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计算考勤公式高考数学(理科)一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习型教学案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 02:57
tags:正切公式

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高考数学(理科)一轮复习两角和与差
的正弦、余弦和正切公式学案
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学案21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
导学目标:1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公
式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公
式.3.能利用两角差的余弦公式导出两 角和的正弦、余弦、
正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用.
自主梳理
.两角和与差的余弦
cos=
____________________ _________________________,
cos=
_________ ____________________________________.
两角和与差的正弦
sin=
___________________________ __________________,
sin=
________________ _____________________________.
两角和与差的正切

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tan=
___________________________ __________________,
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tan=
_____ ________________________________________.
其变形为:
tanα+tanβ=tan,
tanα-tanβ=tan.
2.辅助角公式
asinα+bcosα=a2+b2sin,
其中cosφ= ,sinφ= ,tanφ=ba,角φ称
为辅助角.
自我检测
.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于
A.12
B.33
c.22
D.32
2.已知cosα-π6+sinα=435,则sinα+7π6的
值是

A.-235
B.235
c.-45
D.45
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3.函数f=sin2x-cos2x的最小正周期是

A.π2
B.π
c.2π
D.4π
4.设0≤α<2π,若sinα>3cosα,则α的取
值范围是
A.π3,π2
B.π3,π
c.π3,4π3
D.π3,3π2
5.已知向量a=,向量b=,则|a+b|的最大值为
A.1
B.3
c.3
D.9
探究点一 给角求值问题
例1 求值:
[2sin50°+sin10°]2sin280°;
sin+cos-3•cos.
变式迁移1 求值:2cos10°-sin20°sin70°;
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tan+tan+3tantan.
探究点二 给值求值问题
例2 已知0<β<π4<α<3π4,cosπ4-
α=35,
sin3π4+β=513,求sin的值.
变式迁移2 已知tanπ4+α=2,tanβ=12.
求tanα的值;
求sin= 480;α+β-2sinαcosβ2sinα
sinβ+cos α+β的值.
探究点三 给值求角问题
例3 已知0<α<π2<β<π,tanα2=12,
cos=210.
求sinα的值; 求β的值.
变式迁移3 若sinA=55,sinB=1010,且A、B均为
钝角,求A+B的值.
转化与化归思想的应用
例 已知向量a=,b=,|a-b|=255.
求cos的值;
若-π2<β<0<α<π2,且sinβ=-513,
求sinα的值.
【答题模板】
解 ∵|a-b|=255,∴a2-2a•b+b2=45.[2分]
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又∵a=,b=,∴a2=b2=1,
a•b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos,[4分]
故cos=a2+b2-452=2-452=35.[6分]
∵-π2<β<0& lt;α<π2,∴0<α-β
<π.∵cos=35,∴sin=45.[8分]
又∵sinβ=-513,-π2<β<0,∴cosβ=
1213.[9分]
故sinα=sin[+β]=sincosβ+cossinβ
=45×1213+35×-513=3365.[12分]
【突破思维障碍】
本 题是三角函数问题与向量的综合题,唯一一个等式条
件|a-b|=255,必须从这个等式出发,利用 向量知识化简
再结合两角差的余弦公式可求第问,在第问中需要把未知角
向已知角转化再利用角 的范围来求,即将α变为+β.
【易错点剖析】
|a-b|平方逆用及两角差的余 弦公式是易错点,把未知
角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易
错点.
.转化思想是实施三角变换的主导思想,变换包括:函
数名称变换,角的变换,“1”的变 换,和积变换,幂的升降
变换等等.
2.变换则必须熟悉公式.分清和掌握哪些公式会实现
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哪种变换,也要掌握各个公式的相互联系和适用条件.
3.恒等变形前需已知式中角的差异,函数名称的差异,
运算结构的差异,寻求联系,实现转化.
4.基本技巧:切割化弦,异名化同,异角化同或尽量
减少名称、角数,化为同次幂,化为 比例式,化为常数.
一、选择题
.已知sinα+π3+sinα=-435,则cosα+2π3等

A.-45
B.-35
c.35
D.45
2.已知cosα+π6-sinα=233,则sinα-7π6的
值是

A.-233
B.233
c.-23
D.23
3.已知向量a=sinα+π6,1,b=,若a⊥b,则sin
α+4π3等于

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A.-34
B.-14
c.34
D.14
4.函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴方程是

