供暖公式小学数学等差数列求和专项讲义

等差数列求和（一）
一、知识要点
数列：若干个数排成一列称为数列。
项：数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项
的个数称为项数 。
特殊的数列——等差数列：数列中任意相邻两项的差相当
公差：等差数列中相邻两项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？
分析：这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项
列表分析找规律：
项数
和第一项的差
每一项的计算
总结：
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
所以，第100项=3+（100－1）×4=399.
练习1：
1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？



2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。



3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。


1
0
3
2
4
3
8
4
12
5
16
……
……
……
n
（n-1）×4
3+（n-1）×4 3+1×4 3+2×4 3+3×4 3+4×4

1
【例题2】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？
分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.
总结例1：要求一列数有多少项，可以先求出末项比首项多的公差的个数，再加1.
总结：
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
所以，项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习2：
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？



2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？



3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？



【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 分析：如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1 +100）
+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的 两个数的和都是101.
一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就 是所求数列的和。
1+ 2+ 3+…+99+100=
（1+ 2+ 3+…+99+100
+100+99+98+…+2+ 1）=（1+100）×100÷2=5050
总结发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
练习3：
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50


2

（2）6+7+8+…+74+75



（3）100+99+98+…+61+60



【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
分析：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
练习4：
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22


（2）5+10+15+20+…+195+200



（3）9+18+27+36+…+261+270



【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
分析：容易发现， 被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的
和，然后相减。

3
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶 数
两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应
相减，可得到50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
练习5：
用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+199 9+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）




（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）




（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）














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等差数列求和（二）
一、知识要点
某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个
等差数列的和。 如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点 ，有时可考虑将题中的数适当分组，
并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练
【例题1】 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天 读的页数都
前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？
分析：根据 条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定
规律排列的数，即30、3 3、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项 =30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：
（30＋60）×11÷2=495（页）
想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？
练习1：
1.刘师傅 做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了
48个，正好做完。这批 零件共有多少个？
2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一 天多5
页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？
3.丽丽学英语单词，第一天 学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会
了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语 单词？
【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
分析：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它
打开，即开第 一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多
需试27次……等打开第 29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试
29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：
1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
2.有一 些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共
有几把锁的钥匙搞乱了 ？
3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽
毛球只数不相等？

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【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少
次手？
分析：假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个
依次和 剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。依次类推，第50个人和剩下的
一人握了1次手， 这样，他们握手的次数和为：
50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）.
练习3： < br>1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛，
一共要 进行多少场比赛？
2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其 他同学
握一次手。那么一共握了多少次手？
3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他 们一共打了78次电话，问有多少位同学
相约互通电话？
【例题4】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
分析：首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和， 而不是求这99个数之和。
为了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字之和） 计算0～99这
100个数的数字之和。这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是9+ 9=18，
一共有100÷2=50对，所以，1～99这99个连续自然数的所有数字之和是18×5 0=900。
练习4：
1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。
2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。
3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
.
【例题5】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。
分析：不妨先求0～199 的所有数字之和，再求200～209的所有数字之和，然后把它们
合起来。0～199的所有数字之和 为（1+9×2）×（200÷2）=1900，200～209的所有数字之
和为2×10+1+2+ …+9=65。所以，1～209这209个连续自然数的全部数字之和
1900+65=1965。
练习5：
1.求1～308连续自然数的全部数字之和。
2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。
3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。


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