流动资产公式著名机构五升六数学奥数讲义等差数列

等差数列

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授课教师
核心内容
教学目标
重、难点




等差数列
年级
日期


学科
时段
课型


一对一一对N
认识等差数列，认识首项、通项、项数、公差和相应公式，求和公式
等差数列的解答
课首沟通
和学生交谈。了解学生是否接触过等差数列。引起学生好奇心，增强学习兴趣

知识梳理
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项。
最后一项称为末项。
数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前 项之差都相等的数列称为等差数列。
后项与前项的差称为公差。
在这一讲要用到两个非常重要 的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
导学一 ： 求项数
知识点讲解 1：项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

例 1. 有一个数列：4，10，16，22.…，52这个数列共有多少项？



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1. 等差数列中，首项=1、末项=39、公差=2，这个等差数列共有多少项？




2. 有一个等差数列：2、5、8、11、…，101这个等差数列共有多少项？
3. 已知等差数列11、16、21、26、…，1001这个等差数列共有多少项？



导学二 ： 求通项
知识点讲解 1：第n项=首项+（项数－1）×公差

例 1. 有一等差数列：3、7、11、15、……，这个等差数列的第100项是多少？



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1. 一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？




2. 求1、4、7、10……这个等差数列的第30项。




3. 求等差数列2、6、10、14……的第100项



导学三 ： 求数列之和
知识点讲解 1:
如果我们把1、2、3、4、…、99 、100与列100、99、…、3、2、1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…
+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101 相加，所得的和就是所求数列的和的2
倍，再除以2就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。

例 1. 求等差数列2，4，6，…，48，50的和



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1. 2+6+10+14+18+22




2. 5+10+15+20+…+195+200
3. 9+18+27+36+…+261+270



导学四 ： 多个数列求和

例 1. 计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）





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1. （2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）




2. （2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）




3. （1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）



导学五 ： 等差数列解答
知识点讲解 1:
某些问题，可以转化为求 若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列
求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时 可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使
问题得以顺利解决。

例 1. 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页， 第11天读了60页，正好读
完。这本书共有多少页？




例 2. 某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？





例 3. 有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？




例 4. 求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
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1. 刘师傅做一批零件，第一 天做了30个，以后的每天都比前一天多做2个，第15天做了58个，正好做完。这批零件共有
多少个？




2. 胡茜读一本故事书，她第一天读 了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读
完，这本书共有多少页？




3. 丽丽学英语单词 ，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多
少个英语单词？




4. 有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？




5. 有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？




6. 在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师， 每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次
手？




7. 假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？




8. 求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。




9. 求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。




10. 求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。

课后作业

1. 有一串数：1、4、7、10、……求它的第100项




2. 1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183





3. 在小于100的自然数中,被7除余3的数的和是多少?




4. 红光电影院有22排座位，后一排都比前一排多2个 座位，最后一排42个座位。那么这个电影院一共有多少个座位？




5. 小明和小强比赛口算，计算：1+2+3+4+……，当计算到规定的那个加数时，小明的得数是 60，小强的得数是66，老师
说他们两人的得数有一个错了。问：他们谁算错了，错在哪里？




6. 100这个自然数最多能写成多少个不同的自然数的和？




7. 每相邻的3个圆点组成一个小三角形，如图，问图中这样的小三角形个数多还是圆点个数多？

8. 一堆相同的立方体堆积如图，第1层1个，第2层3个，第3层6个，…第10层有多少个？

9. 能不能把44颗花生分给10只猴子，使每只猴子分的花生颗数都不同？
10. 若干 个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒子中。其中只有一个盒子是空的，然后他外出了，
小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒子内，再把盒子重新排了一下，小明回来没有发现有 人动过棋子，
问共有多少个盒子？多少棋子？




11. [单选题] （2012年大联考题） 1000+999-998-997+996+…+104+103-102-101=（
A.225

）
D.4000
）。
D.9
。
B.900 C.1000
12. [单选题] （2013年大联考题） 一列数1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中的第34个数为（
A.6 B.7 C.8

13. （2014年小联考题） 一种新的运算，已2*3=2+3+4=9,4*2=4+5=9,3*4=3+4+5+6=18，则7*6=

14. （2007年大联考题） 电视台要播放一部30集电视连续剧，如果要求每天安排播出的集数互不相等,该电视剧最多可
以播放( )天．

15. [单选题] （2011年中大附模拟试题） 如右图，
A.5 B.10 C.15


图中有（
D.20
块，最多的一份
）条线段。
16. （11届希望杯五年级） 将100块糖分成5份，使每一份的数量依次多2，那么最少的一份有糖
有糖 块。

17. （11届希望杯五年级） 有26个连续的自然数，如果前13个数的和是247，那么，后13个数的和是

18. （第二届卓越杯五年级） 1+3+5+…+99=（ ）
．

19. （第九届希望杯四年级第一试） 计算：1+11+21+…+1991+2001+2011=

20. （第十届希望杯四年级第一试） 小兰将连续偶数2、4、6、8、10、12、14、16、…逐个相加，得结 果2012.验算时
发现漏加了一个数，那么，这个漏加的数是（ ）

21. （第13届希望杯培训题） 2015-2014+2013-2012+…+3-2+1。





22. （第13届希望杯培训题） 5个连续奇数的和是2015，求其中最大的奇数。




23. （第13届希望杯培训题） 一堆木材的最上层有12根，最下层有26根。每相邻两层中下层 比上层多1根，问：这堆木
材有多少根？
24. （第13届希望杯培训题） 若连续8个偶数的和为2008，则这8个偶数中，最小的是多少？




