二类间断点(无穷间断点 和震荡间断点)。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。
定理如果函数f(x)在区间 Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)
在对应的区 间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的 定
义域内都是连续的。
定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一 定有最大值和最小
值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区 间上有间断点，那么函数在该区间上就
不一定有最大值和最小值。
定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即 m≤f(x)≤M.定
理(零点定 理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)<0)，那
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么在开区 间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值。
第二章 导数与微分
1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在 点x0处可导的充分必要条件是在点 x0
处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]h及右极限lim(h→+0) [f(x0+h)-f(x0)]h都存在且
相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在 相等。
2、函数f(x)在点x0处可 导=>函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续 ≠>在
该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数 f(x)在点x0处可微的充
分必要条件是函数在该点处可导。
第三章 中值定理与导数的应用
1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续， 在开区间(a，b)内可导，
且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在 开区间(a ，b)内至少有一点ξ(a<ξ
2、定理(拉格朗 日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，< br>b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ（b-a）成立即f’（ξ）= [f（b）-f（a）]（b-a）。
3、定理(柯西中值定 理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，
b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间 (a，b)内至少有一
点ξ，使的等式[f(b)-f(a)][F(b)-F(a)]=f’(ξ)F’(ξ)成立。
4、洛必达法则应用条 件只能用与未定型诸如00、∞∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0
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等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间 [a，b]上连续，在开区间(a，b)内可
导，那 么：(1)如果在(a，b)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加；(2)如 果在
(a，b)内f’(x)<0，那么函数f(x)在[a，b]上单调减少。
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外 导数存在且连续，
那么只要用方程f’(x )=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证
f’(x)在各个部分区 间内保持固定符 号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如
果 存 在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，
就称f(x0 )是函数f(x)的一个极小值。
在函数 取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水 平曲线的地方，函
数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的
驻点却 不一定是极值点。
定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处 可导，且在x0处取得极值，
那么函数在x0的导数为零，即f’ (x0)=0.定理(函数取得极值 的第一种充分条件)设函
数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：(1)如果当 x取x0左侧临近的值 时，
f’(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么 函数f(x)在x0处取得极大
值；(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f’ (x)恒为负；当x 去x0右侧临近的值时，f’
(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果当x取 x0左右两侧临近的值时，
f’(x) 恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。
定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’
( x0)=0，f’(x0)≠0那么：(1)当f’(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；(2) 当f’(x0)>0
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时，函 数f(x)在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值
点。
7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如 果对任意两点x1，x2恒
有f[(x1+x2)2]<[f(x1)+f(x1)]2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的；如果恒 有
f[(x1+x2)2]>[f(x1)+f(x1)]2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。
定理设函数f(x)在闭区间 [a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，< br>那么(1)若在(a，b)内f’(x)>0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形 是凹的；(2)若在(a，b)
内f’(x)<0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凸的。
判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤 (1)求出f’(x)；(2)令f’(x)=0，解出这方 程在区
间(a，b)内的实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f’(x)在 x0左 右两侧邻
近的符号，如果f’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号 相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。
在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分
点。


