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百日地量选股公式等差数列求和公式Sn教学文案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-13 21:09
tags:等差数列公式

欧阳修的词集-朋友之间的友谊的句子


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等差数列求和公式 Sn=n(a1+an)2 或Sn=a1*n+n(n-1)d2 注:an=a1+(n-1)d
转换过程:Sn=n(a 1+an)2=n{a1+[a1+(n-1)d]}2=n[2a1+(n-1)d]2=[2na1+n(n -1)d]2
应该是对于任一N均成立吧(一定),那么
Sn-Sn-1=[n(a1+ an)-(n-1)(a1+an-1)]2=[a1+n*an-(n-1)*an-1]2= an
化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立
当n取 n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1

2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2)
当n大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它是等差数列
和=(首项+末项)×项数÷2
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项+(项数-1)×公差
性质:等差数列求是求数列中所有项的和
若 m、n、p、q∈N
①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
②若m+n=2q,则am+an=2aq


























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二、例题
例1 用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?
分析 ∵要求的数去除30、60、75都能整除,
∴要求的数是30、60、75的公约数。
又∵要求符合条件的最大的数,
∴就是求30、60、75的最大公约数。
解:∵
(30,60,75)=5×3=15
这个数最大是15。
例2 一个数用3、4、5除都能整除,这个数最小是多少?
分析 由题意可知,要求的数是3、4、5的公倍数,且是最小的公倍
数。
解:∵[3,4,5]=3×4×5=60,
∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
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例3 有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和30 0厘米.现在
要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最长多少厘
米?一共可以截 成多少段?
分析 ∵要截成相等的小段,且无剩余,
∴每段长度必是120、180和300的公约数。

又∵每段要尽可能长,
∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.
(120,180,300)=30×2=60
∴每小段最长60厘米。
120÷60+180÷60+300÷60
=2+3+5=10(段)
答:每段最长60厘米,一共可以截成10段。
例4 加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工 序每个工人每小
时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三
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道工序每个工人每小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至
少各分配几个工人?
分析 要使加工生产均衡,各道工序生产的零件总数应是3、10和5
的公倍数.要求三道工序 “至少”要多少工人,要先求3、10和5的最小
公倍数。

