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公式相声李宏烨两角和与差的正弦余弦正切公式教学设计

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 02:48
tags:正切公式

左手定则-感谢老师的名言


《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计

一、教学分析
1.两 角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究
具有“两角和差” 关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中,教科书都把对照、
比较有关的三角函数式,认清 其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比较
cos(α-β)与cos(α+β),它们 都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换
元的角度看都有内在联系,即α+β=α-( -β)的关系,从而由公式C
(α-β)
推得公式C
(α+β)

又 如比较sin(α-β)与cos(α-β),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函
数名 的互化,利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S
(α-β)
、S
(α+β)
等.
2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导,揭示了两角和、差的三角函数与< br>这两角的三角函数的运算规律,还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本
节内容 也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能
力,发现问题和解决 问题的能力都有着十分重要的意义.
3.本节的几个公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们 之间的内在联系,让学生深
刻领会它们的这种联系,从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目 的是为了训练
学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维习惯
进行引导,例如在面对问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公
式, 使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而
不顾过程表述的正 确性、简捷性等,这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.
二、三维目标
1.知 识与技能:在学习两角差的余弦公式的基础上,通过让学生探索、发现并推导两角和与
差的正弦、余弦、 正切公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公
式的理解,培养学生的运算能力 及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.
2.过程与方法:通过两角和与差的正弦、余弦、正切公 式的运用,会进行简单的求值、化简、
恒等证明,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化 的观点来分析问题,提高
学生分析问题解决问题的能力.
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3.情感态度与 价值观:通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分
析能力,培养学生的应用意 识,提高学生的数学素质.
三、教学重、难点
教学重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.
教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.
四、教学用具
三角板,彩色粉笔,幻灯片
五、教学方法
教法:引导探究,归纳总结
学法:合作讨论,自主学习
六、教学过程
1.导入新课
(问题导入)教 师出示问题,先让学生计算以下几个题目,既可以复习回顾上节所学公式,又
为本节新课作准备.若si nα=,α∈(0,),cosβ=,β∈(0,),求cos(α-
β),cos(α+β)的值.学 生利用公式C
(α-β)
很容易求得cos(α-β),但是如果求cos(α
+β) 的值就得想法转化为公式C
(α-β)
的形式来求,此时思路受阻,从而引出新课题,并由此展开联想探究其他公式.
2.推进新课
提出问题
①还记得两角差的余弦公式吗?请一位同学到黑板上默写出来.
②在公式C
(α-β)
中,角β是任意角,请学生思考角α-β中β换成角-β是否可 以?此时观察
角α+β与α-(-β)之间的联系,如何利用公式C
(α-β)
来推导 cos(α+β)=?
③分析观察C
(α+β)
的结构有何特征?
④在公 式C
(α-β)
、C
(α+β)
的基础上能否推导sin(α+β)=?si n(α-β)=?
⑤公式S
(α-β)
、S
(α+β)
的结构特征如何?
⑥ 对比分析公式C
(α-β)
、C
(α+β)
、S
(α-β)
、S
(α+β)
,能否推导出tan(α-β)=? tan(α+β)=?
⑦分析观察公式T
(α-β)
、T
(α+β)
的结构特征如何?
⑧思考如何灵活运用公式解题?
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活动:对问题①,学生默写完后,教师播 放幻灯片,然后引导学生观察两角差的余弦公式,
点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角,是怎 样任意的?你会有些什么样的奇妙想
法呢?鼓励学生大胆猜想,引导学生比较cos(α-β)与cos (α+β)中角的内在联系,学生
有的会发现α-β中的角β可以变为角-β,所以α-(-β)=α+ β〔也有的会根据加减运算关
系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学 生转移到公式C
(α-β)

来,这样就很自然地得到
cos(α+β)= cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ- sinαsinβ.
所以有如下公式:
cos(α+β)=cosαcosβ
-sinαsinβ
我们称以上等式为两角和的余弦公式,记作C
(α+β)
.
对问题②,教师 引导学生细心观察公式C
(α+β)
的结构特征,可知“两角和的余弦,等于这两
角的 余弦积减去这两角的正弦积”,同时让学生对比公式C
(α-β)
进行记忆,并填空:cos7 5°
=cos(_________)==__________=___________.
对问题③,上面学生推得了两角和与差的余弦公式,教师引导学生观察思考,怎样才能得到
两角和与差 的正弦公式呢?我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢?学生可能有的想到
利用诱导公式⑸⑹来化余 弦为正弦(也有的会想到利用同角的平方和关系式sinα+cosα
=1来互化,此法让学生课下进行 ),因此有
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sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)-β]
=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ.
在上述公式中,β用-β代之,则
si n(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcos β-cosαsinβ.
因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为S
(α+β)、S
(α-β)
.
sin(α+β)=sinαcosβ+cos
αsinβ,
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sin(α-β)=sinαcosβ-cos
αsinβ.
对问题④⑤,教师引导 学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆,同时进一步体会
本节公式的探究过程及公式变化特点 ,体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆,
教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___ ________,sin=_____.
对问题⑥,教师引导学生思考,在我们推出了公式C
(α-β)
、C
(α+β)
、S
(α+β)
、S
(α-β )
后,自然想
到两角和与差的正切公式,怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+ β)=?呢?学生很容易想
到利用同角三角函数关系式,化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到 讨论,这时教
师不要直接提醒,让学生自己悟出来.
当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=
如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得
tan(α+β)=
则有
,据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用- β代之,
tan(α-β)=
由此推得两角和、差的正切公式,简记为T
(α-β)
、T
(α+β)
.
tan(α+β)=
tan(α-β)=
对问题⑥,让学生自己联想思考,两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的
吗? 学生回顾自己的公式探究过程可知,α、β、α±β都不能等于
导学生分析公式结构特征,加深公式记忆 .
+kπ(k∈Z),并引
对问题⑦⑧,教师与学生一起归类总结,我们把前面六个公式分类 比较可得C
(α+β)
、S
(α+β)