A.x=5π4
B.x=3π4
c.x=-π4
D.x=-π2
5.在△ABc中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,
则c的大小为
A.π6
B.56π
c.π6或56π
D.π3或23π
题号
2
3
4
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5
答案
二、填空题
6.如图,
图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线c,
各段弧所 在的圆经过同一点P且半径相等.设第i段弧所对
的圆心角为αi,则cosα13cosα2+α33 -
sinα13•sinα2+α33=________.
7.设sinα=35π2<α<π,tan=12,则tan=
________.
8.已知tanα、tanβ是方程x2+33x+4=0的两根,
且α、β∈-π2,π 2,则tan=__________,α+β的值
为________.
三、解答题
9.已知α∈0,π2,β∈π2,π且sin=3365,cos
β=-513.求sinα;
已知α,β∈,且tan=12,tanβ=-17,求2α-β
的值.
0.①证明两角和的余弦公式c:cos=cosαcosβ-
sinαsinβ;②由c推导两角和的正弦公式S:sin=sin
αcosβ+cosαsinβ.
(2)已知△ABc的面积S=,AB→•Ac→=3,且
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cosB=35,求cosc.
1.设函数f=a•b,其中向量a=,b=,x∈R.
若函数f=1-3,且x∈-π3,π3,求x;
求函数y=f的单调增区间,并在给出的坐标系中画出y
=f在区间[0,π]上的图象.

