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圆柱体的重量计算公式根与序数的关系

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-13 20:27
tags:韦达定理公式

高中所有化学方程式-哈尔滨体育学院单招


对于一元二次方程,当判别式△=时,
其求根公式为:;若两根为,当△≥0时,则两根的关< br>系为:;,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆
定理也是成立的,即当,时,那么则是< br>的两根。一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应
用极为广泛,在中学数学中占有极重要的 地位,也是数学学习中的重点。学习中,
老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外,还常常 要求同学们熟记
一元二次方程
及应用求根公式求出方程

根的判别式
的两个根
存在的三种情况,以
,进而分解因式,
。下面就对应用韦达定理可能出现的问 题举例做
些分析,希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式,讨论一元二次方程的根。
例1:已知关于的方程(1)
根,且关于的方程(2)
方程(1)有整数解?
分析:在同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的
的整数值。
解:∵方程(1)有两个不相等的实数根,

有两个不相等的实数
没有实数根,问取什么整数时,
解得;
∵方程(2)没有实数根,

解得;
于是,同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围是
其中,的整数值有或
当时,方程(1)为,无整数根;
当时,方程(1)为,有整数根。
解得:
所以,使方程(1)有整数根的的整数值是。
说明:熟悉一元二次方程实数根存在条件是 解答此题的基础,正确确定的
取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理,从而筛选 出
,这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1:不解方程,判别方程

分析:对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常
两根的符号。
数项皆为已知,可据此求 出根的判别式△,但△只能用于判定根的存在与否,若
判定根的正负,则需要确定
既要求出判别 式的值,又要确定


的正负情况。因此解答此题的关键是:
的正负情况。
解:∵,∴△=—4×2×(—7)=65>0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为,
∵<0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明: 判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合
起来进行确定,另外由于本题中
若>0,仍需考虑
<0,所以可判定方程的根为一正一负;倘
的正负,方可判别方程是两个正 根还是两个负根。

三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。
例2:已知方程
值。
分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义 ,把代入原方程,
的一个根为2,求另一个根及的
先求出的值,再通过解方程办法求出另一个根 ;二是利用一元二次方程的根与
系数的关系求出另一个根及的值。
解法一:把代入原方程,得:


解得
当时,原方程均可化为:

解得:
∴方程的另一个根为4,的值为3或—1。
解法二:设方程的另一个根为,
根据题意,利用韦达定理得:

∵,∴把代入,可得:
∴把代入,可得:


解得
∴方程的另一个根为4,的值为3或—1。
说明:比较起来,解法二应用了韦达定理,解答起来较为简单。
例3:已知方程
和比两根的积大21,求的值。
有两个实数根,且两个根的平方
分 析:本题若利用转化的思想,将等量关系“两个根的平方和比两根的积大
21”转化为关于的方程,即可 求得的值。
解:∵方程有两个实数根,
∴△
解这个不等式,得
设方程两根为



≤0




整理得:
解得:
又∵,∴
说明:当求出
意的。
后,还需注意隐含条件,应舍去不合题
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5:已知、是关于的一元二次方程
零实数根,问和能否同号?若能同号,请求出相应的
的两个 非
的取值范围;若不
能同号,请说明理由,
解:因为关于的一元二次方程有两个非零实数根,
∴则有

又∵、是方程的两个实数根,所以由一元二次
方程根与系数的关系,可得:

假设、同号,则有两种可能:
(1) (2)
若, 则有: ;
即有:
解这个不等式组,得
∵时方程才有实树根,∴此种情况不成立。
若 , 则有:
即有:
; 解这个不等式组,得
又∵,∴当时,两根能同号
说明:一元 二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的
内在联系,是分析研究有关一元二次方程 根的问题的重要工具,也是计算有关一
元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样, 是设计考察创
新能力试题的良好载体,在中考中与此有联系的试题出现频率很高,应是同学们
重 点练习的内容。
六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例:已知、是方程的两个实数根,求的值。
分析:本题可充分运用根的意义和根与系数的关系 解题,应摒弃常规的求根
后,再带入的方法,力求简解。
解法一:由于是方程的实数根,所以
设,与相加,得:


(变形目的是构造
根据根与系数的关系,有:

和)
于是,得:

∴=0

解法二:由于、是方程的实数根,


说明:既要熟悉问题的常规解法,也要随时想到特殊的简捷解法,是解题能力 提
高的重要标志,是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题,当根是无理数时,运 算将十分繁琐,这时,
如果方程的系数是有理数,利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简< br>的作用。这类问题在解法上灵活多变,式子的变形具有创造性,重在考查能力,
多年来一直受到命 题老师的青睐。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8:已知两方程和至少有一
个相同的实数根,求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析:当设两方程的相同根为时,根据根的意义,可以构成关于和
二元方程组,得解后再由根与系数的关 系求值。
解:设两方程的相同根为, 根据根的意义,