第四章 不定积分
1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导
函数 F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。
分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指 数函数的乘积，就可
以考虑用分部积分法，并 设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使
幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数 和对数函数或 幂函数和反三角函数的
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乘积，就可设对数和反三角函数为u.
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一
定都是 初等函数。
第五章 定积分
1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线 运动的路程
2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区 间[a，b]上
可积，即连续=>可积。
定理设f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上
可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区 间[a，b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0 .推论
如果在区间[a，b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推 论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性
质设M及m分别是函数f(x)在区间[a， b]上的最大值和最小值，则m(b- a)≤∫abf(x)dx
≤M(b-a)，该性质说明由被积 函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的
大致范围。
性质(定积分中值 定理)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]
上至少存在一个点ξ，使下 式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。
4、关于广义积分设函数f(x)在区 间[a，b]上除点c(a的邻域内无界，如果两个广义积分 ∫acf（ x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf
（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（ x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义 积分∫abf
（x）dx发散。
第六章 定积分的应用
求平面图形的面积(曲线围成的面 积)
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直角坐标系下(含参数与不含参数)
极坐标系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面积公式 S=R2θ2)
旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积
V=∫ abπ[f(x)]2dx，其中 f(x)指曲线的方程)
平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx，其中A(x)为截面面积)
功、水压力、引力
函数的平均值(平均值y=1(b-a)*∫abf(x)dx)
第七章 多元函数微分法及其应用
1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P( x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)
时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特 殊 方式，例如沿着一条定直线或定
曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还 不能由此断定函数
极限存在。反过来，如果当 P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函 数趋于不同的
值，那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函数：f(x，y)= {0(xy)(x^2+y^2)x^2+y^2
≠0
2、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定 义，P0(x0，
y0 )是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f (x，
y)在点 P0(x0，y0)连续。
性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最
大值和最小值。
性质 (介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同
的函数值 ，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
3、多 元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，
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但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这
是因 为各 偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)
趋于f(P0)，但不能 保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋 于f(P0)。
4、多元函数可微的必 要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要
条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在 的必 要条件而不是充分条件，即可
微=>可偏导。
5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且
在点 (x，y)连续，则函数在该点可微分。
6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条 件)设函数z=f(x，y)在点(x0，
y0)具 有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。
定理(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域 内连续且有一阶及二阶
连续偏导数，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令 fxx (x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，
fyy(x0，y0)=C，则f(x，y)在 点(x0，y0)处是否取得极值的条件如下： (1)AC-B2>0
时具有极值，且当A<0时有极 大值，当A>0时有极小值；(2)AC-B2<0时没有极值；
(3)AC- B2=0时可能有也可能没有。
7、多元函数极值存在的解法(1)解方程组fx(x，y)= 0，fy(x，y)=0求的一切实数
解，即可求得 一切驻点。
(2)对于每一个驻 点(x0，y0)，求出二阶偏导数的值A、B、C.(3)定出AC-B2的
符号，按充分条件进行判 定 f(x0，y0)是否是极大值、极小值。
注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在
的点，那么对这些点也应 当考虑在内。
第八章 二重积分
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1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积 (A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，
y)]dσ)
平面薄片的质量平面薄片的重心坐标(x=1A∫∫xdσ，y=1 A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ
为闭区域D的面积。
平面薄片的转动惯量 (Ix= ∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)为在
点(x，y)处 的密度。
平面薄片对质点的引力 (FxFyFz)
2、二重积分存在的条件 当f(x，y)在闭区域D上连续时，极限存在，故函数f(x，
y)在D上的二重积分必定存在。
3、二重积分的一些重要性质性质如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，则有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于 -|f(x，y)|≤f(x，y)≤ |f(x，y)|又有不等式|∫∫
f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性质设 M，m分别是 f(x，y)在闭区域D上的最大值和
最小值，σ是D的面积，则有mσ≤∫∫f(x， y)dσ≤Mσ。
性质(二重积分的中值定理)设函数 f(x，y)在闭区域D上连续，σ是 D的面积，则
在D上至少存在一点(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)dσ=f(ξ，η)*σ 4、二重积分中标量
在直角与极坐标系中的转换把二重积分从直角坐标系换为极坐标系，只要把被积函 数
中的x，y分别换成ycosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素 dxd来源:考试大- 考
研站
第 14 页 共 31 页
高等数学复习公式

(tgx)
?
?secx
(ctgx)
?
??cscx(secx)
?
?secx?tgx
(cscx)
?
??csc x?ctgx
(a)
?
?alna
(log
a
xx
2
2
(arcsinx)
?
?
(arccosx)
?
??
(arctgx)
?
?
1
1?x
1
1?x< br>1
1?x
2
2
2
x)
?
?
1
xlna
(arcctgx)
?
??
1
1?x
2
?
tgxdx
?
ctgxdx
?
sec
?
a
?
x
?
a
?
??lncosx?C
?lnsinx?C< br>?
cos
?
sin
dx
2
x
x
?< br>?
?
sec
?
csc
2
xdx?tgx?C
xdx??ctgx?C
dx
2
2
xdx?lnsecx?tgx?C
?
cscxdx?lncscx?ctgx?C
dx
2
?
secx ?tgxdx
?
cscx?ctgxdx
?
a
x
?secx ?C
??cscx?C
?C
?x
dx
?a
dx
?x
dx
2
2
?
?
?
1
a
1
arctg
ln
ln
x
a
?C
?C
?C
x ?a
x?a
a?x
a?x
x
a
dx?
a
x
lna
22
2a
1
2a
?
shxdx
?< br>chxdx
?
?
2
?chx?C
?shx?C
?ln (x?x?a)?C
22
22
a?x
2
?arcsin?C
dx
x?a
22
?
2
I
n
?
?
s in
0
2
n
xdx?
?
cosxdx?
0
n
n?1
n
a
a
a
2
I
n?2
x ?a)?C
x?a
x
a
?C
22
22
?
?
?
导数公式：
基本积分表：
x?adx?
x?adx?
a?xdx?
22
22
2
x
2
x
2
x2
x?a?
x?a?
a?x?
22
22
22
2
2
ln(x?
lnx?
arcsin
2
2
?C2
第 15 页 共 31 页
高等数学复习公式
三角函数的有理式积分：
sinx?
2u
1?u
，　cosx?< br>2
1?u
1?u
2
，　u?tg
2
x
2，　dx?
2du
1?u
2

