高中的三角函数公式专升本高等数学二笔记公式大全

第一章极限和连续
第一节极限
[复习考试要求]
1.了解极限的概念（ 对极限定义
3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的
意义，掌握其运算规律。
4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本
性质及事件概率的计算。
5.会求 事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及
等形式的描述不作要
求）。会求击数在一点处的左极限 与右极限，了
事件的独立性。
6.了解随机变量的概念及其分布击数。
解击数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法
7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握
概率分布的计算方法。
则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小
8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准
量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行
差。
无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。


会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节击数的连续性

[复习考试要求]
1.理解击数在一点处连续与间断的概念，理解击

数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判

断击数（含分段击数）在一点处连续性的方法。


2.会求击数的间断点。
3.掌握在闭区间上连续击数的性质会用它们证明


一些简单命题。

4.理解初等击数在其定义区间上的连续性，会利
第一章极限和连续
用击数连续性求极限。
第一节极限

[复习考试要求]
第二章一元击数微分学
1.了解极限的概念（对极限定义
第一节导数与微分
等形式的描述不作要求）。
[复习考试要求]
1.理解导数的概念及其几何意义，了 解可导性与
会求击数在一点处的左极限与右极限，了解击数
连续性的关系，会用定义求击数在一 点处的导数。
在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四 则运算法
2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及
则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小
复合击数的求导方法。
4.掌握隐 击数的求导法与对数求导法。会求分段
量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行
无穷小量 阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
击数的导数。
5.了解高阶导数的概念。会求简单击数的高阶导
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
数。
6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和
[主要知识内容]
（一）数列的极限
可导的关系，会求击数的一阶微分。
1.数列
第二节导数的应用
定义按一定顺序排列的无穷多个数
[复习考试要求]
1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、
“∞-∞”型未定式的极限的方法。
2. 掌握利用导数判定击数的单调性及求击数的单
调增、减区间的方法。会利用击数的单调性证明
简 单的不等式。
3.理解击数极值的概念，掌握求击数的驻点、极
值点、极值、最大值与最小值 的方法，会解简单
的应用题。
4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线

第三章一元击数积分学
第一节不定积分
[复习考试要求]
1.理解原击数与不定积分的概念及其关系，掌握
不定积分的性质。
2.熟练掌握不定积分的基本公式。
3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元
法（仅限三角代换与简单的根式代换）。
4.熟练掌握不定积分的分部积分法。
5.掌握简单有理击数不定积分的计算。
第二节定积分及其应用
[复习考试要求]
1.理解定积分的概念及其几何意义，了解击数可
积的条件
2.掌握定积分的基本性质
3.理解变上限积分是变上限的击数，掌握对变上
限积分求导数的方法。
4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算
方法。
7.掌握直角坐标系下用定 积分计算平面图形的面
积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的
体积。

第四章多元击数微分学
[复习考试要求]
1.了解多元击数的概念，会求二元击数的定义域。
了解二元击数的几何意义。
2.了解二元击数的极限与连续的概念。
3.理解二元击数一阶偏导数和全微分的概念，掌< br>握二元击数的一阶偏导数的求法。掌握二元击数
的二阶偏导数的求法，掌握二元击数的全微分的< br>求法。
4.掌握复合击数与隐击数的一阶偏导数的求法。
5.会求二元击数的无条件极值和条件极值。
6.会用二元击数的无条件极值及条件极值解简单
的实际问题。

第五章概率论初步
[复习考试要求]
1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基
本事件、样本空间、随机事件的概念。
2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、
互不相容关系及对立关系。
称为无穷数列，简称数列，记作{x
n
}，数列中每
一个数称为数列的项，第n项 x
n
为数列的一般项
或通项，例如
（1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差数列）
（2）
（3）
（等比数列）
（递增数列）
1，0，1，0，…有界：0，1
2.数列极限的存在准则
定理1.3（两面夹准 则）若数列{x
n
},{y
n
},{z
n
}满
足以 下条件：
（1），

（2）， 则
2.当x→∞时，击数f（x）的极限
定理1.4若数列{x
n
}单调有界，则它必有极限。
（1）当x→∞时，击数f（x）的极限
3.数列极限的四则运算定理。
y=f(x)x→∞f(x)→?
定理1.5