两式相减,得
当时, ,方程的判别式

方程无实数解
当时, 有实数解
代入原方程,得,
所以
于是,两方程至少有一个相同的实数根,4个实数根的相乘积为

说明:(1)本题 的易错点为忽略对
除了犯有默认
的讨论和判别式的作用,常常
的错误,甚至还会得出并 不存在的解:
当时,,两方程相同,方程的另一根也相同,所以4个根
的相乘积为:;
(2)既然本题是讨论一元二次方程的实根问题,就应首先确定方程有实根
的条件:


另外还应注意:求得的
【趁热打铁】
一、填空题:
1、如果关于的方程

的值必须满足这两个不等式才有意义。
的两根之差为2,那么 。
2、已知关于的一元二次方程

两根互为倒数,则
3、已知关于的方程
则 。
4、已知是方程
的两根为,且,
的两个根,那么: ;
; 。
5、已知关于的一元二次方程
,则 ; 。
的两根为和,且
6、如果关于的一元二次方程
个根是 ,的值为 。
7、已知是
的一个根是,那么另一
的一根,则另一根为 ,的值为 。
8、一个一元二次方程的两个根是
为: 。
二、求值题:
1、已知是方程
和,那么这个一元二次方程
的两个根,利用根与系数的关系,求
的值。
2、已知
的值。
是方程的两个根,利用根与系数的关系,求
3、已知是方程
的值。
的两个根,利用根与系数的关系,求
4、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。
5、已知关于x的方程
求的值及方程的两个根。
6、已知方程
值及这个相同的根。
三、能力提升题:
1、实数在什么范围取值时,方程有正的实数根?
和有一个相同的根,求的
的两根满 足关系式,
2、已知关于的一元二次方程
(1)求证:无论

取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根。
、满足,求的值。 (2)若这个方程的两个实数根
3、若,关于的方程有两个相等的正的实数
根,求的值。
4、是否存在实数,使关于的方程的两个实根
,满足
请说明理由。
,如果存 在,试求出所有满足条件的的值,如果不存在,
5、已知关于的一元二次方程()的两实数根
为 ,若,求的值。
6、实数

、分别满足方程和,求代数
的值。
答案与提示:
一、填空题:
1、提示:

,,,∴,
∴,解得:
2、提示:,由韦达定理得:,,∴,
解得:,代入检验,有意义,∴。
3、提示:由于韦达定理得:,,∵,
∴,∴,解得:。
4、提示:由韦达定理得:,,
;;由


可判定方程的两根异号。有两种情况:①设>0,<0,
;②设
<0,>0,则。
5、提示:由韦达定理得:
,∴,∴
,,∵

,∴,
6、 提示:设
,解得:
,由韦达定理得:


,即
,∴

7、提示:设

,由韦达定理得:,,∴
∴,∴
8、提示:设所求的一元二次方程为

,那么,

求的一元二次方程为:
二、求值题:
,即

;;∴设所
1、提示:由韦达定理得:,,∴


2、提示:由韦达定理得:

,,∴

3、提示:由韦达定理得:,,


4、提示:设这两个数为
看 作方程
程:

,于是有


,,因此可
的两根,即
,解得:

,所以可得方
,所以所求的两个数分别是
5、提示:由韦达定理得

,,∵,∴

解得:
,∴,化简得:;
,;以下分两种情况:
①当时,,,组成方程组:
;解这个方程组得:;
②当时,,,组成方程组:

解这个方程组得:
6、提示:设
得方程组:
和相同的根为,于是可
;①②得:

,解这个方程得:
以下分两种情况:(1)当
代入①得。
时,代入①得;(2)当时,
所以和相同的根为,的
值分别为,。
三、能力提升题:
1、提示:方程有正的实数根的条件必须同时具备:①判别式△≥0;②< br>>0,>0;于是可得不等式组:

解这个不等式组得:>1
2、提示:(1)

>0,所以无论
的判别式△
取什么实数值,这个 方程总有两
个不相等的实数根。(2)利用韦达定理,并根据已知条件可得:

解这个关于的方程组,可得到:,,由于
,所以可得,解这个方程,可得:,

3、提示:可利用韦达定理得出①
组:
>0,②>0;于是得到不等式
< br>求得不等式组的解,且兼顾;即可得到>,再由
可得:,接下去即可根据,
>,得到,即 :=4
4、答案:存在。
提示:因为,所以可设();由韦达定理得:
,;于是可得方程组:

解这个方程组得:①当时,;②当时,;
所以的值有两个:;;
5、提示:由韦达定理得:,,则

,即,解得:
6、提示:利用求根公式可分别表示出方程
的根:

,,
∴,∴,∴

又∵,变形得:,∴

,∴

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