答案
自主梳理
.cosαcosβ-sinαsinβ cosαcosβ+sinαsinβ
sinαcosβ+cosαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ
tanα+tanβ1-tanαtanβ tanα-tanβ1+tanα
tanβ 2+b2 ba2+b2
自我检测
.A 2.c 3.B 4.c 5.c
课堂活动区
例1 解题导引 在三角函数求值的问题中,要注意“三
看”口诀,即看角,把角尽量向特殊角或可计算的角转化,
合理拆角,化异为同;看名称,把算式尽量化成同一名称或
相近的名称,例如把所有的切都转化为弦, 或把所有的弦都
转化为切;看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果
满足则直接使用,如 果不满足需转化一下角或转换一下名
称,就可以使用.
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解 原式
=2sin50°+sin10°•1+3sin10°co s10°
•2sin80°
=2sin50°+sin10°• ;cos10°+3sin10°
cos10°•2sin80°
=2si n50°+2sin10°•12cos10°+32sin10°
cos10°R 26;2cos10°
=2sin50°+2sin10°sin40°cos10°
•2cos10°
=2sin60°cos10°•2cos10°=22sin60°
=22×32=6.
原式=sin[+30°]+cos-3•cos[-30°]
=32sin+12cos+cos-32cos-32sin=0.
变式迁移1 解 原式=2cos30°-20°
-sin20°sin70°
=3cos20°+sin20°-sin20°sin70°=3cos20°
sin70°=3.
原式=tan[+][1-tan•tan]+3tantan=3.
例2 解题导引 对于给值求值问题,即由给出的某些
角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值, 关键在于
“变角”,使“所求角”变为“已知角”,若角所在象限没有
确定,则应分类讨论.应 注意公式的灵活运用,掌握其结构
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特征,还要学会拆角、拼角等技巧.
解 cosπ4-α=sinπ4+α=35,
∵0<β<π4<α<3π4,
∴π2<π4+α<π,3π4<3π4+β<π.
∴cosπ4+α=-1-sin2π4+α=-45,
cos3π4+β=-1-sin23π4+β=-1213.
∴sin[π+]=sinπ4+α+3π4+β
=sinπ4+αcos3π4+β+cosπ4+αsin3π4+β
=35×-1213-45×513=-5665.
∴sin=5665.
变式迁移2 解 由tanπ4+α=2,得1+tanα1-tan
α=2,
即1+tanα=2-2tanα,∴tanα=13.
sinα+β= 481;-2sinαcosβ2sinαsin
β+cosα+β
=sinαcosβ+cosαsinβ-2sinαcosβ2sinαsin
β+co sαcosβ-sinαsinβ
=-sinαcosβ-cosαsinβ& #61481;cosα
cosβ+sinαsinβ=-sinα-β
&# 61481;cosα-β
=-tan=-tanα-tanβ1+tanαtanβ
=-13-121+13×12=17.
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例3 解题导引 通过求角的某种三角函数值来求角,
在选取函数时,遵循以下原则:
①已知正切函数值,选正切函数;
②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范
围是0,π2,选正、余弦皆可;若角的范围是,选余弦较好;
若角的范围为-π2,π2,选正弦较好 .
解这类问题的一般步骤:
①求角的某一个三角函数值;
②确定角的范围;
③根据角的范围写出所求的角.
解 ∵tanα2=12,
∴sinα=sin2•α2=2sinα2cosα2
=2sinα 2cosα2sin2α2+cos2α2=2tanα21+tan2
α2=2×121+122=4 5.
∵0<α<π2,sinα=45,∴cosα=35.
又0<α<π2<β<π,∴0<β-α<
π.
由cos=210,得sin=7210.
∴sinβ=sin[+α]
=sincosα+cossinα
=7210×35+210×45=25250=22.
由π2<β<π得β=34π.
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变式迁移3 解 ∵A、B均为钝角且sinA=55,sinB
=1010,
∴cosA=-1-sin2A=-25=-255,
cosB=-1-sin2B=-310=-31010.
∴cos=cosAcosB-sinAsinB
=-255×-31010-55×1010=22.①
又∵π2<A<π,π2<B<π,
∴π<A+B<2π.②
由①②,知A+B=7π4.
课后练习区
.D 2.D 3.B 4.A 5.A
6.-12 7.-211 8.3 -23π
9.解 ∵β∈π2,π,cosβ=-513,
∴sinβ=
1213.……………………………………………………………
……………
又∵0<α<π2,π2<β<π,
∴π2<α+β<3π2,又sin=3365,
∴cos=-1-sin2α+β
=-1-33652=-
5665,…………………………………………………………
∴sinα=sin[-β]
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=sincosβ-cossinβ
=3365•-513--5665̶ 6;1213=
35.…………………………………………………………
∵tanα=tan[+β]
=tanα-β+tanβ1- tan
α-βtanβ=12-171+12×17=
13 ,……………………………………………………
∴tan=tan[α+]
=ta nα+tanα-β1-tanα
tanα-β& #61481;=13+121-13×12=
1.……………………………………………………
∵α,β∈,tanα=13<1,tanβ=-17<0,
∴0<α<π4,π2<β<π,
∴-π<2α-β<0 ,∴2α-β=-3π
4.……………………………………………………
0.
①证明 如图,在直角坐标系xoy内作单位圆o,并作
出角α、β与-β,使角α的始边为ox,交⊙ o于点P1,终
边交⊙o于点P2;角β的始边为oP2,终边交⊙o于点P3;
角-β的始边 为oP1,终边交⊙o于点P4.
则P1,P2,P3,sin),P4,sin),
……………………………………………………………
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……………………………
由|P1P3|=|P2P4|及两点间的距离公式,
得[cos-1]2+sin2
=[cos-cosα]2+[sin-sinα]2,
展开并整理得:
2-2cos=2-2,
∴cos=cosαcosβ-sinαsin
β.……………………………………………………
②解 由①易得,cosπ2-α=sinα,
sinπ2-α=cosα.
sin=cosπ2-α+β
=cosπ2-α+-β
=cosπ2-αcos-sinπ2-αsin
=sinαcosβ+cosαsinβ.
∴sin=sinαcosβ+cosαsin
β.……………………………………………………
解 由题意,设△ABc的角B、c的对边分别为b、c.
则S=12bcsinA=12,
AB→•Ac→=bccosA=3>0,
∴A∈0,π2,cosA=
3sinA,…………………………………………………………

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又sin2A+cos2A=1,
∴sinA=1010,cosA=31010,
由cosB=35,得sinB=45.
∴cos=cosAcosB-sinAsinB=1010.
……………………………………………………………
………………………………
故cosc=cos[π-]=-cos=-1010.
……………………………………………………………
………………………………
1.解 依题设得f=2cos2x+3sin2x
=1+cos2x+3sin2x=2sin2x+π6+1.
由2sin2x+π6+1=1-3,
得sin2x+π6=-
32.………………………………………………………………
……
∵-π3≤x≤π3,∴-π2≤2x+π6≤5π6.
∴2x+π6=-π3,即x=-π
4.………………………………………………………………
-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,
即-π3+kπ≤x≤π6+kπ,
得函数单调增区间为-π3+kπ,π6+k
π.……………………………………
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列表:
x
0
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
y
2
3
2
0
-1
0
2
描点连线,得函数图象如图所示:
……………………………………………………………
……………………………


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