一些初等函数： 两个重要极限：
双曲正弦:shx?
双曲余弦:chx?
双曲正切:thx?
arshx?ln(x?
archx??ln(x?
arthx?
1
2ln
1?x
1?x
e?e
2
e?e
2
shx< br>chx
2
x?x
x?x
lim
sinx
x
1
x

?1
x?0

)?e?2.7182818284x
lim(1?
x??
59045...
?
e?e
e? e
x
x?x
?x





x?1）
x?1)
2






三角函数公式：
·诱导公式：
函
数
sin cos tg ctg
第 16 页 共 31 页
高等数学复习公式
角A
-α -sincos-tg
α α α
-ct
gα
90°-α cossin
α α
ctgtgα
α
-tg90°+α cos-sin-ct
α
180°-sin
α α
α gα α
-ct
gα
-co-tg
sα α
180°+-sin-cotgα ctg
α α sα α
270°--co- sinctgtgα
α sα α α
-ct-tg270°+-cosin
α sα α gα α
-ct
gα
360°--sincos-tg
α α α α
360°+sin
α

α
costgα ctg
α α
第 17 页 共 31 页
高等数学复习公式 < br>sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
??cos
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
tg(
?
?
?
)?
tg
?
?tg
?
1
?
tg
?
?tg
?
ctg
?
?ctg
?
?
1
sin
?
?sin
?
? 2sin
sin
?
?sin
?
?2cos
?
??
2
cos
sin
?
?
?
2
?
?
?
2
?
?
?
2
cos
?
?c os
?
?2cos
?
?
?
2
cos
??
?
2
ctg(
?
?
?
)?
ctg< br>?
?ctg
?

cos
?
?cos
?
?2sin
?
?
?
sin
?
?
?
22
·和差化积公式：
第 18 页 共 31 页
·和差角公式：

高等数学复习公式
·倍角公式：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
cos2
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
?cos
?
?sin
?
ctg2
?
?
tg2
?
?
c tg
?
?1
2ctg
?
2tg
?
1?tg
?
2
2
2222
sin3
?
?3sin
?
?4sin
?
cos3
?
?4cos
?
?3cos
?
tg3
?
?
3tg
?
?tg
?
1?3t g
?
2
3
3
3

·半角公式：
sin< br>tg
?
2
??
??
1?cos
?
2
1?cos
?
1?cos
?
a
　　　　　　　　　　
1?c os
?
sin
?
?
b
sinB
?
　　co s
　　ctg
?
2
??
1?cos
?
2
1 ?cos
?
1?cos
?
?
1?cos
?
sin< br>?
22
?
2
??
sin
?
1?cos
?
c
?
2
???
sin
?
1?cos
?

·正弦定理：

sinAsinC
?2R
·余弦定理：
c
2
?a?b?2abcosC

·反三角函数性质：
arcsin

x?
?
2
?a rccosx　　　arctgx?
?
2
?arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
n
(uv)
?u(n)
?
?
C
k?0
k
n
u
(n?k )
v
(k)
(n)
v?nu
(n?1)
v
?
?
n(n?1)
2!
u
(n?2)
v
??
??
?
n(n?1)
?
(n?k?1)
k!

u
(n?k)
v
(k)
?
?
?uv
(n)
中 值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
柯西中值定理：
f(b)?f(a)?f< br>?
(
?
)(b?a)
?
f
?
(
?< br>)
F
?
(
?
)
拉格朗日中值定理。
f(b) ?f(a)
F(b)?F(a)

当F(x)?x时，柯西中值定理就是
曲率：
第 19 页 共 31 页
高等数学复习公式
弧微分公式：
平均曲率：K?
ds?
?
?
?s
2
1?y
?
dx,其中y
?
?tg
?
.?
?
:从M点到M
?
点，切线斜率的倾角变
?
?
?s
d
?
ds
y
??
(1?y
?
)
23
化量；?s：MM
?
弧长。
M点的曲率：
直线：K?0;
K?lim
?s?0
??.

