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AP等差数列1:(概念通项公式)
定义等差中项等差数列的通项公式.
等差数列的通项公式:
等差数列通项公式的推导:
1
归纳法(由特殊到一般的思想) ○
…
2
逐差法 ○
3
累加法 ○
4
迭代法 ○
等差数列通项公式的变形:
对任意正整数
有
即
等差数列的性质(重点):
设
是公差为 的等差数列 那么
(1)在等差数列
中,若
则
1
若
则
注:○
2
若
是有穷等差数列,则与首尾两项等距离的两项之和都相等,且等于
○
.
首位两项之和,即
(2)数列
为非零常数 是公差为 的等差数列.
(3)若数列
也是等差数列 则数列
是等差数列.
(4)等差数列的单调性:(三种情况)
1.等差数列的判定:
方法:(1)定义法;(2)等差中项法;(3)通项公式法.(不再举例)
还是举一个例子吧:
例15:已知各项均为正数的两个数列
和
满足:
设
求证 数列
是等差数列.
2.灵活设项求解等差数列问题:
方法:(1)若所给等差数列为
项 则这个数列可设为
,此数列公差为
(2)若所给等差数列的项数为
项 则这个等差数列可设
为:
此数列的公差
为 .
例:成等差数列的四个书之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个
数.
分析:总共四个数,即
个,用对称设法:
解:设这四个数为
由题意可知
,即
解的
或
故这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.(今后也许会
遇到这种设法了解一下即可)
变式: 一直四个数依次成等差数列,且这四个数的平方和为94,首尾两数之积比
中间两素数之积少18,求这 四个数.
(等差数列的性质应用)例:在数列
中,
且对任意大于1的正整数 ,点
在直线
上 则
.
例16:若
是等差数列
是方程
的两根,则
.
例17:若数列
为等差数列 且
则
.
例18:在 中, 分别为 的对边 如果 成等差数列
的面积为1.5,那么b= .
例19:已知 的一个内角为 并且三边长构成公差为 的等差数列,
则 的面积为 .(需要使用余弦定理)
例20:若
是等差数列 且
则
.
例21:若等差数列
那么
.
例22:在数列
中 若
则
.
例23:在数列
中 若
则
.
例24:已知等差数列
的公差为
且
,
若
则 为 .
例25:若
为等差数列 且
则
的值为 .
例26:已知在等差数列
中
则
.
例27:已知数列
中
且
(1)求证:数列
是等差数列
(2)求
的通项公式
等差数列2:(等差数列的前 项和)
与
的关系 若数列的前 项和为
则通项公式
已知
求
,不能直接用
,必须有
因为
是没有意义的.
应单独解出,在验证是否符合
.
若符合,写成统一的式子;若不符合,则用分段函数的形式给出.
等差数列前 项和公式:
或
.
(知道)等差数列前 项和的公式的推导(仅有一个倒叙相加法):
1.等差数列前n项和的性质:(重点)
设
是等差数列
的前 项和 是
的公差 那么:
(1)
…
构成公差为
的等差数列
(2)设等差数列
的项数为
则有
○
1
○
2
偶
偶
奇
偶
奇
分别为数列
的所有奇
奇
数项的和,偶数项和.)
○
3
设等差数列
的项数为
则
是数的列中间项
奇
偶
奇
.
偶
(3)数列
是等差数列 首项为
公差为
.
(4)在等差数
中 若
则
存在最大值 若
则
存在最小值.
(注:若等差数
中 若
且
则
为最大值 若
则
且
与
均为最大值 若等差数列
中
情况与此相似 )
(5)在等差数列
中,
○
1
若
则
○
2
若
则
○
3
若
( ),则
.
列
列
2.等差数列前n项和比值的问题:(难点重点):
(1)设等差数列
的首项为
公差为
等差数列
的公差为
公差为
它们的前 项和分别为
则它们
有下列性质:
1
○
等差数列
的前 项和
与等差数列
的前 项和
的比
是关于 的一次函数 即
2
若等差数列
的前 项和分别为
○
,则
.