1、完成本堂课的课后作业
2、本堂课中的错题要写到错题本上，下节课会对错题进行练习。

导学一
知识点讲解 1：项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
例题
1.9
解析:项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
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1.20
解析:（39-1）÷2+1=20
2.34
解析:(101-2)÷3+1=34
3.199
解析:(1001-11)÷5+1=199
导学二
知识点讲解 1：第n项=首项+（项数－1）×公差
例题
1.399
解析:3+4×（100－1）=399
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1.21
解析:3+(10-1)×2=21
2.88
解析:1+(30-1)×3=88
3.398
解析:2+(100-1)×4=398
导学三
知识点讲解 1:
例题
1.650.
解析:项数：（50－2）÷2+1=25 总和：（2+50）×25÷2=650.
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1.72
解析:(2+22)×6÷2=72
2.4100
解析:
（200-5）÷5+1=40；（5+200）×40÷2=4100
3.4185
解析:(9+270)×30÷2=4185
导学四
例题
1.50
解析:（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2+100）×50÷2-（1+99）×50÷2
=102×50÷2-100×50÷2
=50
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1.4 解析:(2001-2000)+(1999-1998)+(1997-1996)+(1995-199 4)=4
2.1000
解析:(2+2000)×1000÷2-(1+1999)×1000÷2=1000
3.1000
解析:(1+1999)×1000÷2-(2+1998)×999÷2=1000
导学五
知识点讲解 1:
例题
1.495
解析:根据条件“他每天读的页数都 比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、
……57、 60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=1 1.因此
可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）
2.1275
解析:假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手， 共握了49次，
第三个人握了48次。依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，这样，他们握 手的次数和为：50＋49＋48＋…＋2＋ 1=
（50＋1）×50÷2=1275（次）
3.8
解析:先求28×2=56 ， 再推算56=7×（7+1） ，确定项数 7+1=8
4.900
解析:（9+9）×（100÷2）=900。
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1.660
解析:(30+58)×15÷2=660
2.245
解析:(20+50)×7÷2=245
3.121
4.3160
解析:79+78+……+3+2+1=3160
5.不能
6.1075
解析:4×43+（42+41+……+3+2+1）=1075
7.13
解析:78×2=156 156=12×（12+1）
8.1900
解析:（1+9+9）×（200÷2）=1900
9.13500
解析:（9+9+9）×（1000÷2）=13500
10.43503
解析:（2+9+9+9）×（3000÷2）+3=43503
12+1=13
课后作业
1.298
2.276


解析:


3.679
解析:
4.352
解析:先求项数：（42-22）÷2+1=11，再求和：（22+42）×11÷2=352
5.小明算错
解析:小明是这样算的：（1+11）×10÷2=60.项数是11，他理解为10 。所以算错。
6.13
解析:因为（1+13）×13÷2=91
7.三角形多
解析: 圆点：（1+10）×10÷2=55 三角形：（1+17）×9÷2=81
8.55
解析: 因为第一层是1、第二层是3=1+2、第三层6=1+2+3、…所以发现规律，
第十层：1+2+3+…+9+10=（1+10)×10÷2=55
9.不能
解 析:因为1+2+3+…+10=55，所以44不能分成10个不同的自然数
10.11；55 解析:因为1+2+3+…+9+10=（1+10)×10÷2=55，小光每个盒子拿出一个棋子，就有 10个，放在空盒子里，这样之前的空
盒子变成了装10个的盒子，之前装一个棋子的盒子变成了空盒 子，把顺序排好，所以小明没有发现有人动过棋子。
11.B
解析:1000+999-998-997+996+…+104+103-102-101
=(1000+999-998-997)+(996+…+(104+103-102-101)
=900÷4×4
=900
12.C
解析:因为1出现1次，2出现2 次，3出现3次，以此类推，发现规律，所以1+2+3+4+5+6+7+8=36，第34个数字是8
91+9=100
列举如下：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、22

13.57
解析:因为有规律知道，7开头，6个连续自然数的和，所以7+8+9+10+11+12=57
14.7
解析:1+2+3+4+5+6+9=30 列举如下：1、2、3、4、5、6、9
15.B
解析:指导学生数线段的方法，以A为起 点，有4段，以B为起点有3段，以C为起点有2段，以D为起点有1段，所以
4+3+2+1=10。
16.16、24
解析:100－（2+4+6+8）=80，
17.416 < br>解析:前13个数的和为247，所以后13个数的和是247+（1+3+5+7+9+11+13+1 5+17+19+21+23+25）=416
18.2500
19.203212
解析:（1+2011）×202÷2=203212
20.58
解析:这道题可以用尝试法进行推理，因为（2+90）×45÷2=2070
21.1008
解析:2015-2014+2013-2012+…+3-2+1=（20 15-2014）+（2013-2012）+…+（3-2）+1
=1×1007+1
=1008
22.407
解析:奇数个等差数列，中间数=数列之和÷数列项数， 所以中间数：2015÷5=403，所以最大数：403+4=407
23.285
解析:
24.244
解析:2008－（2+4+6+8+10+12+14）=1952， 1952÷8=244

2070－2012=58
最小：80÷5=16, 最大：16+8=24