半径为a的圆：K?
1
a
.
定积分的近似计算：
b
矩形法：
?
f(x)?
a
b
b?a
n
(y
0
?y
1
?
?
?y
n?1
)
梯形法：< br>?
f(x)?
a
b
b?a1
[(y
0
?y< br>n
)?y
1
?
?
?y
n?1
]
n2
b?a
3n
[(y
0
?y
n
)?2(y
2
?y
4
?
?
?y
n?2
)?4(y
1?y
3
?
?
?y
n?1
)]

抛物线法：
?
f(x)?
a
定积分应用相关公式：
功：W ?F?s
水压力：F?p?A
引力：F?k
m
1
m
2
r
2
,k为引力系数
1
b?a
b

函数的平均值 ：y?
1
b
?
a
f(x)dx
均方根：
?
b?a
a
f(t)dt
2
空间解析几何和向量代数：
第 20 页 共 31 页
高等数学复习公式
空间2点的距离：
向量在轴上的投 影：
d?M
1
M
2
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)?(z
2
?z
1
)
222
Prj
u
AB?AB?cos
?
,
?
是AB与u轴的夹角。
????
Prj
u
(a
1
?a2
)?Prja
1
?Prja
2
?
?
?
?
a?b?a?bcos
?
?a
x
b
x
?ay
b
y
?a
z
b
z
,是一个数量
两向 量之间的夹角：cos
?
?
k
,
a
x
b
x
?a
y
b
y
?a
z
b
z
a
x
?a
y
?a
z
?b
x
?b
y
?b
z
222222
i
?
??
c?a?b?a
x< br>b
x
j
a
y
b
y
??
?
a
z
,c?a?bsin
?
.例：线速度：
b
z
a< br>y
b
y
c
y
a
z
b
z
c< br>z
???
v?w?r.
a
x
??
????
向 量的混合积：[abc]?(a?b)?c?b
x
c
x
代表平行六面体的体积 。
?
?
?
?a?b?ccos
?
,
?
为锐 角时，

平面的方程：
1、点法式：
?
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?C(z?z
0
)?0，其中n?{A,B,C},M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
Ax? By?Cz?D?0
x
a
?
y
b
?
z
c< br>?1
d?
Ax
0
?By
0
?Cz
0
?D
A?B?C
空间直线的方程：
222
2、一般方程：
3、截距世 方程：
平面外任意一点到该平面的距离：
?
x?x
0
?mt
x?x
0
y?y
0
z?z
0
?
?
???t ,其中s?{m,n,p};参数方程：
?
y?y
0
?nt
mnp< br>?
z?z?pt
0
?
2
2
2
2
二次 曲面：
1、椭球面：
2、抛物面：
3、双曲面：
单叶双曲面：
双叶双 曲面：
x
a
x
a
2
2
2
2
xa
2
2
2
?
?
y
b
?
2z
c
?1
xy
2p2q
?z（,p,q同号）
?
?
y
b
y
b
2
2
2
2
?
?
z
c
z
c
2
2
2
2
?1?（马鞍面）1


第 21 页 共 31 页
高等数学复习公式
多元函数微分法及应用
全微分：dz?
?z< br>?x
dx?
?z
?y
dy　　　du?
?u
?xdx?
?u
?y
dy?
?u
?z
dz
全微分的 近似计算：
多元复合函数的求导法
?z?dz?f
x
(x,y)?x?fy
(x,y)?y
：
dz?z?u?z?v
z?f[u(t),v(t) ]　　　????　
dt?u?t?v?t
?z?z?u?z?v
z?f[u(x,y ),v(x,y)]　　　?　???
?x?u?x?v?x
当u?u(x,y)，v?v(x ,y)时，
du?
?u
?x
dx?
?u
?y
dy　 　　dv?
?v
?x
dx?
?v
?y
dy　
隐函数 的求导公式：
FFF
dydy??dy
隐函数F(x,y)?0，　　??
x
，　　
2
?(?
x
)＋(?
x
)?
dxF
y
?xF
y
?yF
y
dx
dx
F
y
F
?z?z
隐函数F(x,y,z)?0，　??
x
，　　??< br>?xF
z
?yF
z
?F
?
F(x,y,u,v)?0
?(F,G)
隐函数方程组：
?
　　　J??
?u
?G?(u,v)
?
G(x,y,u,v)?0
?u
?u
?x
?u
?y
??
??
1?(F,G)?v1?(F,G)
?　　　　 ???
J?(x,v)?xJ?(u,x)
1?(F,G)?v1?(F,G)
?　　 　　???
J?(y,v)?yJ?(u,y)
?F
?v
?
F
u
?G
G
u
?v
F
v
G
v
2< br>

