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资金周转率计算公式大学高等数学定理公式共11页

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-13 17:17
tags:微积分公式

双一流名单-天气晚来秋


第一章 函数与极限
1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在 定义域上有下
界,K1为下界;如果有f(x)≤K2,则有上界,K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不
同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有
界。

如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界,
却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…该数
列有界但是 发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数 列的关系)如果数列{xn}收敛于a,那么它的
任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数 列收敛于不同的极限,那
么数列{xn}是发散的,如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子 数列{x2k-1}
收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子 数
列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0| 表示x≠x0,所以x→x0
时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A,而且A>0(或
A< 0),就存在着点那么x0的某一去心邻域,当x在该邻域内时就有
f(x)>0(或f(x)>0), 反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存
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在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等则limf(x)不存在。

一般的说,如果lim(x→∞)f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图
形 水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞,则直线x=x0是函数y=f(x)图
形的铅直渐 近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无
穷 小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘
积也是无穷小;定理如果F1(x )≥F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,
那么a≥b.

5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinxx)=1;lim(x→
∞) (1+1x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件:yn≤
xn≤z n且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立。

单调有界数列必有极限。

6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内 有定义,如果函
数f(x)当x→x0时的极限存在,且等于它在点x0处的函数值f(x0),即lim(x→x0)f(x)=f(x0),那么就称函数f(x)在点x0处连续。

不连续情形:1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(x
→x0)f(x)不存 在;3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在,但lim(x
→x0)f(x)≠f (x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

如果x0是函数f(x)的间断点,但左 极限及右极限都存在,则称x0为
函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点,不相等 者称为
跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间
断点和震荡间 断点)。

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定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点
连续的函数。

定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续,那么它的反
函数x=f(y) 在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加或减少且连
续。反三角函数在他们的定 义域内都是连续的。

定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定 有
最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点,
那么函数在该区间上 就不一定有最大值和最小值

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上 有界,即m
≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)
与f(b)异号(即f(a)×f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)
的一个零点,即至少有一点ξ(a<ξ
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任
何值

第二章 导数与微分

1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件
是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]h及右极限lim(h→< br>+0)[f(x0+h)-f(x0)]h都存在且相等,即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)
存在相等。

2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f( x)在点x0
处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件
而不是充 分条件。

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3、原函数可导则反函数也可导,且反函数的导数是原函数导数的倒
数。

4、 函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0
处可微的充分必要条件是函 数在该点处可导。

第三章 中值定理与导数的应用

1、定理 (罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间
(a,b)内可导,且在区间端点 的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在开区
间(a,b)内至少有一点ξ(a<ξf’(ξ)= 0.

2、定理(拉格朗 日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,
在开区间(a,b)内可导,那么在开区间 (a,b)内至少有一点ξ(a<ξ使的等式f(b)-f(a)= f’(ξ)(b-a)成立即f’(ξ)= [f(b)-f
(a)](b-a)。

3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,
在开 区间(a,b)内可导,且F’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么
在开区间(a,b)内 至少有一点ξ,使的等式[f(b)-f(a)][F(b)-F(a)]=f’
(ξ)F’(ξ)成立 。

4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如00、∞∞、0×∞、∞
-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开 区
间(a,b)内可导,那么:(1)如果在(a,b)内f’(x)>0,那么函数f(x)在
[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f’(x)<0,那么函数f(x)在[a,
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b]上单调减少

如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数 不存在的点外导数存在
且连续,那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数
f(x)的定义区间,就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号,因而
函数f(x) 在每个部分区间上单调。

6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a,b)内有定义 ,x0是(a,b)内
的一个点,如果存在着点x0的一个去心邻域,对于这去心邻域内的任何
点x,f(x)f(x0)均成立,就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

在 函数取得极值处,曲线上的切线是水平的,但曲线上有水平曲线的
地方,函数不一定取得极值,即可导函 数的极值点必定是它的驻点(导数
为0的点),但函数的驻点却不一定是极值点。

定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导,且在x0处
取得极值,那么函数在x0 的导数为零,即f’(x0)=0.定理(函数取得极值
的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个 邻域内可导,且f’(x0)=0,那
么:(1)如果当x取x0左侧临近的值时,f’(x)恒为正; 当x去x0右侧
临近的值时,f’(x)恒为负,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果< br>当x取x0左侧临近的值时,f’(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值时,
f’(x)恒为正 ,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左
右两侧临近的值时,f’(x)恒为 正或恒为负,那么函数f(x)在x0处没有
极值。

定理(函数取得极值的第 二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶
导数且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0那么: (1)当f’’(x0)<0时,函数f(x)
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在x0处取得极大值;( 2)当f’’(x0)>0时,函数f(x)在x0处取得极小值;
驻点有可能是极值点,不是驻点也有 可能是极值点。

7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续,如果对任意 两点
x1,x2恒有f[(x1+x2)2]<[f(x1)+f(x1)]2,那么称f(x)在区间 Ix上图
形是凹的;如果恒有f[(x1+x2)2]>[f(x1)+f(x1)]2,那么称f(x )在区
间Ix上图形是凸的。

定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续 ,在开区间(a,b)内具有一阶
和二阶导数,那么(1)若在(a,b)内f’’(x)>0,则f( x)在闭区间[a,b]
上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f’’(x)<0,则f(x)在闭 区间[a,b]
上的图形是凸的。

判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1) 求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0,
解出这方程在区间(a,b)内的实根;(3)对于( 2)中解出的每一个实根x0,
检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号,如果f’’(x)在x0 左右两侧邻
近分别保持一定的符号,那么当两侧的符号相反时,点(x0,f(x0))是拐
点 ,当两侧的符号相同时,点(x0,f(x0))不是拐点。