T
(α+β)叫和角公式;S
(α-β)
、C
(α-β)
、T
(α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导
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过程,从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个 框图.通过逻辑联系图,深刻理解
它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒 学生注意:不仅要掌
握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形 式
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ =tan(α-β)(1+tanαtan
β),在化简求值中就经常应用到,使解题过程大大简化,也 体现了数学的简洁美.对于两角
和与差的正切公式,当tanα,tanβ或tan(α±β)的值不存 在时,不能使用T
(α±β)

理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如 :化简tan(-β),因为tan的
值不存在,所以改用诱导公式tan(

应用示例
-β)=来处理等.
例1 已知sinα=,α是第四象限角,求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.
活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明
确要求.再思考应该联 系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进行等.例如本
题中,要先求出cosα,tan α的值,才能利用公式得解,本题是直接应用公式解题,目的是
为了让学生初步熟悉公式的应用,教师可 以完全让学生自己独立完成.
解:由sinα=,α是第四象限角,得cosα=.
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∴tanα==.
于是有sin(-α)=sincosα-cossinα=
cos(+α)=coscosα-sinsinα=
tan(α-)===.
点评:本例是运用和差角公式的基础题,安排这个例题的目的是为了训练学生思维
的有序性,逐步培养他 们良好的思维习惯.
变式训练1
1.不查表求cos75°,tan105°的值. 解:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°
=,
tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).
2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )
A. B. C.
D.4
答案:A
例2 已知sinα=
β),tan(α+β).
,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,),求sin(α-β),cos(α+
活 动:教师可先让学生自己探究解决,对探究困难的学生教师给以适当的点拨,指
导学生认真分析题目中已 知条件和所求值的内在联系.根据公式S
(α-β)
、C
(α+β)
、T(α+β)
应先求
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出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值, 然后利用公式求值,但要注意解题中三角函数值的
符号.
解:由sinα=,α∈(,π),得
cosα==-=,∴tanα=.
又由cosβ=,β∈(π,).
sinβ==,
∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
=×()-(.
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()
=
∴tan(α+β)==.
点评:本题仍是直接利用公式计算求值的基础题,其目的 还是让学生熟练掌握公式
的应用,训练学生的运算能力.
变式训练2
引导学生看章头图,利用本节所学公式解答课本章头题,加强学生的应用意识.
解:设电视发射塔高CD=x米,∠CAB=α,则sinα=,
在Rt△ABD中,tan(45°+α)=tanα.
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于是x=,
又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.
tan(45°+α)==3,
∴x=-30=150(米).
答:这座电视发射塔的高度约为150米.
例3 在△ABC中,sinA=(0° 活动:本题是解 三角形问题,在必修5中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角
函数诱导公式与和差公式有关的问题, 难度不大,但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加
强学生的应用意识,提高学生分析问题和解决问题的 能力.教师可让学生自己阅读、探究、
讨论解决,对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各 角之间的内在联系,从而
找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.
解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).
又∵sinA=且0°又∵cosB=且45°∴sinC=sin[180°-( A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=×+×=,
cosC=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB- cosAcosB
=×-×=.
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点评:本题是利用两角和差公 式,来解决三角形问题的典型例子,培养了学生的应
用意识,也使学生更加认识了公式的作用,解决三角 形问题时,要注意三角形内角和等于
180°这一暗含条件.
变式训练3
在△ABC中,已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰非
直角三角形
答案:C
七、课堂小结
1.学生提纲契领:学生 回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法,有哪些收获与提高,
在公式推导中你悟出了什么样的数学 思想?对于这六个公式应如何对比记忆?其中正切公
式的应用有什么条件限制?怎样用公式进行简单三角 函数式的化简、求值与恒等式证明。
2.教师画龙点睛:我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、 余弦、正切公式及其推导,
要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系, 领悟变换思路,
强化数学思想方法。
八、布置作业
课本课后习题A组:3题,4题,B组:1题
补充:已知0<β<
九、板书设计
,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的余弦公式 例1 变式训练1

两角和与差的正弦公式 例2 变式训练2

两角和与差的正切公式 例3 变式训练3

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