微分法在几何上的应用：
第 22 页 共 31 页
高等数学复习公式
?
x?
?
(t)
x?x
0
y?y
0
z?z
0
?
空间曲线
?
y?
?
(t)在点M(x
0
,y
0
,z
0
)处 的切线方程：??
?
?
(t
0
)
?
?
(t
0
)
?
?
(t
0
)
?
z?
?
(t)
?
在点M处的法平面方程：
若空间曲线方程为：
?
?
(t
0
)(x?x
0
)?
?
?
(t< br>0
)(y?y
0
)?
?
?
(t
0
) (z?z
0
)?0
F
z
G
z
G
z
,
F
z
F
x
G
x
G
x
,
F
x
F
y
G
y
?
?
F
y
?
F(x,y,z)?0
,则切向量T?{
?
G
y
?
?
G(x,y,z)?0
}
曲面F(x,y,z)?0上一点M(x
0,y
0
,z
0
)，则：
?
1、过此点的法向量：n?{ F
x
(x
0
,y
0
,z
0
),F
y
(x
0
,y
0
,z
0
),F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)}
2、过此点的切平面方程
3、过此点的法线方程：
：F
x
(x
0
,y
0,z
0
)(x?x
0
)?F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)(y?y
0
)?F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)(z?z
0
)?0x?x
0
F
x
(x
0
,y
0
,z0
)
?
y?y
0
F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)
?
z?z
0
F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)
方向导数与梯度：
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向
其中
?
为x轴到方向l 的转角。
?f
?
?f
?
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的 梯度：gradf(x,y)?i?j
?x?y
它与方向导数的关系是
单位向量。?
?f
?l
是gradf(x,y)在l上的投影。
??
?f< br>??
：?gradf(x,y)?e，其中e?cos
?
?i?sin
?
?j，为l方向上的
?l
l的方向导数为：
?f
?l
?< br>?f
?x
cos
?
?
?f
?y
sin
?

多元函数的极值及其求法：
设f
x
(x
0
,y
0
)?f
y
(x
0
,y
0
)?0，令 ：f
xx
(x
0
,y
0
)?A,　f
xy
(x
0
,y
0
)?B,　f
yy
(x
0
, y
0
)?C
?
?
A?0,(x
0
,y
0< br>)为极大值
2
AC?B?0时，
?
?
?
A?0,(x
0
,y
0
)为极小值
?
?
2
则：值
?
AC?B?0时，　　　　　　无极
?
AC?B
2
?0时,　　 　　　　　不确定
?
?
?

重积分及其应用：
第 23 页 共 31 页
高等数学复习公式
??
D
f(x,y) dxdy?
??
D
?
f(rcos
?
,rsin
?
)rdrd
?
?
?z
?
?
?z
?
?
1?
??
?
?
??
dxdy
?
?x?
?
?y
?
2
2
曲面z?f(x,y)的面积A???
D
x
平面薄片的重心：x?
M
M
??
x< br>?
(x,y)d
?
?
D
??
?
(x,y)d
?
D
,　　y?
M
M
y
??
?
D
D
y
?
(x,y)d
?
??
?
(x,y) d
?
??
D

x
?
(x,y)d
?
2
平面薄片的转动惯量：
平面薄片（位于
F
x
?f
对于x 轴I
x
?
??
D
y
?
(x,y)d
?,　　对于y轴I
y
?
2
xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a), (a?0)的引力：F?{F
x
,F
y
,F
z
}，其中：< br>，　　F
y
?f
3
??
D
?
(x,y)xd
?
222
??
D
?
(x,y)yd
?
22 2
，　　F
z
??fa
??
3
D
?
(x, y)xd
?
3
(x?y?a)
2
(x?y?a)
2
(x?y?a)
2
222
柱面坐标和球面坐标：
?
x?rcos< br>?
?
柱面坐标：
?
y?rsin
?
,　　　
???
f(x,y,z)dxdydz?
?
?
z?z
?
其中 ：F(r,
?
,z)?f(rcos
?
,rsin
?
,z)
?
x?rsin
?
cos
?
?
2
球面坐标 ：
?
y?rsin
?
sin
?
，　　dv?rd
?
?rsin
?
?d
?
?dr?rsin
?
drd< br>?
d
?
?
z?rcos
?
?
2
?< br>???
?
F(r,
?
,z)rdrd
?
dz,

