弧形面积公式是什么半角的正弦,余弦,正切

,.
两角和与差的三角函数，解斜三角形·半角的正弦、余弦、正切

教学目标
1．使学生掌握半角的正弦、余弦和正切的公式内容及推导方法．
2．初步掌握公式的应用，能用联系的观点理解各公式，培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．提高学生思维的严谨性．
教学重点与难点
教学重点是半角公式的推导过程．
教学难点是对公式的分析和理解．
教学过程设计
一、新课引入
师：这节课我们研究一组新的三角变换的工具——半角公式．什么

表示．
（尽快揭示课题，引导学生的思维尽快进入问题情境．）
板书：半角的正弦、余弦和正切
二、学习新课
1．公式的推导．


师：表示式中除有α角三角函数外，还有其它角的三角函数，能否只用α角的三角函数来表示？

,.
师：以上两位同学的推导，虽然未能完成，但在思路上有一定的价


（对倍角公式的换元处理，体现了对“倍”的相对性的认识）
师：好．这一点很重要，这个等式正是我们所需要的，能否继续完成这种推导？

师：解释一下这里“±”号的含义，是正与负两个都要吗？


这就是半角的正弦公式，我们把它记下来．




,.

师：这里又出现了“±”号，请举例说明这里“±”号的含义．

选负号．
师：也就是说这里“±”号选取方法与前面公式选取方法是相同的，这就是半角的余弦公式．

师：半角的正切公式该怎样来推导呢？


里的“±”号需稍加解释，由于分子、分母都是“±”号，能否把“±”号约掉？
生：不能．
师：怎么理解结果中的“±”号呢？
生：应是分子，分母的“±”号搭配的结果．具体地说， 共有四种情况：当分子，分母取同号时，结果为
正；当分子，分母取异号时，结果为负．
师：也就是说这里的“±”号由分子，分母符号的选取共同决定的，

这就是半角的正切公式．

,.
师：公式（3）从形式上似乎还有化简的 余地，可以使它变得更简单，更便于使用．找一个同学试对公式
（3）进行化简．
生：分子、分母同时乘以1+cosα，即

师：能乘1+cosα吗？
生：可以．因为在公式（3）中1+cosα在分母位置上，可以保证其不为零．
师：1+cosα开出根号，能保证它一定为正吗？
生：由-1≤cosα≤1及1+cosα≠0可以保证1+cosα一定为正．
师：从形式上看化简结果并不理想，如果没有“±”号和绝对值就好了，这样做行吗？
（对这个问题的解决，有一定难度，可以让学生讨论，研究一下，最终由老师加以解释．）

是等价的．简单分析如下，|sinα|去掉绝对值需看sinα的符号，“±”




师：对于公式（3）化简的方法应当是不唯一的，能否有其它的化简方法呢？
,.

师：这个化简过程与刚才的很类似，而且“±”号和绝对值的处理

的正切公式的第三种形式记录下来．


取相应的推导方法．）
师：到此完成了半角公式的全部推导过程．回顾公式的推导，发现半角的正余弦公式推导是借助了倍角公
式来完成的，说明倍角与半角公式是密切联系的，我们正是利用这种关系，应用方程思想得到了半角公式．
（给短暂的停顿，让学生从整体上记忆这组公式．）
师：下面对这组公式作初步理解与记忆．
2．公式的初步理解与记忆．
师：先明确何时能用这些公式，即公式成立的条件是什么呢？先看公式（1）、（2）．
（板书（1）公式成立的条件）
生：公式（1）、（2）成立的条件是α∈R．
（把条件同时板书在各公式的后面．）
师：再看公式（3）和（4）．


师：再看看公式（5）的条件．
,.

k∈Z，即α≠kπ（k∈Z）．
师：公式（4）和公式（5）都是由（3）推出的，为什么成立的条件不同呢？
生：因为同乘 1-cosα时不能保证它一定不为零，为保证变形的等价性，需添加上这个条件，即要求α≠2k
π， k∈Z，故增加了公式的使用条件，这与（4）有所不同．
师：了解它们成立的条件，在使用时请稍加注意．
（板书（2）公式的恒等性）
师：这五个公式均为三角恒等式．恒等的含义具体指什么？
生：公式中的α角可以取任意角．
师：准确地说，应当是在公式成立范围内的任意角均使公式成立，即公式具备恒等性．
正因为 α是任意的，故公式中角可以有多种表示方法，如果用换元思想去认识公式中的角，左式中角可以
用α， 那么右式中角则应换为……
生：（共答）2α．




