流动资金公式等差数列的前n项和公式推导及例题解析

等差数列的前n项和·例题解析
一、等差数列前n项和公式推导：
（1） Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成
Sn=an+an-1+......a2+a1
两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
=n(a1+an)
所以Sn=[n（a1+an）]2 （公式一）
（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则
an=a1+(n-1)d代入公式公式一得
Sn=na1+ [n(n+1)d]2（公式二）

二、
对于等差数列前n项和公式的应用
【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为
奇数的各项的和为125，求其第6项．
解 依题意，得

解得a
1
=113，d=－22．
∴ 其通项公式为
a
n
=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135
∴a
6
=－22×6＋135＝3
说明 本题上边给出的解法是先求出基 本元素a
1
、d，
再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他
元 素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意
到a
6
=a
1
＋5d，也可以不必求出a
n
而

即a
6
＝3．可见，在 做题的时候，要注意运算的合理性．当
然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．
【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，
7，12，…，197中，求它们相同项的和．
解 由已知，第一个数列的通项为a
n
＝3n－1；第二个
数列的通项为b
N
=5N－3
若a
m
＝b
N
，则有3n－1＝5N－3

若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．
又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以
N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66
∴ 两数列相同项的和为
2＋17＋32＋…＋197=1393
【例3】 选择题：实数a，b，5a，7，3b ，…，c组
成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，
c的值分 别为
[ ]
A．1，3，5 B．1，3，7
C．1，3，99 D．1，3，9

又∵ 14＝5a＋3b，
∴ a＝1，b＝3
∴首项为1，公差为2

∴a
50
=c=1＋(50－1)·2=99
∴ a＝1，b＝3，c＝99
【例4】 在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、
末项为 2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半
部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．
解 依题意2＝1＋(2n＋2－1)d
①


由①，有(2n＋1)d=1

∴ 共插入10个数．
【例5】 在等 差数列{a
n
}中，设前m项和为S
m
，前n
项和为S
n< br>，且S
m
＝S
n
，m≠n，求S
m+n
．

⑤

且S
m
＝S
n
，m≠n


∴S
m+n
＝0
【例6】 已知等差数列{a
n
}中， S
3
=21，S
6
=64，求数
列｛|a
n
|｝的 前n项和T
n
．

d，已知S
3
和S
6
的值，解方程组可得a
1
与d，再对数
列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T< br>n
来．

解方程组得：d＝－2，a
1
＝9
∴a
n
＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11

其余各项为负．数列{a
n
}的前n项和为：

∴当n≤5时，T
n
＝－n
2
＋10n
当n＞6时，T< br>n
＝S
5
＋|S
n
－S
5
|＝S
5
－(S
n
－S
5
)＝2S
5
－S
n

∴T
n
＝2(－25＋50)－(－n
2
＋10n)＝n
2
－10n＋50

说明 根据数列{a
n
}中项的符号，运 用分类讨论思想可
求｛|a
n
|｝的前n项和．
【例7】 在等差数列{ a
n
}中，已知a
6
＋a
9
＋a
12
＋a
15
＝34，求前20项之和．
解法一 由a
6
＋a
9
＋a
12
＋a
15
＝34
得4a
1
＋38d＝34

＝20a
1
＋190d
＝5(4a
1
＋38d)=5×34=170

由等差数列的性质可得：
a
6
＋a
15
=a
9< br>＋a
12
＝a
1
＋a
20
∴a
1
＋a
20
=17
S
20
＝170
【例8】 已知等差数列{a
n
}的公差是正数，且a
3
·a7
=
－12，a
4
＋a
6
=－4，求它的前20项的和 S
20
的值．
解法一 设等差数列{a
n
}的公差为d，则d＞0，由已知
可得

由②，有a
1
＝－2－4d，代入①，有d
2
=4
再由d＞0，得d＝2 ∴a
1
=－10
最后由等差数列的前n项和公式，可求得S
20
＝180
解法二 由等差数列的性质可得：
a
4
＋a
6
＝a
3
＋a
7
即a
3
＋a
7
＝－4
又a
3
·a
7
=－12，由韦达定理可知：
a
3
，a
7
是方程x
2
＋4x－12＝0的二根
解方程可得x
1
=－6，x
2
＝2
∵ d＞0 ∴{a
n
}是递增数列
∴a
3
＝－6，a
7
=2

【例9】 等差数列{a
n
}、{b
n
}的前n项和分 别为S
n
和T
n
，若

[ ]