?
r(
?
,
?
)
???
?
f (x,y,z)dxdydz?
1
M
???
?
F(r,
?< br>,
?
)rsin
?
drd
?
d
?
?
1
M
2
?
d
?
?
d
?
0 0
?
F(r,
?
,
?
)rsin
?
dr< br>0
2
重心：x?
转动惯量：
???
?
x
?< br>dv,　　y?
???
?
y
?
dv,　　z?
1M
2
???
?
z
?
dv，　　其中M?x?
2 2
???
?
?
dv
I
x
?
???
?
(y?z)
?
dv，　　I
y
?
22
????
(x?z)
?
dv，　　I
z
?
2
???< br>?
(x?y)
?
dv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的 曲线积分）：
?
x?
?
(t)
设f(x,y)在L上连续，L的参数 方程为：
?
,　　(
?
?t?
?
),则：
y??
(t)
?
?
?
L
f(x,y)ds?
??
?
x?t
22
f[
?
(t),
?
( t)]
?
?
(t)?
?
?
(t)dt　　(
??
?
)　　特殊情况：
?
?
y?
?
(t)第 24 页 共 31 页
高等数学复习公式
第二类曲线积分（对坐
设L的参数方程为
标的曲线积分）：
?
x?
?
(t)
，则：
?
y?
?
(t)
?
?
?
P(x, y)dx?Q(x,y)dy?
?
{P[
?
(t),
?
(t )]
?
?
(t)?Q[
?
(t),
?
(t)]?
?
(t)}dt
L
?
两类曲线积分之间的关
L上积分 起止点处切向量
格林公式：
??
(
D
系：
?
Pdx ?Qdy?
L
?
(Pcos
?
L
?Qcos
?)ds，其中
?
和
?
分别为
的方向角。
)dxdy?< br>?Q
?x
?
?P
?y
?
Pdx?Qdy格林公式：< br>??
(
LD
?Q
?x
?
?P
?y
) dxdy?
1
?
Pdx
L
?Qdy
?Q?P
当P? ?y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A?
?x?y
·平面上曲线积分与路径
1、G是一个单连通区域；
2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数
减去对 此奇点的积分，
·二元函数的全微分求积
在
?Q
?x
＝
?P
?y
注意方向相反！
：
，且
?Q
?x
无关的条件：
??
D
dxdy?xdy
?
2
L
?ydx
＝
?P
?y
。注意奇点，如(0,0)，应

u(x,y)的全微分 ，其中：时，Pdx?Qdy才是二元函数
(x,y)
u(x,y)?
?
P( x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设
(x
0
,y
0
)
x
0
?y
0
?0。
曲面积分：
对面积的曲面积分：
对坐标的曲面积分：
??
?
?
f(x,y,z)ds?
??
D
xy
f[x,y,z(x,y)]1?z
x
(x,y)?z
y< br>(x,y)dxdy
22
??
P(x,y,z)dydz
D
x y
?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：
号；
??
R(x,y,z)dxdy
?
??
??
R[x,y,z(x,y)]dxd y，取曲面的上侧时取正
??
??
P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前 侧时取正
D
yz

号；
号。
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
??
P(x,y,z)dydz
?
??
Q(x,y,z)dzdx
?
??
??
Q[x,y(z,x),z] dzdx，取曲面的右侧时取正
D
zx
两类曲面积分之间的关系：
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
?
??
(Pcos
?
?< br>高斯公式：
第 25 页 共 31 页
高等数学复习公式
???
?
(
?P
?x
?
?Q
?y
??R
?z
)dv?
??
Pdydz
?
?Qdzdx?R dxdy?
??
(Pcos
?
?
?Qcos
?
?R cos
?
)ds
高斯公式的物理意义——通量与散度：
?
div?
?0,则为消失...
?
?P?Q?R
散度：div
?
???,即：单位体积内所产生的流体质量，若
?x?y?z
?
?
通量：< br>??
A?nds?
??
A
n
ds?
??
(P cos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds，
?? ?
因此，高斯公式又可写成：
???
?
?
divAdv?
? ?
?
A
n
ds
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： ??
?
(
?R
?y
?
?Q
?z
)dy dz?(
?P
?z
?
?R
?x
)dzdx?(
dz dx
?
?y
Q
?Q
?x
?
?P
?y
)dxdy?
cos
?
?
?x
P
?
Pdx
?
?Qdy?Rdz
cos
?
?
?z
R
上式左端 又可写成：
??
?
dydz
?
?x
P
dxdy?
?z
R
?R
?y
?
?
??
?
cos
?
?
?y
Q
空间曲线积分与路径无
i
?< br>?x
P
j
?
?y
Q
关的条件：
k
?
?z
R
?Q?P?R?Q?P
，　?，　?
?z?z?x?x?y< br>
?
旋度：rotA?
?
向量场A沿有向闭曲线?的环流量：
?
Pdx?Qdy?Rdz?
?
?
?
?
?
A?td s
常数项级数：
等比数列：1?q?q?
?
?q
等差数列：1?2 ?3?
?
?n?
调和级数：1?
1
2
?
1
3
?
?
?
1
n
2n?1
?
1?q
n
1?q
(n?1)n
2