(证明
:
(分子分母同乘2)
(化为
的模式)
(分子分母同乘)
(这步,分子分母同乘
只不过此时的 为 )
特别地 当 时
) (详细的不能再详细了(*^_^*))
(上面的公式需要记忆,证明过程看懂就行)
(2) 设等差数列
的前 项和为
则
与
有如下性质:
1
○
○2
.
3.等差数列的前n项和公式与函数的关系:
等差数列前n项和公式:
可以写成
.
若令
则上式可以写成
即
是关于 的函数
则有以下总结:
(1)一个数列
是等差数列的前提条件是其前n项和的公式
是关
于 的二次函数或一次函数或常函数,且其常数项为0,即
(A,B为常
数).
(2)若一个数列的前n的项和的表达式为
为常数 ,
则当 时,函数
不是等差数列 但从第 项起是等差数列
例28:已知数列
的前n项和为
则
的值为 .
例29:已知数列
的前n项和为
,且
,则
.
例30:等差数列
的前 项和分别为
,且
,则是得
为正
整数 的和数是 .
例31:已知
表示数列
的前n项和,且
,那么
.
例32:等差数列
的前 项和之比为
有关数列的基本量计算题目不举例了.
例33:(1)等差数列
中
求
(2)已知等差数列
的前 项和为 ,项数 为奇数,且前 项和中
奇数项和与偶数项和之比为 求中间项
,求的值.
例34:已知等差数列
的前 项和分别为
和
若
求
例35:若数列
的通项公式为
,求其前n项和.
1.裂项(拆项)相消法求和:
方法:把数列的通项拆成两项之差,数 列的每一项按如此拆法拆成两项之差,在
求和时一些项正负抵消,于是前n项和变成首尾如若干项之和. 此法对通项公式如
的数列尤为适用.
例36:若数列
的通项公式为
,求其前n项和
例37:已知数列
的前n项和为
,且满足
.
(1)求证:
是等差数列;
(2)求
的表达式;
(3)若
求
2.等差数列前n项和最值的求法:
方法:(1)设等差数列
的首项为
公差为 .
1
当
时
只有前面有限的几项为非负数 从某项开始其余所有项均为负数,
○
所以由
可得
的最大值为
2
当
时
只有前面有限的几项为负数 从某项开始其余所有项均为非负数,
○
所以由
可得
的最小值为
(2)二次函数法(具体不再详细说了,没什么内容,看例题)
例38:设等差数列
的前 项和为
,若
则当
取最小值时 等于 .
例39:在等差数列
中,
,求其前 项和
的最大值
例40:设等差数列
的前 项和为
,若
则 .
例41:等差数列
的前 项和为
若
则
的值为 .
例42:已知等差数列
的前 项和为
,若
,则
的值为 .
例43: 已知等差数列
满足:
的前 项和为
(1)求
及
;
(2)令
,求数列
的前 项和
.
例44:已知数列
满足
,设数列
的前 项和为
,令
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)求证:
例45:已知等差数列
的前 项和为
满足
.
(1)求
的通项公式;
(2)求数列
例 已知等差数列
的前 项和为
则
的前 项和.
.
例 已知数列
的前 项和为
则数列
的通项公式为 .
例48:求下面各数列的前 项和
:
(1)
…;
(2)
例49:一个等差数列共10项,其中奇数项的和为
,偶数项的和为15,则公差是
.
例50: 已知等差数列
,首项
,则使前
项和
成立的最大自然数 是 .
….
例 在等差数列
中 其前 项和为 其后的 项和为 则紧随其后的 项和为
.
例52: 已知等差数列
的公差 ,若
,则该数列的前
n项和
的最大值为 .
例53:设数列
满足
且对一切 ,有
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)设
,求
的取值范围.
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