在做函数图形的时候,如果函数有间断点或导数不存在的点,这些点
也要作为分点。

第四章 不定积分
1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在 区间
I上存在可导函数F(x),使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续
函 数一定有原函数。
分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的
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乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数和指数函数为u,这样用一
次分 部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对
数函数或幂函数和反三角函数的乘积 ,就可设对数和反三角函数为u.
2、对于初等函数来说,在其定义区间上,它的原函数一定存在,但
原函数不一定都是初等函数。
第五章 定积分
1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路

2、函数 可积的充分条件定理设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在
区间[a,b]上可积,即连续 =>可积。
定理设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在
区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则
∫abf(x)d x≥0.推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则
∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx .推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性质设M及
m分别是函数f(x)在区间[ a,b]上的最大值和最小值,则
m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被 积函数在积分区间上的最
大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质(定积分中值 定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在积分
区间[a,b]上至少存在一个点ξ,使下 式成立:∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间 [a,b]上除点c(a而在点c的邻域内无界,如果两个广义积分∫acf(x) dx与∫cbf(x)dx
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都收敛,则定义∫abf(x)dx=∫ac f(x)dx+∫cbf(x)dx,否则(只要
其中一个发散)就称广义积分∫abf(x)dx发散 。
第六章 定积分的应用
求平面图形的面积(曲线围成的面积)
直角坐标系下(含参数与不含参数)
极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ2)
旋转 体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转
而成)(且体积V=∫abπ[f(x) ]2dx,其中f(x)指曲线的方程)
平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面
积)
功、水压力、引力
函数的平均值(平均值y=1(b-a)*∫abf(x)dx)
第七章 多元函数微分法及其应用
1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P( x,y)以任何方式趋于
P0(x0,y0)时,函数都无限接近于A,如果P(x,y)以某一特殊方 式,例
如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0,y0)时,即使函数无限接近某一确
定值, 我们还不能由此断定函数极限存在。反过来,如果当P(x,y)以不
同方式趋于P0(x0,y0)时 ,函数趋于不同的值,那么就可以断定这函数的
极限不存在。例如函数:f(x,y)={0(xy)( x^2+y^2)x^2+y^2≠0
2、多元函数的连续性定义设函数f(x,y)在 开区域(或闭区域)D内有
定义,P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0∈D,如果lim(x →x0,
y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)则称f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。
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性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,在D
上一定有最大值和最小值。
性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得
两个不同的函数值, 则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
3、多元函数的连续与可导如果一元函数 在某点具有导数,则它在该
点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐
标轴的方向趋于P0时,函 数值f(P)趋于f(P0),但不能保证点P按任何
方式趋于P0时,函数值f(P)都趋于f(P0 )。
4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在
的充分必要条 件,但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而
不是充分条件,即可微=>可偏导。
5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x,y)的偏
导数存在且 在点(x,y)连续,则函数在该点可微分。
6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必 要条件)设函数z=f(x,
y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则 它在该点的偏
导数必为零。
定理(充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y 0)的某邻域内连续且有
一阶及二阶连续偏导数,又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0 ,令fxx(x0,
y0)=0=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,则f( x,y)在点(x0,y0)处是
否取得极值的条件如下:(1)AC-B2>0时具有极值,且当A< 0时有极大值,
当A>0时有极小值;(2)AC-B2<0时没有极值;(3)AC-B2=0时可能 有也可
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能没有。
7、多元函数极值存在的解法(1)解 方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0
求的一切实数解,即可求得一切驻点。
(2)对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B、C.(3)定出
AC-B2的符号 ,按充分条件进行判定f(x0,y0)是否是极大值、极小值。
注意:在考虑函数的极值问题 时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏
导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑在内。
第八章 二重积分
1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积
(A=∫∫√[ 1+f2x(x,y)+f2y(x,y)]dσ)
平面薄片的质量平面薄片的重心坐标(x= 1A∫∫xdσ,
y=1A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积。
平面薄 片的转动惯量(Ix=∫∫y2ρ(x,y)dσ,Iy=∫∫x2ρ(x,y)dσ;
其中ρ(x,y )为在点(x,y)处的密度。
平面薄片对质点的引力(FxFyFz)
2、 二重积分存在的条件当f(x,y)在闭区域D上连续时,极限存在,
故函数f(x,y)在D上的二重 积分必定存在。
3、二重积分的一些重要性质性质如果在D上,f(x,y)≤ψ(x,y),
则有不等式∫∫f(x,y)dxdy≤∫∫ψ(x,y)dxdy,特殊地由于-|f(x,
y)|≤f(x,y)≤|f(x,y)|又有不等式|∫∫f(x,y)dxdy|≤∫∫|f(x,
y)|dxdy.性质设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,σ
是D的面积,则 有mσ≤∫∫f(x,y)dσ≤Mσ。
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性质(二重积分的中 值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,σ是
D的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η)使得 下式成立:∫∫f(x,
y)dσ=f(ξ,η)*σ4、二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换把 二
重积分从直角坐标系换为极坐标系,只要把被积函数中的x,y分别换成
ycosθ、rsi nθ,并把直角坐标系中的面积元素dxd

希望以上资料对你有所帮助,附励志名言3条:

1、上帝说:你要什么便取什么,但是要付出相当的代价。

2、目标的坚定是性格中 最必要的力量源泉之一,也是成功的利器之一。
没有它,天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。

3、当你无法从一楼蹦到三楼时,不要忘记走楼梯。要记住伟大的成功
往往不是一蹴而就的,必 须学会分解你的目标,逐步实施。


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