根号的计算公式三角函数计算公式大全

三角函数计算公式大全
同角三角函数的基本关系
倒数关系：
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的关系：
sinαcosα=tanα=secαcscα
cosαsinα=cotα=cscαsecα
平方关系：
sin
2
(α)+cos
2
(α)=1
1+tan
2
(α)=sec
2
(α)
1+cot
2
(α)=csc
2
(α)
平常针对不同条件的常用的两个公式
sin
2
(α)+cos
2
(α)=1
tan α *cot α=1
一个特殊公式
（sina+sinθ）*（sina- sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）

证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)2]
cos[(a-θ)2] *2 cos[(θ+a)2] sin[(a-θ)2]
=sin（a+θ）*sin（a-θ）
坡度公式
我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做
坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，
即 i=h l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如
i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作
a(叫做坡角），那么 i=hl=tan a.
锐角三角函数公式
正弦： sin α=∠α的对边∠α 的斜边
余弦：cos α=∠α的邻边∠α的斜边
正切：tan α=∠α的对边∠α的邻边
余切：cot α=∠α的邻边∠α的对边
二倍角公式
正弦
sin2A=2sinA·cosA
余弦
2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)

2a=1-2Sin^2(a)
2a=2Cos^2(a)-1
即cos2a=cos
2
(a) -sin
2
(a)=2cos
2
(a)-1=1-2sin
2
(a)
正切
tan2A=（2tanA）（1-tan
2
(A)）
三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π3+α)sin(π3-α)
cos3α=4cosα·cos(π3+α)cos(π3-α)
tan3a = tan a · tan(π3+a)· tan(π3-a)
三倍角公式推导
sin(3a) =sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina
=3sina-4sin^3a
cos(3a) =cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a=4sina(34-sin²a)

=4sina[(√32)²-sin²a]
=4sina(sin²60°-sin²a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4 sina*2sin[(60+a)2]cos[(60°-a)2]*2sin[(60°-a)2]cos[ (60°
-a)2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos²a-34)
=4cosa[cos²a-(√32)^2]
=4cosa(cos²a-cos²30°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa *2cos[(a+30°)2]cos[(a-30°)2]*{-2sin[(a+30°)2]sin[< br>(a-30°)2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα
tan2α=2tanα(1-tan^2(α))
< br>cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻
视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。包括一
些图像问题和函数问题中
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)=4sinα·sin(π3+α)sin(π3-α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα=4cosα·cos(π3+α)cos(π3-α)
tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)(-1+3*tan(α)^2)=tan
a · tan(π3+a)· tan(π3-a)
半角公式
sin^2(α2)=(1-cosα)2 cos^2(α2)=(1+cosα)2
tan^2(α2)=(1-cosα)(1+cosα)
tan(α2)=sinα(1+cosα)=(1-cosα)sinα
万能公式
sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]
cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]
其他


sinα+sin(α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α+2π*3n)+……+< br>sin[α+2π*(n-1)n]=0
cosα+cos(α+2πn)+cos(α+2π *2n)+cos(α+2π*3n)+…
…+cos[α+2π*(n-1)n]=0
sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0


四倍角公式
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角公式
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*( 5-10*tanA^2+tanA^4)(1-10*tanA^2+5*ta
nA^4)
六倍角公式

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*( 2*sinA-1)*(-3+4*sin
A^2))
cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)(-1+15*tanA^ 2-
15*tanA^4+tanA^6)
七倍角公式
sin7A=-(sin A*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A=(c osA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A= tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)(-1+21
*tan A^2-35*tanA^4+7*tanA^6)
八倍角公式
sin8A=-8*(c osA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sin
A^4+1))
cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*c o
sA^2)
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4 +tanA^6)(1-28
*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^ 8)
九倍角公式

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*( 64*sinA^6-96*sinA^4+36
*sinA^2-3))
cos9A=(c osA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+
36*cosA ^2-3))
tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*t anA^6+tan
A^8)(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6 +9*tanA^8)
十倍角公式
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*s inA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^
2-2*sinA-1)*(-20*sinA^ 2+5+16*sinA^4))
cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cos A^8-512*cosA^6+30
4*cosA^4-48*cosA^2+1))
ta n10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6
+5*tanA^8)(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-4
5*tanA^8+tanA^10)
N倍角公式
根据棣美弗定理，(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ)
为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c 考虑n为正整数的情形：
cos(nθ)+ i sin(nθ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n +
C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ...
+C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 +