[3,10,5]=5×3×2=30
∴各道工序均应加130个零件。
30÷3=10(人)
30÷10=3(人)
30÷5=6(人)
答:第一道工序至少要分配10人,第二道工序至少要分配3人,
第三道工序至少要分配6人。
例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计,三种饮料共用了65瓶;平均
每2个人饮用一瓶A饮 料,每3人饮用一瓶B饮料,每4人饮用一
瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人?
分析 由题意可知,参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。
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解:∵[2,3,4]=12
∴参加会餐人数应是12的倍数。
又∵12÷2+12÷3+12÷4
=6+4+3=13(瓶),
∴可见12个人要用6瓶A饮料,4瓶B饮料,3瓶C饮料,共
用13瓶饮料。
又∵65÷13=5,
∴参加会餐的总人数应是12的5倍,
12×5=60(人)。
答:参加会餐的总人数是60人。
例3 某年的十月里有5个星期六,4个星期日,问这年的10月1日是星期几?
解:十月份共有31天,每周共有7天,
∵31=7×4+3,
∴根据题意可知:有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
∴这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日,从3月17日作为第一天开始往回数(即 3月16日(第
二天),15日(第三天),…)的第1993天是星期几?
解:每周有7天,1993÷7=284(周)…5(天),
从星期日往回数5天是星期二,所以第1993天必是星期二.
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面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外,例 如:16÷3=5…1,即16=5×3+1.此时,被除数除以
除数出现了余数,我们称之为带余数的 除法。
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r< b,使得a=b×q+r。
当r=0时,我们称a能被b整除。
当r≠0时,我们 称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商).
用带余除式又可以 表示为a÷b=q…r,0≤r<b。
例1 一个两位数去除251,得到的余数是41.求这个两位数。
分析 这是一道带余除法题,且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
解:∵被除数÷除数=商…余数,
即被除数=除数×商+余数,
∴251=除数×商+41,
251-41=除数×商,
∴210=除数×商。
∵210=2×3×5×7,
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∴210的两 位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70,其中42和70大于余数41.所以除数是4
2或70.即要求的两位数是42或70。
例2 用一个自然数去除另一个整数,商40,余 数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933,求被除数
和除数各是多少?
解:∵被除数=除数×商+余数,
即被除数=除数×40+16。
由题意可知:被除数+除数=933-40-16=877,
∴(除数×40+16)+除数=877,
∴除数×41=877-16,
除数=861÷41,
除数=21,
∴被除数=21×40+16=856。
答:被除数是856,除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六,4个星期日,问这年的10月1日是星期几?
解:十月份共有31天,每周共有7天,
∵31=7×4+3,
∴根据题意可知:有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
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∴这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日,从3月17日作为第一天开 始往回数(即3月16日(第二天),15日(第三天),…)
的第1993天是星期几?
解:每周有7天,1993÷7=284(周)…5(天),
从星期日往回数5天是星期二,所以第1993天必是星期二.
例5 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数。
这是一道古算题.它早在 《孙子算经》中记有:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七
七数之剩二,问物几何?”
关于这道题的解法,在明朝就流传着一首解题之歌:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆 正
半月,除百零五便得知.”意思是,用除以3的余数乘以70,用除以5的余数乘以21,用除以7的 余数乘以
15,再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105,那么就减去105,直至小于105 为止.这样就可以得到
满足条件的解.其解法如下:
方法1:2×70+3×21+2×15=233
233-105×2=23
符合条件的最小自然数是23。
例5 的解答方法不仅就这一种,还可以这样解:
方法2:[3,7]+2=23
23除以5恰好余3。
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所以,符合条件的最小自然数是23。
方法2的思路是什么呢?让我们再来看下面两道例题。
例6 一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小的自然数。
分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”,同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。
解:[5,6]-2=28,即28适合前两个条件。
想:28+[5,6]×?之后能满足“7除余1”的条件?
28+[5,6]×4=148,148=21×7+1,
又148<210=[5,6,7]
所以,适合条件的最小的自然数是148。
例7 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合条件的最小自然数。
解:想:2+3×?之后能满足“5除余3”的条件?
2+3×2=8。
再想:8+[3,5]×?之后能满足“7除余4”的条件?
8+[3,5]×3=53。
∴符合条件的最小的自然数是53。
归纳以上两例题的解法为:逐步满足条件法.当 找到满足某个条件的数后,为了再满足另一个条件,需
做数的调整,调整时注意要加上已满足条件中除数 的倍数。
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解这类题目还有其他方法,将会在有关“同余”部分讲到。
例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每 次取3个,最后剩1个;如果每次取5个或7个,最后都剩2个.
布袋中至少有小球多少个?
解:2+[5,7]×1=37(个)
∵37除以3余1,除以5余2,除以7余2,
∴布袋中至少有小球37个。
例9 69、90和125被某个正整数N除时,余数相同,试求N的最大值。
分析 在解答此题之前,我们先来看下面的例子:
15除以2余1,19除以2余1,
即15和19被2除余数相同(余数都是1)。
但是19-15能被2整除.
由此 我们可以得到这样的结论:如果两个整数a和b,均被自然数m除,余数相同,那么这两个整数
之差(大 -小)一定能被m整除。
反之,如果两个整数之差恰被m整除,那么这两个整数被m除的余数一定相同。
例9可做如下解答:
∵三个整数被N除余数相同,
∴N|(90-69),即N|21,N|(125-90),即N|35,
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∴N是21和35的公约数。
∵要求N的最大值,
∴N是21和35的最大公约数。
∵21和35的最大公约数是7,
∴N最大是7。
习题四
1.用一个自然数去除另一个自然数,不完全商是8,余数是1 6.被除数、除数、商、余数这四个数的和
为463,求除数。
2.某数除以3余1,除以4余2,除以5余3,除以6余4,这个数最小是多少?
3.某数除以8余3,除以9余4,除以12余7,在1000以内这样的数有哪几个?
4.用卡车运货,每次运9袋余1袋,每次运8袋余3袋,每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋?
5.57、96、148被某自然数除,余数相同,且不为零.求284被这个自然数除的余数.

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本文更新与2020-09-13 21:09,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/393585.html

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