（1）
（2）



定义对于击数y=f（x），如果当x →∞时，f（x）
无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，击数f
（x）的极限是A，记作
y=f(x)=1+
→1 x→∞f(x)=1+
（3）当时，
（三）击数极限的概念
1.当x→x
0
时击数f（x）的极限
或f（x）→A（当x→∞时）
（1）当x→x
0
时f（x）的极限
（2）当x→+∞时，击数f（x）的极限
定义对于击数y=f（x），如果当x无限地趋于 x
0
定义对于击数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）
时，击数f（x）无限 地趋于一个常数A，则称当
无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，击数
x→x
0
时，击数f（x）的极限是A，记作
f（x）的极限是A，记作
或f（x）→A（当x→x
0
时）
这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极
例y=f（x）=2x+1
限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义
x→1,f（x）→?
中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是
x<1x→1
正整数，而为仸意实数。
y=f(x)x→+∞f(x)x→？

x>1x→1


（2）左极限
x→+∞，f(x)=2+→2
当x→x
0
时f（x）的左极限
定义对于击数y=f（x），如果当x从x
0
的左边无

-x
限地趋于x
0
时，击数f（x）无限地趋于一个常数
例：击数f（x）=2+e，当 x→+∞时，f（x）→？
A，则称当x→x
0
时，击数f（x）的左极限是A，< br>解：f（x）=2+e
-x
=2+，
记作
或f（x
0
-0）=A
（3）右极限
当x→x
0
时，f（x）的右极限
定义对于击数y=f（x），如果当x从 x
0
的右边无
限地趋于x
0
时，击数f（x）无限地趋于一个常数< br>A，则称当x→x
0
时，击数f（x）的右极限是A，
记作
或f（x
0
+0）=A
例子：分段击数
x→+∞，f（x）=2+→2
所以
（3）当x→-∞时，击数f（x）的极限
定义对于击数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）
无限地趋于一个常数A，则称当x→ -∞时，f（x）
的极限是A，记作

x→-∞f(x)→？
则f(x)=2+(x＜0)
x→-∞,-x→+∞
（4）1，0，1，0，…，…（震荡数列）
都是数列。它们的一般项分别为
，求，
解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限
f(x)=2+→2
（2n-1）,。
地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的
对于每一个正 整数n，都有一个x
n
与之对应，所
左极限是1，即有
以说数列{x
n
}可看作自变量n的击数x
n
=f（n），

它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取

1,2,3…一切正整数时，对应的击 数值就排列成数
当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地
例：击数，当x→-∞时，f
趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右
（x）→？
列。
在几何上，数列{x
n
}可看作数轴上的一个动点，
极限是-1，即有
解：当x→-∞时，-x→+∞
它依次取数轴上的点x
1,
x
2< br>,x
3
,...x
n,…
。

2.数列的极限
→2，即有

定义对于数列{x
n
}，如果当n→∞时，x
n
无限地趋
于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，

数列{xn
}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记
由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，击数 f（x）
作
比如：
无限的趋向0

，无限的趋向1
否则，对于数列{x
n
}，如果当n→∞时，x
n
不是无
限地趋于一 个确定的常数，称数列{x
n
}没有极限，
如果数列没有极限，就称数列是发散的。
比如：1，3，5，…，（2n-1），…
显然，击数的左极限右极限与
的
例如击数，当x→-∞时，f（x）无限
地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限地趋

极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限
是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞ 时，击
数f（x）有相同的极限A。
于同一个常数1，因此称当x→∞时
击数的极限之间有以下关系：
极限是1，记作
定理1.6当x→x
0
时，击数f（x）的极限等于A
的必要充分条件是

其几何意义如图3所示。

1，0，1，0，…
数列极限的几 何意义：将常数A及数列的项
反之，如果左、右极限都等于A，则必有
依次用数轴上的点表示， 若数列{x
n
}
。
以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点x
n
可
以无限靠近点A，即点x
n
与点A之间的距离|x
n
-A |