∵2a
100
＝a
1
＋a
199，2b
100
＝b
1
＋b
199


解法二 利用数列{a
n
}为等差数列的充要条件：S
n
＝
an
2
＋
bn

可设S
n
＝2n
2
k，T
n
＝n(3n＋1)k

说明 该解法涉及数列{a
n
}为等差数列的充要条件
S
n
=an
2
＋bn，由

k是常数，就不对了．
【例10】 解答下列各题：
(1)已知：等差数列{a
n
}中a
2
＝3，a
6
＝－17，求a
9
；
(2)在19与89 中间插入几个数，使它们与这两个数组
成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数； < br>(3)已知：等差数列{a
n
}中，a
4
＋a
6
＋a
15
＋a
17
＝50，
求S
20
；
(4 )已知：等差数列{a
n
}中，a
n
=33－3n，求S
n
的最大
值．
分析与解答

a
9
=a
6
＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32 (2)a
1
=19，a
n+2
=89，S
n+2
＝13 50


(3)∵a
4
＋a
6
＋a
15
＋a
17
=50
又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21
∴ a
4
＋a
17
=a
6
＋a
15
=25

(4)∵a
n
=33－3n ∴a
1
＝30

∵n∈N，∴当n=10或n=11时，S
n
取最大值165．
【例11】 求证：前n项和为4n
2
＋3n的数列是等差
数列．
证 设这个数列的第n项为a
n
，前n项和为S
n
．
当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n-1

∴ a
n
＝(4n
2
＋3n)－[4(n－1)
2
＋3(n－1 )]
=8n－1
当n=1时，a
1
=S
1
=4＋3=7
由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a
n
=8n
－1
又a
n+1
－a
n
＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8
∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．
说明 这里使用了“a
n
=S
n
－S
n-1
”这一关系．使用这
一关系时，要注意，它只在n ≥2时成立．因为当n＝1时，
S
n-1
=S
0
，而S
0< br>是没有定义的．所以，解题时，要像上边
解答一样，补上n＝1时的情况．
【例12】 证明：数列{a
n
}的前n项之和S
n
＝an
2
＋
bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．

由S
n
＝an
2
＋bn，得
当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n-1

＝an
2
＋bn－a(n－1)
2
－b(n－1)
=2na＋b－a
a
1
＝S
1
＝a＋b
∴对于任何n∈N，a
n
＝2na＋b－a
且a
n
－a
n-1
=2na＋(b－a)－2(n－1)a－b＋a
＝2a(常数)
∴{a
n
}是等差数列．

若{a
n
}是等差数列，则


S
n
=an
2
＋bn
综上所述，S
n
= an
2
＋bn是{a
n
}成等差数列的充要条件．
说明 由本题 的结果，进而可以得到下面的结论：前n
项和为S
n
=an
2
＋bn ＋c的数列是等差数列的充分必要条件
是c＝0．事实上，设数列为{u
n
}，则：

【例13】 等差数列{a
n
}的前n项和S
n
＝m， 前m项和
S
m
＝n(m＞n)，求前m＋n项和S
m+n
．
解法一 设{a
n
}的公差d
按题意，则有


=－(m＋n)
解法二 设S
x
＝Ax
2
＋Bx(x∈N)

①－②，得A(m
2
－n
2
)＋B(m－n)＝n－m
∵m≠n ∴ A(m＋n)＋B=－1
故A(m＋n)
2
＋B(m＋n)＝－(m＋n)
即S
m+n
＝－(m＋n)
说明 a
1
，d是等差数列的基本元素，通常是先求出基
本元素，再

解 的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解
法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S< br>x
=Ax
2
＋Bx．(x
∈N)
【例14】 在项数为2 n的等差数列中，各奇数项之和
为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之
值是多少？
解 ∵S
偶项
－S
奇项
=nd
∴nd=90－75=15
又由a
2n
－a
1
＝27，即(2n－1)d=27

【例15】 在等差数列{a
n
}中，已知a
1
＝25，S
9
＝S
17
，
问数列前多少项和最大，并求出最大值．
解法一 建立S
n
关于n的函数，运用函数思想，求最
大值．

∵a
1
=25，S
17
＝S
9
解得d＝－2

∴当n=13时，S
n
最大，最大值S
13
＝169
解法二 因为a
1
=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{a
n
}是
递减等

∵a
1
＝25，S
9
＝S
17


∴a
n
=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27

即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得
S
13
=169．
解法三 利用S
9
=S
17
寻找相邻项的关系．
由题意 S
9
=S
17
得a
10
＋a
11
＋a12
＋…＋a
17
=0
而a
10
＋a
17< br>=a
11
＋a
16
=a
12
＋a
15
=a
13
＋a
14

∴a
13
＋a
14
＝0，a
13
=－a
14
∴a
13
≥0，a
14
≤0
∴S
13
=169最大．
解法四 根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最
大值时的n．
∵{a
n
}是等差数列
∴可设S
n
＝An
2
＋Bn
二次函数y=Ax
2
＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示

∵S
9
＝S
17
，

∴取n=13时，S
13
＝169最大