增速的计算公式数列的概念和等差数列

数列的概念和等差数列（文）

一周强化
一、一周知识概述
数列的概念是数列的基础。其中通项公式和前n项和的求法是高考的必考内容，数列实质
上是一个特殊的 函数，它是定义在N
*
（或它的子集）上的函数，因而在解决数列问题时，一方
面要利 用函数的思想、函数的观点、函数的方法来解决数列问题；另一方面还应注意数列的特
殊性，也就是解决 数列问题的特殊方法。

二、重、难点知识的归纳与剖析
（一）本周复习的重点

1、

2、

3、等差数列的通项公式a
n
=a
1
＋(n－1)d

推广式a
n
=a
m
+(n－m)d

变形式n =

4、等差数列的求和公式S
n
=
5、等差数列的性质


（1）若m、n、p、q∈N
＋
且m+n=p+q，则a
m
＋a< br>n
=a
p
＋a
q

（2）在等差数列中，依次每k项之和仍成等差数列．

6、A是a、b的等差中项A=

7、三个数成等差数列，可设其为a－d、a、a＋d

四个数成等差数列，可设其为a－3d，a－d、a＋d、a＋3d．

（二）本周复习的难点

1、分别用累加法求具有a
n+1
=an
+f(n)的数列的通项，

用累积法求具有的数列的通项．

用拼凑分离法，求具有a
n+1
=Aa
n
＋B（A、B为常数） 的数列的通项．

2、数列{a
n
}为等差数列的判定和证明

①证明方法：定义法即若一个数列{a
n
}满足a
n+1
－a
n
=d（d是一个与n无关的常数），则数
列{a
n
}为等差数列．

②常见的判定方法（充要条件）：若一个数列{a
n
}满足a
n
= an+b 或S
n
=an
2
＋bn（a、b为常
数）或2a
n+1= a
n
＋a
n+2
，则这个数列为等差数列．

3、等差数列前n项和公式的函数性质

∵ S
n
=na
1
＋

设A=，B=，上式可写成S
n
=An
2
+Bn，当d≠0即A≠0时，S
n
是关于n的二次函 数式
（其中常数项为0），那么（n·S
n
）在二次函数y=Ax
2
＋Bx的图象上．

由二次函数的性质可知，当d>0时，S
n
有最小值 ；当d<0时，S
n
有最大值．

三、例题点评
例1、已知数列{a
n
}的前n项和求通项：

（1）S
n
=(－1)
n+1
·n

（2）S
n
=2
n
－2

分析：利用数列{a
n< br>}的通项公式a
n
与前n项和S
n
的关系即可求解．

解答：（1）a
1
= S
n
=1

当n≥2时，

a
n
= S
n
－S
n－1
=(－1)
n＋1
·n－(－1)
n
(n－1)

=－(－1)
n
·n－(－1)
n
(n－1)

=(－1)
n
(1－2n)

∵ a
1
=1适合上式，

∴ a
n
=(－1)
n
·(1－2n)

（2）当n≥2时，a
n
= S
n
－S
n－1
=2
n
－2－(2
n－1
－2)=2
n
－2
n－1
=2
n－1

当n=1时，a
1
= S
1
=0 不适合上式，

∴
点评：


a
n< br>与S
n
的关系，是一个非常重要的关系，根据这一关系，若知数列
的前n项和S
n
，则数列的通项a
n
一定可求，但首项a
1
是否符合a< br>n
= S
n
－S
n－1
，需进一步验证，若
不符合， 则a
n
需用分段函数表示，否则可合写为一个式子．

例2、 已知数列的通项公式为
（1）0.98是不是它的项？

.

（2）判断此数列的增减性和有界性.

分析：

数列的项数为正整数，此题即是研究是否有正整数解．

判断数列的增减性和有界性，即是 考虑a
n＋1
－a
n
的符号和对任何的n∈N，使得|a
n
|数M是否存在.

解答：

（1）设，解得n=7，所以0.98是此数列的第七项；

（2）



故此数列是递增数列．

又
∴ 此数列是有界数列.

点评：

，

理解数列中的有关概念，注意区别数列的项、项数、通项等概念，明确并非所有数列都有
界.

例3、已知等差数列{a
n
}共2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为 261，求第n＋1
项及项数2n＋1的值．

分析：

本题考 查等差数列的性质，此等差数列的项数为奇数，a
n＋1
为中间项，可利用a
中
=S
奇
－S
偶
，
S
奇
＋S
偶
= （2n＋1）a
中
进行求解．

解答：对于等差数列{a
n
}，有

a
中
=a
n＋1
= S
奇
－S
偶
=290－261=29

（2n＋1）a
中
= S
奇
＋S
偶
=290＋261=551

∴2n＋1=19

故第n＋1项为29，项数为19．

点评：

灵活利用等差数列的性质求等差数列的五个量可简化运算，提高解题速度及准确率．

例4、已 知数列{a
n
}的前n项和S
n
=32n－n
2
，求数列{ |a
n
|}的前n项和T
n
．

分析：

由S
n
可求出a
n
，从而确定在{a
n
}中哪些项是正数项 ，哪些项是负数项，再来求{|a
n
|}的前n
项和．

解答：当n≥2时，a
n
= S
n
－S
n－1
=（ 32n－n
2
）－[32(n－1)－(n－1)
2
]

=33－2n

又a
1
=S
1
=31 适合上式

∴a
n
=33－2n．

由a
n
=33－2n≥0得n≤=16.5．

所以等差数列{a
n
}中前16项为正数项，从第17项开始，各项为负数，因此：

当0n
=S
n
=32－n
2

当n≥17时

T
n
=S
16
－（a
17< br>＋a
18
＋a
19
＋…＋a
n
）=2S
16
－S
n

=－(32n－n
2
)＋2(32×16－16
2
)

= n
2
－32n+512

综上所述∴
点评：


在首项为正数，公差为负数的等差数列中，最后一个正数项的项数就是满足使a
n
>0的最大
的n的值，同理在首项为负数，公差为正数的等差数列中，最后一个负数项的项数 就是满足使
a
n
<0的最大的n的值．


例、（2005年高考江苏卷）
设数列的前项和为
、
，已知，，，且，
，其中
(Ⅰ)求与
为常数．
的值；
(Ⅱ)证明数列为等差数列；
(Ⅲ)证明不等式对任何正整数、都成立．
解：(Ⅰ)由，，，得，，．
把
解得，
分别代入
，．
，得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即
，①
又．②
②-①得，，
即．③
又．④
④-③得，，
∴，
∴，又，
因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，．
考虑．
．
∴．
即，∴．
因此，

．