量差公式成人高考专升本——三角函数定义式

三角函数定义式


锐角三角函数 任意角三角函数
图形
直角三角形
三角函数
任意角
正弦（sin）


余弦（cos）


正切（tan或tg）


余切（cot或ctg）


正割（sec）

余割（csc）



函数关系
倒数关系：①
②
③
；

；
商数关系：① ；
②
平方关系：①
．
；
②
③
；
．
诱导公式
公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

公式二：设 为任意角， 与 的三角函数值之间的关系：

公式三：任意角 与 的三角函数值之间的关系：

公式四： 与 的三角函数值之间的关系：

公式五： 与 的三角函数值之间的关系：

公式六： 及 与 的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
[2]

．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，
正弦变余弦，余弦变正弦，正 切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：
k×π2±a(k∈z)的三角函数值．( 1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把
α看作锐角时原三角函数值的符号；
(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的
符号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：


记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．

以诱导公式二为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦< br>函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三
象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．
以诱导公式四为例：


若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在
第 二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．
诱导公式的应用：
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：


特别提醒：三角函数化简 与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式
的灵活运用；③三角函数化简的 要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求
值最好。
基本公式
和差角公式
二角和差公式


证明如图：负号的情况只需要用- β代替β即可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过程与
tan(α+β)相同．
证明正切的和差角公式

证明正弦、余弦的和差角公式

三角和公式

和差化积公式

口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．
积化和差公式




倍角公式
二倍角公式

三倍角公式





证明：

sin3a=sin(a+2a)
=sin^2a·cosa+cos^2a·sina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a

cos3a=cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(34-sin^2a)
=4sina[(√32)-sina][(√32)+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2s in[(60+a)2]cos[(60°-a)2]*2sin[(60°-a)2]cos[60°+a)2 ]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-34)
=4cosa[cos^2a-(√32)^2]
=4cosa(cosa- cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)2]cos[ (a-30°)2]*{-2sin[(a+30°)2]sin[(a-30°)2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得：

tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)

四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]
cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)
tan4a=(4*tana-4*tana^3)(1-6*tana^2+tana^4)

五倍角公式




n倍角公式
应用欧拉公式：

.
上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：


所以

其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而

所以
n倍角的三角函数

半角公式

（正负由 所在的象限决定）
万能公式

辅助角公式

．
证明：由于 ，显然 ，且

故有：

其他公式
正弦定理
在任意△ABC 中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有
[3]

：

正弦定理变形可得：

余弦定理
余弦定理

对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC，有：
也可表示为：