指左式中的角是右式中角的一半．自然，这种相对性还可以理解为右式中的角又是左式中角的2倍，这就
是倍的相对性．从这个角度上又一次揭示了倍与半之间的密切联系，它们的实质是相同的，只是研究的角度不< br>同罢了．
（板书（3）“半”的相对性）
,.
下面我们简单谈一下公式的记忆．
（公式的记忆固然需要在理解的基础上去记忆，但有时一些技巧对公式记忆也很有帮助．）
师 ：公式（4）和（5）虽然形式简单，但很容易相互混淆．但仔细观察能发现（3），（4），（5）三个公式< br>中出现了三个因式1+cosα，1-cosα和sinα，而1+cosα若出现一定会在分母上，1- cosα若出现则一定在分
子上，（4）和（5）两个公式，一旦分子或分母确定了，另一个位置上一定 是sinα．
通过这种方法，从公式中的联系出发，找到了记忆的方法，但是最好的记忆方法还是在公 式使用时去熟练
记忆．
（板书）
3．公式的应用．
先一起看一组小题．
（板书）


师：打算用什么公式来求值？
生：用半角公式．
师：为什么用半角公式？

计算最方便．
（有些学生想利用倍角公式来求 值，此时应提醒学生这样做没有错，只不过又推了一次半角公式，而不是
直接用公式，所以要注意倍、半 公式的选择．）
师：用半角公式，仅有cosα值够不够？

,.
师：现在这两个条件都具备，找个同学具体计算一下．




（板书）

（3）α是第三象限角．
师：对（2）和（3）只要求指出各值的符号即可．



师：对于这组题的计算还有什么问题吗？
,.

第三象限角，为什么（1）只有一组解，而（3）却有两组解呢？
师：问题提得好．有哪位同学能帮忙解决吗？
生：（1）中α角是区间角，是第三象限角中很小的一部分，

师：好．区间角和象限角是不同的两个概念，在解题时注意加以区分．
师：这节课主要对半角 公式进行了推导，并做了初步的理解与应用．在整个过程中有几点启示，需引起我
们注意：
（1）在公式推导中发现，倍角和半角是紧密相联的，它们是同一种关系的不同表现形式．
（ 2）具体推导时，就是利用方程的思想和联系的观点得到半角的五个公式，同时我们也应能利用联系的
观 点把握其余各组公式间的联系．
（3）在正确记忆公式的同时，应注意公式在表达形式上存在着正负号的选择问题．
至于对公式进一步的综合应用将在下节课继续研究．
作业：课本P224第1，2，3题．
课堂教学设计说明
1．这节课是一节典型的公式课，传统的教学方法往往是以最快速度给出公 式，然后展开大规模的练习，
这样教学的结果会让学生只会死套公式，而不能灵活运用公式并合理选择公 式．因此本节课采用启发式教学，
让学生对公式的内容、推导进行独立思考、探索，使学生充分吸取公式 推导中的营养成分．
,.

2．对于半角第一个公式的推导是整套公式推导的起点 ，为充分引导学生思考，拓展思路，我事先做了多
种方案的准备，其中有这样一条思

略或被轻易否定了．其实这条路也是很有价值的一种推导思路，下面简




在这里又出现了“±”号和绝对值并存的现象，需进一步化简，当cosα≥0时，|cos α|=cosα，此时α在第
Ⅰ或第Ⅳ象限或y轴上，则




当cosα＜0时，|cosα|=-cosα，此时α是第Ⅱ或第Ⅲ象限角，此

,.




后面几个公式推导略．
在这个推 导过程中，同样用到方程思想，数形结合思想以及很多三角函数的旧知识，也是很有价值，值得
向学生推 荐的推导方法．