是发散的
级数审敛法：
第 26 页 共 31 页
高等数学复习公式
1、正项级数的审 敛法——根植审敛法（柯西判别法）：
?
?
?1时，级数收敛
?
u< br>n
，则
?
?
?1时，级数发散
?
?
?1时， 不确定
?
设：
?
?lim
n
n??
2、比值审敛法 ：
?
?
?1时，级数收敛
U
n?1
?
设：
?
?lim，则
?
?
?1时，级数发散
n??
U
n
?
?
?1时，不确定
?
3、定义法：
s
n
?u
1
?u
2
?
?
?u
n
;limsn
存在，则收敛；否则发
n??

散。
交错级数u
1< br>?u
2
?u
3
?u
4
??(或?u
1
?u
2
?u
3
??,u
n
?0)的审敛法
如果交 错级数满足
?
?
u
n
?u
n?1
，那么级数收敛且 其和
?
limu?0
?
?
n??
n
——莱布尼兹定 理：
s?u
1
,其余项r
n
的绝对值r
n
?un?1
。

绝对收敛与条件收敛：
(1)u
1
?u< br>2
?
?
?u
n
?
?
，其中u
n为任意实数；
(2)u
1
?u
2
?u
3
??
?u
n
?
?
如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对
如果(2)发散，而(1)收敛，则称
调和级数：
?
　　级数：
?< br>1
n
n
发散，而
收敛；
ｐ?１时发散
　　
p ?1时收敛
收敛级数；
(1)为条件收敛级数。
n

?
(? 1)
n
收敛；
1
2
　　p级数：
?
1
n< br>p
幂级数：
第 27 页 共 31 页
高等数学复习公式
1?x?x?x?
?
?x?
?
　　
23n
x?1时 ，收敛于
x?1时，发散
1
1?x
对于级数(3)a
0
?a
1
x　?a
2
x?
?
?a
n
x?
?
，如果它不是仅在原点
x?R时收敛
数轴上都收敛，则必存在R，使
2n< br>收敛，也不是在全
x?R时发散，其中R称为收敛半径。
x?R时不定

?
?0时，R?
1
求收敛半径的方法：设lim
a
n?1
a
n
?
n??
?
?
，其中a
n
，a
n?1
是(3)的系数，则
?
?0时，R???
?
???时，R? 0
函数展开成幂级数：
函数展开成泰勒级数：
余项：R
n
?
f
(n?1)
f(x)?f(x
0
)(x?x
0
)?(x?x
0
)
n?1
f
??
(x
0
)
2!
(x?x
0
)?
?
?
2
f
( n)
(x
0
)
n!
(x?x
0
)?
?n
(
?
)
(n?1)!
,f(x)可以展开成泰勒级数的
f
??
(0)
2!
2
充要条件是：limR
n
? 0
n??

x
0
?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f
?
(0)x?x?
?
?
f
(n)
(0)
n !
x?
?
n
一些函数展开成幂级数：
(1?x)
m
?1?mx?
x
3
m(m?1)
2!
x?
?
?< br>n?1
2
m(m?1)
?
(m?n?1)
n!
x?< br>?
　　　(?1?x?1)
n
sinx?x?
3!
?
x
5
5!
?
?
?(?1)
x
2n?1

(2n?1)!
?
?
　　　(???x???)
欧拉公式：
ix?ix
?
e?e
?
cosx?
?
2
?cos x?isinx　　　或
?
ix?ix
?
sinx?
e?e
?
2
?
e
ix

三角级数：
第 28 页 共 31 页
高等数学复习公式
?
f(t)?A
0
?
?
A
n?1
n
sin(n
?
t?
?
n
)?
a
0
2
?
?
?
(a
n? 1
n
cosnx?b
n
sinnx)
其中，a
0
? aA
0
，a
n
?A
n
sin
?
n
，b
n
?A
n
cos
?
n
，
?
t ?x。
正交性：1,sin
x
,cos
x
,sin2
x,cos2
x?
sin
nx
,cos
nx?
任意两个不 同项的乘积
上的积分＝0。
在[?
?
,
?
]

