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高二公式韦达定理的应用题_证明_公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-13 20:21
tags:韦达定理公式

报关与国际货运-人民版高中历史必修一


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根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识,利用它们可进一步研 究根的性质,也可以将一些表面上看不是一
元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.
1.?判别式的应用
例1????????(1987年武汉等四市联赛题)已知实数a、b 、c、R、P满足条件PR>1,Pc+2b+Ra=0.求证:一元二次方程ax
2
+2b< br>x+c=0必有实根.
证明?△=(2b)
2
-4ac.①若一元二次方程有实根,
必须证△≥0.由已知条件有2b=-(Pc+Ra),代入①,得
△????=(Pc+Ra)
2
-4ac
=(Pc)
2
+2PcRa+(Ra)
2
-4ac
=(Pc-Ra)
2
+4ac(PR-1).
∵(Pc- Ra)2≥0,又PR>1,a≠0,
(1)当ac≥0时,有△≥0;
(2)当ac<0时,有△=(2b)
2
-4ac>0.
(1)、(2)证明了△≥0,故方程ax
2
+2bx+c=0必有实数根.
例2????????(1985年宁波初中数学竞赛题)如图21-1,k是实数,O是数轴的原点,A是数 轴上的点,它的坐标是正数a.P是数
轴上另一点,坐标是x,x<a,且OP
2
=k ·PA·OA.
(1)??????k为何值时,x有两个解x1,x2(设x
1
< x
2
);
此处无图
(2)??????若k>1,把x
1
,x
2
,0,a按从小到大的顺序排列,并用不等号“<”连接.
解?(1)由已知可得x
2
=k·(a-x)·a,即
x
2
+kax-ka
2
=0,当判别式△>0时有两解,这时 △????=k
2
a
2
+4ka
2
=a
2k(k+4)>0.
∵a>0,∴k(k+4)>0,故k<-4或k>0.
(2)x
1
<0<x
2
<a.
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例3(1982年湖北初中数学竞赛题)证明不可能分解为两个一次因式之积.
分析?若视原式为关于x的二次三项式,则可利用判别式求解.
证明?

将此式看作关于x的二次三项式,则判别式
△????=

显然△不是一个完全平方式,故原式不能分解为两个一次因式之积.
例3????????( 1957年北京中学生数学竞赛题)已知x,y,z是实数,且x+y+z=a,①?②求证:0≤x≤
0≤y≤?0≤z≤

分析?将①代入②可消去一个字母,如消去z,然后整理成关于y的二次方程讨论.
证明?由①得z=a-x-y,代入②整理得

此式可看作关于y的实系数一元二次方程,据已知此方程有实根,故有
△????=16(x -a)
2
-16(4x
2
-4ax+a
2
)≥0
≥0≤x≤

同理可证:0≤y≤,0≤z≤.
例5设a
1
,a
2
,a
3
,b是满足不等式(a
1
+a
2< br>+a
3

2
≥2()+4b的实数.
求证:a
1< br>a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
1
≥3b.
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证明由已知可得
≤0.
设则

∵a
3
是实数,?故△≥0,即有
(a
1
+a
2

2
≥()-2a
1
a
2
+4b+r≥2()-(a
1
+a
2

2
+4b.
于是(a
1
+a
2

2
≥()+2b,∴a
1< br>a
2
≥b.
同理有a
2
a
3
≥b,a3
a
1
≥b.三式相加即得
a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
1
≥3b.
例6设a、b、c为实数,方程组


均无实数根.求证:对于一切实数x都有>

证明?由已知条件可以推出a≠0,因为若a=0,则方程组至少有一个有实数解.
进一步可 知,方程ax
2
+bx+c=±x无实根,因此判别式△=
于是?(b-1)
2
+(b+1)-8ac<0.即?4ac-b
2
>1.
<0,


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2.?韦达定理的应用
例7?????????(1899年匈牙利数学奥林匹克竞赛题)假 设x
1
、x
2
是方程x
2
-(a+d)x+ad- bc=0的根.证明这时
的根.
是方程
证明?由已知条件得


=a
3
+d
3
+3abc+3bcd,


由韦达定理逆定理可知,、是方程
的根.
例8已知两个系数都是正数的方程
a
1
x
2
+b
1
x+c
1
=0,???①
a
2
x
2
+ b
2
x+c
2
=0,???②
都有两个实数根,求证:
(1)??????这两个实数根都是负值;
(2)??????方程?a
1
a
2
x
2
+b
1
b
2
x+c
1
c
2
=0?????③
③也有两个负根.
证明?∵方程①有两个实数根,∴>0.?④
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同理>0.????????????????⑤
又a
1
、b
1
、c
1
都是正数,∴>0,<0.
由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值.
显然a
1
c
1
<4a
1
c
1
代入④,得>0,????⑥
由>0,得>????????????⑦
∴△

=



=>0,
∴方程③也有两个实数根.
又a
1
a
2
>0,b
1
b
2
>0,c
1
c2
>0,
∴>0,?<0.
由此可知方程③的两个根也是负值.
例 9(1983年上海初中数学竞赛题)对自然数n,作x的二次方程x
2
+(2n+1)x+n
2
=0,使它的根为α
n
和β
n
.求下式的值:

+

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解?由韦达定理得


=

而?