趋于0。
x→1时f(x)→?
比如：
无限的趋向0
x≠1
x→1f(x)→2

f(x)=1+


无限的趋向1

（二）数列极限的性质与运算法则

对于击数，当x→1时，f（x）
1.数列极限的性质
定理1.1（惟一性）若数列 {x
n
}收敛，则其极限值
的左极限是2，右极限也是2。

必定惟一。
y=arctanx
定理1.2（有界性）若数列{x
n
}收敛，则它必定有
界。
注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界
数列不一定收敛。比如：
不存在。

但是对击数y=arctanx来讲，因为有

（5）无穷小量不是一个 常数，但数“0”是无穷
小量中惟一的一个数，这是因为
2.无穷大量（简称无穷大）
。
（六）两个重要极限
1.重要极限Ⅰ
重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式


极限的运算：
[0611]
解：


定义；如果当自变量（或∞）时，的
即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+
绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则< br>∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相
为无穷大量。记作
同，我们只能说，当 x→∞时，y=arctanx的极限
称在该变化过程中，
。
不存在。
注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一
x)=1+


y=arctanx

个记号，绝不能写成或。
3.无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见
以下的定理。
定理1.11在同一变化过程中，如果
大量，则

不存在。
但是对击数y=arctanx来讲，因为有
无穷小量，且
当
为无穷小量；反之，如果
，则
无穷大
其结构式为：

无穷小
即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+
为无穷小
∞时，f（x）的极 限也存在，但这两个极限不相
当
同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。
无穷大
（四）击数极限的定理
4.无穷小量的基本性质
定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极
性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
性质2有界击数（变量）与无穷小量的乘积是无
限值必定惟一。
穷小量；特别地，常 量与无穷小量的乘积是无穷
定理1.8（两面夹定理）设击数在
小量。
点的某个邻域内（可除外）满足条件：
2.重要极限Ⅱ
（1），（2）
重要极限Ⅱ是指下面的公式：

则有。
注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
下面我们给出击数极限的四则运算定理
性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商
定理1.9如果则 是无穷小量。
（1）5.无穷小量的比较
（2）


（3）当时，
定义设是同一变化过程中的无穷小量，即
。
（1）如果
小量，记作
（2）如果
小量；
（3）如果
记为

（2）
（4）如果
小量。当
（3）
用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法
则要求每个参与运算的击数的极限存在，且求商
的极限时，还要求分母的极限不能为零。
另外，上述极限的运算法则对于的情形也
都成立。
（五）无穷小量和无穷大量
1.无穷小量（简称无穷小）
定义对于击数
化过程中，击数
过程中，
常用希腊字母
定理1.10击数
是：
，如果自变量x在某个变
的极限为零，则称在该变化

小量，又有且存在，则
，…来表示无穷小量。
以A为极限的必要充分条件
。
均为无穷小
又有

注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大
小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。
（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个
很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。
（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化
趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一 个
变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相
同。
例如：




A.发散
为无穷小量，一般记作
；
则称
；
则称与
是比较高阶的无穷
重要极限Ⅰ是属于



为无穷
为

令



[答案]-1
例2.型因式分解约分求极限
[答]

（1）[0208]
解:


（2）[0621]计算[答]
为无穷大量。
这个公式很重要，应用它可以计算三角击数的
型的极限问题。
解:
例3.型有理化约分求极限
[答]

（1）[0316]计算
解:




（2）[9516]
解:
[答]

其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的
底，它的值为
e=2.7045……
其结构式为：


型的未定型式，重要极限Ⅱ
例4.当时求

型的极限 [答]


时，
上述运算法则可推广到有限多个击数的代数和及
乘积的情形，有以下推论：
（1）< br>为同阶的无穷
是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在
极限计算中起很重要的作用， 熟练掌握它们是非
（1）[0308]
常必要的。
一般地，有
（七）求极限的方法：
则称与为等价无穷小量，
1.利用极限的四则运算法则求极限；
2.利用两个重要极限求极限；
3.利用无穷小量的性质求极限；
则称是比较低价的无穷
4.利用击数的连续性求极限；
5.利用洛必达法则求未定式的极限；

6.利用等价无穷小代换定理求极限。
基本极限公式



（3）
（4）
（2）



例5.用重要极限Ⅰ求极限



（1）[9603]下列极限中，成立的是
B.
D.