C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... =>比较两边的实部与虚部 实
部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 +
C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... i*(虚部)：
i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 +
C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... 对所有的自然数n， 1.
cos(nθ)： 公式中出现的s都是偶次方， 而s^2=1-c^2(平
方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。 2.
sin(nθ)： (1)当n是奇数时： 公式中出现的c都是偶次
方，而c^2=1-s^ 2(平方关系)，因此全部都可以改成以s(也
就是sinθ)表示。 (2)当n是偶数时： 公式中 出现的c
都是奇次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此即使再怎么
换成s，都至少会 剩c(也就是 cosθ)的一次方无法消掉。
(例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2)，c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)
半角公式
tan(A2)=(1-cosA)sinA=sinA(1+cosA);
cot(A2)=sinA(1-cosA)=(1+cosA)sinA.
sin^2(a2)=(1-cos(a))2
cos^2(a2)=(1+cos(a))2
tan(a2)=(1-cos(a))sin(a)=sin(a)(1+cos(a))





和差化积


sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)2] cos[(θ-φ)2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)2] sin[(θ-φ)2]
cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)2] cos[(θ-φ)2]
cosθ- cosφ = -2 sin[(θ+φ)2] sin[(θ-φ)2]

tanA+ tanB=sin(A+B)cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

两角和公式
tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanαtanβ)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
积化和差
sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] 2
cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]2
sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]2
cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]2
双曲函数
sh a = [e^a-e^(-a)]2
ch a = [e^a+e^(-a)]2
th a = sin h(a)cos h(a)
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相
等：
sin（2kπ+α）= sinα

cos（2kπ+α）= cosα
tan（2kπ+α）= tanα
cot（2kπ+α）= cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值
之间的关系：
sin（π+α）= -sinα
cos（π+α）= -cosα
tan（π+α）= tanα
cot（π+α）= cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值
之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα

cot（π-α）= -cotα
公式五：
利用公式- 和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值
之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2+α）= cosα
cos（π2+α）= -sinα
tan（π2+α）= -cotα
cot（π2+α）= -tanα
sin（π2-α）= cosα
cos（π2-α）= sinα
tan（π2-α）= cotα
cot（π2-α）= tanα
sin（3π2+α）= -cosα
cos（3π2+α）= sinα
tan（3π2+α）= -cotα
cot（3π2+α）= -tanα

sin（3π2-α）= -cosα
cos（3π2-α）= -sinα
tan（3π2-α）= cotα
cot（3π2-α）= tanα
(以上k∈Z)
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =
√{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt +
arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }
√表示根号,包括{……}中的内容
三角函数的诱导公式（六公式）
公式一 sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
公式二sin(π2-α) = cosα
cos(π2-α) = sinα
公式三 sin(π2+α) = cosα
cos(π2+α) = -sinα
公式四sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
公式五sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα

公式六tanA= sinAcosA
tan（π2+α）=－cotα
tan（π2－α）=cotα
tan（π－α）=－tanα
tan（π+α）=tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
万能公式
sinα=2tan(α2)[1+(tan(α2))²]
cosα=[1-(tan(α2))²][1+(tan(α2))²]
tanα=2tan(α2)[1-(tan(α2))²]


其它公式


(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式）
(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式，只需将一式,左右同除(sinα)^2，第二
个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形，总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证：
A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时，该关系式也成
立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot( A2)+cot(B2)+cot(C2)=cot(A2)cot(B2)cot(C2)
(7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc(a) = 1sin(a)

sec(a) = 1cos(a)
(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2
幂级数展开式
sin x =
x-x^33!+x^55!-……+(-1)^(k-1)*(x^( 2k-1))(2k-1)!+……。
(-∞ cos x =
1-x^22!+x^44!-……+(-1)k*(x^(2k))(2k)!+…… (-∞ arcsin x = x + 12*x^33 + 1*3(2*4)*x^55
+ ……(|x|<1)
arccos x = π - ( x + 12*x^33 + 1*3(2*4)*x^55
+ …… ) (|x|<1)
arctan x = x - x^33 + x^55 -……(x≤1)
无限公式
sinx=x(1-x^2π^2)(1-x^24π^2)(1-x^29π^2)……
cosx=(1-4x^2π^2)(1-4x^29π^2)(1-4x^225π^2)……

tanx=8x[1(π^2-4x^2)+1(9π^2-4x^2)+1(25π^2-4x^2) +……
]

secx=4π[1(π^2-4x^2)-1(9π^2-4x^ 2)+1(25π^2-4x^2)-+…
…]

(sinx)x=cosx2cosx4cosx8……
(14)tanπ4+(18)tanπ8+(116)tanπ16+……=1π
arctan x = x - x^33 + x^55 -……(x≤1)
和自变量数列求和有关的公式

sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx =[sin(nx2)sin((n+1)x2)]sin(
x2)

cosx +cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x2sin(nx2)]sin
(x2)

tan((n+1)x2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+ sinnx)(cosx+cos2x
+cos3x+……+cosnx)
sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2sinx
cosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)(2sinx)