温度计算公式等差数列前n项和的公式及其应用(精)

等差数列前n项和的公式及其应用

四川重庆市兼善中学 唐霞宾

作者简历


唐霞宾 四川开县人，1961年毕业于西南师范学 院数学系，同年任重庆市兼善中
学数学教师，1987年被评为四川省中学高级教师，1989年被评为 全国优秀教师．现任
重庆市兼善中学数学教师，重庆市北碚区数学中心教研组组长．
教学目的
(1)使学生掌握求等差数列前n项和的公式及其推导过程；
(2)使学生初步掌握公式的应用，培养学生的解题能力．
教学过程
师：我们已经 熟悉了等差数列的通项公式(板书)a
n
=a
1
＋(n－1)d(n∈N)及 由此推出
的性质(板书)a
1
＋a
n
=a
2
＋a< br>n-1
=a
3
＋a
n-2
=…．
[复习一下旧知识，为下面推导出公式S
n
作准备．]
师：今天我们首先研究 的问题是，探索已知等差数列的首项a
1
，项数n，第n项
a
n
，求 它的前n项和S
n
的计算公式．
为了得出S
n
的计算公式，我们先看一个具体例子．
(出示小黑板，并画出下面图形的一半．)
图表示堆放的钢管，共堆放了8层，自上而下各层的钢管数组成等差数列：
4，5，6，7，8，9，10，11．
求钢管的总数，即求和：
S
8
=4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11．

师：当然，我们可以用连加法把它算出来，但是，根据等差数列的性质，同学们
能发现更有趣的算法吗？
生：考虑到4＋11=5＋10=6＋9=7＋8=15，共有4个15，所以S
8=4×15=60．
师：对！同学们发现了4＋11=5＋10=6＋9=7＋8这个特点 ．如果倒过来写：8＋7=9
＋6=10＋5=11＋4，也等于15，这是什么意思呢？这就相当于在 这堆钢管旁边倒放着同
样一堆钢管．
(教师边讲边用红颜色粉笔画出上图虚圆．)
这样，每层的钢管数都相等，都为15．用数学式子表示这一过程是：(板书)
S
8
=4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11，
S
8
=11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4，
两式相加，得
2S
8
=(4+11)+(5+10)+(6+9)+(7+8)+(8+7)+(9+6)+ (10+5)+(11+4)
=8×(4+11)，

师：刚才 求和的方法不仅对于项数是偶数的等差数列适用，同时对于项数是奇数
的等差数列也适用．例如，

(教师先擦去图中的底层和最右边的一斜行，再计算出S
7
．)
师：通过这个具体例子的讨论，再来解决一开始提出的问题：寻求S
n
的计算公 式
就不难了．请同学们自己推导S
n
的计算公式．
生：S
n
=a
1
＋a
2
＋…＋a
n-1
＋a
n，
S
n
=a
n
＋a
n-1
＋…＋a< br>2
＋a
1
，
两式相加，得
2S
n=(a
1
＋a
n
)＋(a
2
＋a
n-1
)＋…＋(a
n-1
＋a
2
)＋(a
n
＋a
1< br>)．
∵a
1
＋a
n
=a
2
＋a
n-1
=…，


(Ⅰ)
[这个公式的推导过程，体现了从特殊到一般的认识过程．]
师：如果已知等差数列的首项为a
1
，公差为d，项数为n，由a
n
=a
1
＋(n－1)d， 就
得到等差数列的前n项和的另一个公式：(板书)

(Ⅱ)


师：公式(Ⅰ)是基本的．我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底＋下底)×高< br>÷2相类比．这里的上底是等差数列的首项a
1
，下底是第n项a
n
， 高是项数n．我国古
代数学家常用这种类比方法，来推出等差数列的求和公式．
在等差数 列的通项公式及前n项和的公式中，共有五个元素，即a
1
、d、n、a
n
、 S
n
．一
般说来，只要知道了其中的三个元素，通过解方程或方程组就可以求出其余两 个元素．
[指出这一点，可以理顺应用公式解题的思路，但不要绝对化，否则，对于下面的例3、例4学生就束手无策了．]
师：下面我们举例说明公式(Ⅰ)和(Ⅱ)的一些应用．(板书例题．)
[例1] 口答下列各题：
(1)1＋2＋3＋…＋99＋100=？(答：5050．)

(3)求自然数列中前n个奇数的和．(答：S
n
=n
2
．)
(4)求自然数列中前n个偶数的和．(答：S
n
=n(n＋1)．)

[因为(2)、(3)、(4)的结果以后常用，所以应使学生熟练掌握．]
[例2] (出示小黑板．)
(1)在a、b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列．求这10个数的和．
(2)求集合M=｛m|m=7n，n∈N，且m＜100｝的元素个数，并求这些元素的和．
(3)在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角为
120°．问它是几边 形？
[上例中的3个小题贯彻由浅入深的原则，体现等差数列中公式的实际应用．]
师：第(1)题，设插入的10个数依次为x
1
，x
2
，…，x
10
，则a，x
1
，x
2
，…，x
10
，b
组 成等差数列．
令S=x
1
＋x
2
＋…＋x
10
怎样算？