??=(n≥3),
∴原式=

+

=

例10(1989年全国初中联赛试题)首项不相等的两个二次方程
(a-1)x
2
-(a
2
+2)x+(a
2
+2a)=0???①
及(b -1)x
2
-(b
2
+2)x+(b
2
+2b)=0?②
(其中a,b为正整数)有一公共根,求的值.
解?由题得知,a,b为大于1的整数,且a ≠b.设x
0
是方程①②的公共根,则x
0
≠1,否则将x=1代入①得a= 1,矛盾.得x
0
代入原方
程,并经变形得
????③
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及???④
所以a,b是关于t的方程

相异的两根,因此

于是??ab-(a+b)=2,即(a-1)(b-1)=3.
由??或

解得??或



例11?(仿1986年全国高中联赛题)设实数a,b,c满足
①②
????
求证:1≤a≤9.
证明?由①得bc=a
2
-8a+7.
①-②得?b+c=

所以实数b,c可看成一元二次方程
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的两根,则有△≥0,即
≥0,
即(a-1)(a-9)≤0,∴1≤a≤9.
例12(1933年福建初中数学竞赛题)求 证:对任一矩形A,总存在一个矩形B,使得矩形A和矩形B的周长和面积比都等于常数
k(k≥1).
分析?设矩形A及B的长度分别是a,b及x,y,为证明满足条件的矩形B存在,只须证明方程组
?(k,a,b为已知数)
有正整数解即可.
再由韦达定理,其解x,y可以看作是二次方程
z
2
-k(a+b)z+kab=0的两根.
∵k≥1,故判别式
△????=k
2
(a+b)
2
-4kab
≥k
2
(a+b)
2
-4k
2
ab
=k
2
(a-b)
2
≥0,
∴上述二次方程有两实根z
1
,z
2
.
又z
1< br>+z
2
=k(a+b)>0,z
1
z
2
=kab>0 ,
从而,z
1
>0,z
2
>0,即方程组恒有x>0,y>0的解 ,所以矩形B总是存在的.
练习二十一
1.?填空题
(1)??????设方程的两根为m,n(m>n),则代数式的值是_______;
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(2)??????若r和s是方程x
2
-p x+q=0的两非零根,则以r
2
+和为根的方程是__________;
(3) ??????已知方程x
2
-8x+15=0的两根可以写成a
2
+b
2
与a-b,其中a与b是方程x
2
+px+q=0的两根,那么|p|-q=__ ________.
2.选择题
(1)若p,q都是自然数,方程px
2
-qx+1985=0的两根都是质数,则12p
2
+q的值等于(??).
(A)404?(B)1998?(C)414?(D)1996
(2)方程的较大根为r,的较小根为s,则r-s等于(??).
(A)?(B)1985?(C)?(D)

(3)x
2
+px+q
2
=0(p≠0)的两个根为相等的实数,则x
2
-qx+p
2=0的两个根必为(??).
(A)??非实数?(B)相等两实数?(C)非实数或相等两实数?(D)实数
(4)?? ????如果关于方程mx
2
-2(m+2)x+m+5=0没有实数根,那么关于x的方程( m-5)x
2
-2(m+2)x+m=0的实根个数为
(A)2?(B)1?(C)0?(D)不确定
3.(1983年杭州竞赛)设a
1
≠0,方程a
1
x
2
+b
2
x+c
1=0的两个根是1-a
1
和1+a
1
;a
1
x
2
+b
1
x+c
2
=0的两个根是
和;a
1x
2
+b
1
x+c
1
=0的两根相等,求a
1
,b
1
,c
1
,b
2
,c
2
的值 .
4.常数a是满足1≤a≤50的自然数.若关于x的二次方程(x-2)
2
+( x-a)
2
=x
2
的两根都是自然数,试求a的值.
5.设x2
、x
2
为正系数方程ax
2
+bx+c=0的两根,x
1
+x
2
=m,x
1
·x
2
=n
2,且m,n.求证:
(1)???如果m<n,那么方程有不等的实数根;
(2)???如果m>n,那么方程没有实数根.
6.求作一个以两正数α,β为根的二次方程,并设α,β满足

7.(1987年 全国初中竞赛题)当a,b为何值时,方程x2+(1+a)x+(3a
2
+4ab+4b2
+2)=0有实根?
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8.(1985年苏州初 中数学竞赛题)试证:1986不能等于任何一个整系数二次方程ax
2
+bx+c=0的判别 式的值.
9.(第20届全苏中学生数学竞赛题)方程x
2
+ax+1=b的根是自 然数,证明a
2
+b
2
是合数.
10.(1972年加拿大试题)不用辅助工具解答:
(1)??????证满足的根在
(2)??????同(1)证
练习二十一
1.(1)

(2)
(3)3.
2.C???B??A.

3.



4.x=a+2±由于x为自然数,可知a为完全平方数
即a=1,4,9,16,25,36,49.
5.略
6.3x
2
-7x+2=0.
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7.因为方程有实根,所以判别式

8.设1986=4k+2(其中k是自然数).
令△=b
2
-4ac=4 k+2,这时b
2
能被2整除,因而b也能被2整除.取b=2t,这时b
2
=4t
2
,且4t
2
-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而
右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.
10.由,可得x
2
-198x+1=0,其根


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