一元二次方程公式法的公式两角和与差的余弦公式教学设计

《两角和与差的余弦公式》教学设计
一、教材地位和作用分析：

两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱
导公式等知识的延伸，是后 继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识
基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数 式的化简、求值等三角问题
的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与 差
的余弦公式以及诱导公式。
二、教学目标：
1、知识目标：
①、

②、

③、

题。

2、能力目标：

①、培养学生逆向思维的意识和习惯；

②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；

③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3、情感目标：



①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；



②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。

使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；



使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；

使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问
三、教学重点和难点：

教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。
教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。
四、教学方法：

创设情境 有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现
形式是探索尝试，探索尝试是思维 活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维
活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适 当的引导并不一定会降低学生
1
思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的
和谐统一。
由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试---- 启发
引导----解决问题。
学法指导：

1、要求学生做好正弦线 、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的
余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的 知识准备。(体现学习过程中循序渐进，
温故知新的认知规律。)

2、让学生注意观 察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序
关系，培养学生的观察能力，并通过观察 体会公式的对称美。
五、教学过程



课

教 学 程 序

让学生先讨论“cos（45+30）=cos45+cos30
0000
设 计 意 图

通过创设问题情境，
自然流畅地

是否成立”。（学生可能通过 计算器、量余弦线的长
提出问题，揭示课
题
度、特殊角三角函数值和余弦函数的值域三 种途径
题，引发学生

引
0000
解决问题）。得出cos（45+30）≠cos45

+cos30。
入
思考。使学生目标明
进而得出cos（α+β）≠cosα+cos β这个结论。
确、迅速进

入角色。

此时再次提出那么cos（α+β）又等于什么呢

这正是我们今天要研究的内容。

揭示课题：两角和与差的余弦。

复
习
1、画出一个锐角、一个钝角的正弦线、余弦线。

2、如果角 α的终边与单位圆相交于点P，点P
通过复习使学生熟
悉基础知识、特别是用角
的正、 余弦表示特殊点的
坐标，为新课的推进做准
备。

提
的坐标能否用角α的三角函数值表示怎样表示

问
3、写出同一坐标轴上两点间距离公式。

在解决上面的问题之前，我们先 来解决“平面
引
内两点间距离的求法”这一问题。通过上面的复
入
习，我们已 经熟悉了同一坐标轴上两点间距离公
新
式。那么，平面内两点间距离与坐标有什么样的关
课
系呢（通过特殊的例子让学生体会平面内两点间距
让学生通过特殊
值在转化到一般 情
况，符合学生的认知
规律。
2
离和同一坐标轴上两点间距离的关系。）

3
1、分析：设P
1< br>（x
1
，
y
1
），P
2
（x
2，
y
2
）则有：1、通过几何画板动
M
1
（x
1
，
0），M
2
（x
2
，
0）,N
1
（0
，
y
1
），N
2
（0
，
y
2
）。

态演示，给学生以直观感
通过演示课件提出问题：P
1
P
2

的长度与什么有关
根据图写出M
1
M
2
和N
1< br>N
2
。

P
1
Q= M
1
M
2
=│x
2
-x
1
│

QP
2
= N
1
N
2
=│y
2
-y
1
│

根据勾股定理写出
22222
受，让他们认识到：平面
内两点间距离和同一 坐
标轴上两点间距离总能
构成一个直角三角形，利
用勾股定理即可解决。


2、两角和余弦公式
的证明中存在困难：三角
函数表示单位圆上点的
坐标，它虽然算理简单，
P
1
P
2
=P
1
Q+Q P
2
=(x
2
-x
1
)
+(y
2
-y
1
)

由此得平面内P
1
（x
1
，< br>y
1
）、P
2
（x
2
，
y
2
）两点间
的距离公式:

P
1
P
2
= ( x
2
-x
1
)+(y
2
-y
1
)

22
但学生由于陌生而很不
习惯，通过前面习环节应
该有所熟悉。3、两角和
2、在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角
α,α+β和-β。它们的终边分别交单位圆于P
2
、
P
3
和P
4
点，单位圆与X轴交于P
1
。则： P
1
(1,0)、 的余弦学完之后，要强调
P
2
（cosα，sinα）、P
3
（cos（α+β），sin（α+β）

其中两角均为任意角，这
P
4
(cosβ,-sinβ)
根据︱P
1
P
4
︱=︱P
2
P
3
︱即可得到
cos（α+β）= cosαcosβ- sinαsinβ
教
用-β代替β得cos（α-β）的公式。
样一来，两角差的余弦只
是两角和的余弦的特殊
形式。






注意公式的结构特征。





学


例1、
求cos15°及cos105°的值．

例1的作用一方面
让学生熟练两角和与差
的余弦公式，另一方面也
向学生展示了公式的一
种实际应用价 值，即：将
非特殊角转化为特殊角
的和与差。



分析：本题关键是将15°角分成45°与30°


的差或者分解成60° 与45°的差，再利用两角差
的余弦公式即可求解．对于cos105°，可进行类似
过
地处理，cos105°＝cos（60°＋45°）．





程








4


例2利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导
公式：
π
（1） cos( -α)=sinα
2
π
（2） sin( -α)=cosα
2

例
2的
目的
在于
熟悉公
式，
同时
例3 已知sinα＝
＝－
的值．
，α∈ （，π），cosβ
对同
角三
，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）
角 函
数关
分析：观察公式C
α＋β
与本题已知条件应先计算
出cosα ，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ
的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意< br>α，β的取值范围来求解．
课堂练习：
1. （1）求sin75°的值．
（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°
的值．
系有< br>复习
的作
用，
其难
度不
是很
大，
在提
供了
2. （1）求证：cos（－α） ＝sinα．
公式
之
（2）已知sinθ＝
求cos（θ－）的值．
，且θ为第 二象限角，
后，
学生
应当
能够
（3）已知sin（30°＋α）＝< br>＜150°，求cosα．

，60°＜α
完
成.

5
本节课我们学习了下面两组公式，在公
式的记忆上，我们应注意函数和符号的变化。
小






结
小节以十四字 口诀
概括两角和与差的三角
函数关系式，既体现了公
式的本质特征，又朗朗上

两角和与差的余弦：
口，便于记忆。有助于学
（同名之积相加减，运算符号左右反。）
生对本节课的内容更好
地掌握。

cos（α+β）= cosα cosβ- sinα sinβ

cos（α-β）= cosα cosβ+ sinα sinβ
1、课堂练习（P
38
）

①、第2题（3）、（4）。

②、第3题（2）、（3）。

8、 课堂练习有助于
学生进一步熟悉公式，加
深学生对公式的理解和
认识。回馈教学效果。 思
考题对学生本节课所学
知识方法的考察要求较
高，但能力较强学生能够
完成 ，也是为下一节课的
内容做准备。体现问题必
须略高于学生现有知识
水平的原则。
练
习
巩
固

2、课后作业P
40

习题第2 、 3、(2)、(3)

3、思考题：

试运用今天所学知识和方法证明：

sin（ α+β）= sinα cosβ+cosα sinβ

sin（ α-β）= sinα cosβ-cosα sinβ


六、板书设计
两角和与差的余弦
公式 推导


例2
例1 例3

6