师：对的！还有另外的解法吗？
生：有．因为x
1
＋x
10
=a＋b，所以


师：很好！这种解法灵活运用了公式(Ⅰ)．
这个题目，也可以改成：已知一个梯形的两底边的长 分别为a与b，将梯形的一腰
12等分，过每个分点作平行于梯形底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰 间线段的长度
之和．
第(2)小题的题意是什么？
生：它的题意是：在小于100的自然数中，有多少个数能被7整除，并求这些数
的和．
师：正确！这是课本上的例题，请同学们自己解答．解完后，请自行对照课本．
如果将这个题变化 为：“在小于100的自然数中，有多少个数既是4的倍数又是6
的倍数，并求这些数的和．”那么，这 些数由小到大组成首项是12，公差也是12(4与
6的最小公倍数)的等差数列，它们共有8个，其和 为432．如果再改为：“在小于100
的自然数中，有多少个数被4除与被6除余数都是1，并求这些 数的和．”那么，这些
数由小到大组成首项是13(4与6的最小公倍数12再加1)公差是12的等差 数列．这样
的数共有8个，其和为440．
[讲完一个例题后，将例题引伸是教学中常 做的一件事，它可以使学生的认识得到
“升华”，发展学生的思维，并起到触类旁通、举一反三的效果． ]
师：第(3)小题的解法如下：设这是一个n边形，最大角的度数为a
n
， 则a
n
=


的答案．)如何具体求出n的值呢？我们知道，凸n边形的内角和为(n-2)·180°，



化简得 n
2
－25n＋144=0．
解得 n=9，n=16．
∵n＜13，∴n=16应舍去．
答：这是一个九边形．
[例3] 在等差数列｛a
n
｝中，
(1)已知a
2
＋a
5
＋a
12
＋a
15
=36，求S
1 6
；
(2)已知a
6
=20，求S
11
．
(教师启发学生解决．)
师：先看第(1)小题．写出S
16
的计算公式

与已知条件比较，你发现了什么？
生：根据等差数列的性质，有a
1
＋a16
=a
2
＋a
15
=a
5
＋a
12
=18，所以S
16
=8×18=144．
师：对！(简单小结)这 个题目根据已知等式是不能直接求出a
1
、a
16
和d的，但由
等差 数列的性质可以求出a
1
与a
n
的和．于是这个问题就得到了解决．这样一来 ，公式
(Ⅰ)可写成：

对于第(2)小题，你又发现了什么？
生：因为a
1
与a
11
的等差中项是a
6
，所以


师：正确！这个题与第(1)小题一样，不能直接求出a
1
、a
11
和d，而a
6
恰好是a
1
与
a
11
的等差中项，所以S
11
就可立即求出来了．反之，如果已知S
11< br>的值，也可以求
出a
6
的值，一般地，若已知a
n
的值，就可 以求出S
2n-1
(n∈N)的值来，反过来也行．
请同学们应用这两个小题的知识，自拟一个题目作为本节课的一个练习题．
[自己拟题能巩固和深化所学的知识．]
师：最后，我们再看一个例题：
[例4] 已知两个等差数列前n项和的比为(4n＋3)∶(2n＋5)，求它们相应的第8
项的比．
这是例3(2)的引伸．
师：(板书)设第一个等差数列的前n项和为S
n
，第8项为a
8
；第二个等差数列的
前n项和为Q
n
，第 8项为b
8
，要求出a
8
∶b
8
，怎么办？如何转化为和的 比？

师：完全正确！这个题不仅可以求它们相应的第8项的比，而且可以求它们 相应
的任何一项的比．同学们在复习时可以试试看．
建议同学们仿照例4自拟一题作为本节课的又一个练习题．
教案说明
(1)为了 使学生易于接受和掌握等差数列前n项和的公式的推导过程，本教案把课
本内容作了两个改变．一是把引 入新课时的具体例子由项数为奇数的等差数列改变为项
数为偶数的等差数列；二是利用刚学过不久的等差 数列的性质：a
1
＋a
n
=a
2
＋a
n-1
=…直接
推导S
n
的公式，改变了课本的推导过程．这样改变，可使等差数列求和公 式的推导一气
呵成，便于学生迅速形成有效的认知结构，同时也为正确灵活地运用公式打下良好的基础．
(2)有关公式应用的教学，是分三个层次来完成的．一是直接代公式，让学生迅速< br>熟悉公式；二是通过例2的3个小题，说明公式的具体应用；三是通过例3、例4，训
练学生思维 能力和灵活运用公式的能力．
(3)这节课的内容不难，因此也容易被人们忽视，使这节课的教 学显得平平淡淡.
这份教案试图通过师生共同活动，使学生开始就处于积极思维的状态，给学生掌握Sn
的推导过程并记住公式留下了深刻的印象．对例题的处理也不是千篇一律，有的让学生
口答(例 1)；有的启发学生解决[例2(1)、(2)]；有的教师分析讲解[例2(3)]；有的让
学生“发 现”规律解决(例3、例4)，教师在小结时加以变化和提高，这样有利于他们
思维能力的提高和智力的 发展．