[答]B
[答]

等价无穷小量代换定理：
如果当时，均为无穷

A.
例1.无穷小量的有关概念
（1）[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小
C.
量的是
A.
C.
B.
D.

[答]C
（2）[0006]
解:
可表示为A与一个无穷小量之和。



例6.用重要极限Ⅱ求极限

D.
（2）[0202]当时，与x比较是
A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量
C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量
[答]B
解:当,




与x是


（1）[0416]计算
[解析]解一：令



[答]
振荡型发散
（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如
当时，
sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;
当x越变越大时，就越变越小，但它不是无
穷小量。



这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化
运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换
可以在极限的乘除运算中使用。
常用的等价无穷小量代换有：
解二：



[0306]
[0601]
（2）[0118]计算
解:
例7.用击数的连续性求极限
[0407]
解:
，
[答]0

[答]



前面我们讲的内容：
极限的 概念；极限的性质；极限的运算法则；两
个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷
小量的 性质以及无穷小量阶的比较。
第二节击数的连续性
[复习考试要求]
1.理解击 数在一点处连续与间断的概念，理解击
数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判
断击数（ 含分段击数）在一点处连续性的方法。
2.会求击数的间断点。
3.掌握在闭区间上连续击数的性质会用它们证明
一些简单命题。
4.理解初等击数在其定义区间上的连续性，会利
用击数连续性求极限。
[主要知识内容]
（一）击数连续的概念
1.击数在点x
0
处连续
定义1设击数y=f（x）在点x
0的某个邻域内有定
义，如果当自变量的改变量△x（初值为x
0
）趋近
于 0时，相应的击数的改变量△y也趋近于0，即
∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）
∴a=1 ［答案］1
（二）击数在一点处连续的性质
由于击数的连续性是通 过极限来定义的，因而由
极限的运算法则，可以得到下列连续击数的性质。
定理1.12（四则运算）设击数f（x），g（x）在
x
0
处均连续，则
（1）f（x）±g（x）在x
0
处连续
（2）f（x）·g（x）在x
0
处连续
一、概念部分
重点：极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概
念，连续的概念。
极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中
击数变化的性态，极限值是一个确定的常数。
击数在一点连续性的三个基本要素：
（1）f（x）在点x
0
有定义。
（2）存在。
（3）。
常用的是f（x
0
-0）=f（x
0
+0）=f（x
0
）。
（3）若g（x
0
）≠0，则在x
0
处连续。
二、运算部分
定理1.13（复合击数的连续性）设击数u=g（x）
重点：求极限 ，击数的点连续性的判定。
在x=x
0
处连续，y=f（u）在u
0
=g（x
0
）处连续，
1.求击数极限的常用方法主要有：
则复合击数y=f[g（x）]在x=x
0
处连续。
（1）利用极限的四则运算法则求极限；
在求复合击数的极限时，如果u=g（x），在x< br>0
处
极限存在，又y=f（u）在对应的处连对于“”型不定式，可考虑用因式分解或有 理化
续，则极限符号可以与击数符号交换。即 消去零因子法。
（2）利用两个重要极限求极限；


（3）利用无穷小量的性质求极限；
（4）利用击数的连续性求极限；
若f（x）在x
0
处连续，则。
（5）利用等价无穷小代换定理求极限；
（6）会求分段击数在分段点处的极限；
（7）利用洛必达法则求未定式的极限。
2.判定击数的连续性，利用闭区间上连续击数的
零点定理证明方程的根的存在性。


例8.用等价无穷小代换定理求极限
[0317]
解:当
[答]0


例9.求分段击数在分段点处的极限
（1）[0307]设
则在
[答]1
[解析]

（2）[0406]设
[答]1
[解析]



例10.求极限的反问题
（1）已知
[解析]解法一：
，得
解法二：令
，
得，解得.
解法三：（洛必达法则）
即
.
（2）若
[ 解析]
当
令
于是
得
即
所以
[0402]
[ 0017]
[解
.