傅立叶级数：
f(x)?
a
0
2
?
?
?
(a
n?1
n
cosnx?b
n
sinnx)，周期?2< br>?
?
1
a?
?
n
?
?
其中
?
1
?
b
n
?
?
?
?
1?
　
1
2
2
?
?
?
?
f(x)cosnx dx　　　(n?0,1,2
?
)
?
?
?
?
f(x )sinnxdx　　　(n?1,2,3
?
)
1
3
?
2< br>?
1
4
2
1
5
2
?
?
?< br>1
6
2
?
2
8
1?
1
2
2
2
?
?
1
3
3
2
?
?
1
4
4
2
?
?
?
?
?
?
?
?
2
6
（相加）
??
?
?
?
2< br>24
1?
2
?
1
2
1
2
1
2
2

（相减）
12
正弦级数：a
n
?0，bn
?
?
2
?
0
f(x)sinnxdx　　n?1,2 ,3
?
　f(x)?
?
b
a
0
2
n
sinnx是奇函数
?
余弦级数：b
n
?0，a
n
??
?
0
f(x)cosnxdx　　n?0,1,2
?
　f(x )??
?
a
n
cosnx是偶函数
周期为
2l
的周 期函数的傅立叶级数：
f(x)?
a
0
2
?
?
?
(a
n?1
n
cos
n
?
x
l
? b
n
sin
n
?
x
l
)，周期?2l
l< br>?
1n
?
x
dx　　　(n?0,1,2
?
)
?
a
n
?
?
f(x)cos
ll
?
?l
其中
?
l
1n
?
x
?
b
n
?
?
f(x)sindx　　　(n?1,2,3
?
)
?
ll
?l
?

微分方程的相关概念：
第 29 页 共 31 页
高等数学复习公式
一阶微分方程：y
?
?f(x,y)　或　P( x,y)dx?Q(x,y)dy?0
：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解 法：可分离变量的微分方程
?
g(y)dy?
?
y
x
f(x )dx　　得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。
程可以写成
du
dx
，u?
du
dx
dy
dx
?f(x,y)?
?
(x ,y)，即写成
dx
x
?
du
y
x
的函数，解法：
y
x
齐次方程：一阶微分方
设u?，则
dy
dx
? u?x

?
?
(u)，?
?
(u)?u
分离变量， 积分后将代替u，
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
1、一阶线性微分方程：
dy
dx
?P(x)y?Q(x)
?P(x)dx
y?Ce
?
当Q(x)?0时,为齐次方程，
当Q(x)?0时，为非齐次方程，
2、贝努力方 程：
dy
dx
y?(
?
Q(x)e
?
n
P (x)dx
dx?C)e
?
?P(x)dx

?P(x)y?Q(x)y，(n?0,1)
全微分方程：
如果P(x,y)dx? Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微
du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy? 0，其中：
?u(x,y)?C应该是该全微分方程的
?u
分方程，即：
?u
?P(x,y)，?Q(x,y)

?x?y
通解。
二阶微分方程：
dy
dx
2
2
?P(x)
dy
dx
?Q( x)y?f(x)，
f(x)?0时为齐次
f(x)?0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y
??
?py
?< br>?qy?0，其中p,q为常数；
求解步骤：
1、写出特征方程：(?)r?pr?q? 0，其中r，r的系数及常数项恰好是
2、求出(?)式的两个根r
1
,r
2
22
(*)式中y
??
,y
?
,y的系数；
3、根 据r
1
,r
2
的不同情况，按下表写
r
1
，r2
的形式
出(*)式的通解：


(*)式的通解
第 30 页 共 31 页
高等数学复习公式
两个不相等实根
(p
2
?4q?0)

两个相等实根
(p
2
?4q?0)

一对共轭复根
(p
2
?4q?0)

r
1
?
?
?i
?
，r
2
?
?
?i
?< br>2
y?c
1
e
r
1
x
?c
2
e
r
2
x



y?(c
1
? c
2
x)e
y?e
?
x
r
1
x
( c
1
cos
?
x?c
2
sin
?
x)?
??
p
2
，
?
?
4q?p
2

二阶常系数非齐次线性微分方程
y
??
?py
?
?q y?f(x)，p,q为常数
f(x)?eP
m
(x)型，
?
为常数 ；
f(x)?e[P
l
(x)cos
?
x?P
n
( x)sin
?
x]型
?
x
?
x


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