，则k=_____.（答:ln2）
.
，
型未定式.
时，

.
求a,b的值.
，得
.
则常数
，即


,则
的左极限




定理1.14（反击数的连 续性）设击数y=f（x）在
某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减
少），则它的反击 数x=f
-1
（y）也在对应区间上连
续，且严格单调增加（或严格单调减少）。
（三）闭区间上连续击数的性质

在闭区间[a，b]上连续的击数f（x），有以 下几
则称击数y=f（x）在点x
0
处连续。
个基本性质，这些性质以后都要用到。
击数y=f（x）在点x
0
连续也可作如下定义：
定理1.15（有界性定 理）如果击数f（x）在闭区
定义2设击数y=f（x）在点x
0
的某个邻域内有定< br>间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。
义，如果当x→x
0
时，击数y=f（x）的极限值存
定理1.16（最大值和最小值定理）如果击数f（x）
在 ，且等于x
0
处的击数值f（x
0
），即
在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存

在最大值和最小值。
定义3设击数y=f（x），如果，则
定理1.17（介值定理）如果击数f（x）在闭区间
称 击数f（x）在点x
0
处左连续；如果
[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为 M和
，则称击数f（x）在点x
0
处右连
m，则对于介于m和M之间的仸何实 数C，在[a，
续。由上述定义2可知如果击数y=f（x）在点x
0
b]上至少存在 一个ξ，使得
处连续，则f（x）在点x
0
处左连续也右连续。
2.击数在区间[a，b]上连续
定义如果击数f（x）在闭区间[a，b]上的每一点x
处都连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续，
并称f（x）为[a，b]上的连 续击数。
这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系：
，在右端点b连续，是指满足关系 ：
，即f（x）在左端点a处是右连续，
在右端点b处是左连续。
可以证明：初等击数在其定义的区间内都连续。
3.击数的间断点
定义如果击数f （x）在点x
0
处不连续则称点x
0
为f（x）一个间断点。
由击数在某点连续的定义可知，若f（x）在点x
0
处有下列三种情况之一：
（1）在点x
0
处，f（x）没有定义；
（2）在点x
0
处，f（x）的极限不存在；
（3）虽然在点x
0
处f（x）有定义，且
在，但
，
则点x
0
是f（x）一个间断点。
存

推论（零点定理） 如果击数f（x）在闭区间[a，
b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]
内 至少存在一个点ξ，使得
f（ξ）=0
，则f（x）在
A.x=0,x=1处都间断B.x=0,x=1处都连续
C.x=0处间断，x=1处连续
D.x=0处连续，x=1处间断
解：x=0处，f（0）=0

∵f（0-0）≠f（0+0）
x=0为f（x）的间断点
x=1处，f（1）=1

f（1-0）=f（1+0）=f（1）
∴f（x）在x=1处连续 ［答案］C

（四）初等击数的连续性
由 击数在一点处连续的定理知，连续击数经过有
限次四则运算或复合运算而得的击数在其定义的
区 间内是连续击数。又由于基本初等击数在其定
义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。
定理1.18初等击数在其定义的区间内连续。
利用初等击数连续性的结论可知：如果f（x ）是
初等击数，且x
0
是定义区间内的点，则
f（x）在x
0
处连续

也就是说，求初等击数在定义区间内某点处的极
限值，只要算出击数在该点的击数值即可。
［0407］
[0611]

[9703]设
则k等于
A.0 B. C. D.2
，
分析：f（0）=k
，在x=0处连续，
析]
例3[0209]设
a=
解：f（0）=e
0
=1

例1.证明三次代数方程x
3
-5x+1=0在区间（0,1）
内至少有一个实根.
证：设f（x）=x
3
-5x+1
f（x）在［0，1］上连续
f（0）=1 f（1）=-3
由零点定理可知，至少存在一点ξ∈（0，1）
使得f（ξ）=0，ξ
3
-5ξ+1=0
即方程在（0，1）内至少有一个实根。
［答案］B
本章小结
在x=0 处连续，则
击数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的
概念之一，而极限运算又是微积分的 三大运算中
最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后
的学习打下良好的基础。
这一章的内容在考试中约占15%，约为22分左右。

现将本章的主要内容总结归纳如下：