乖离率公式高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4_5三角恒等变形第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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第四章 三角函数、解三角形 4.5 三角恒等变形 第1课时 两角和与
差的正弦、余弦和正切公式试题 理 北师大版
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(
α
－
β
)＝cos
α
cos
β
＋sin
α
sin
β
，(C
α
－
β
)
cos(
α
＋
β
)＝cos
α
cos
β
－sin
α
sin
β
，(C
α
＋
β
)
sin(
α
－
β
)＝sin
α
cos
β
－cos
α
sin
β
，(S
α
－
β
)
sin(
α
＋
β
)＝sin
α
cos
β
＋cos
α
sin
β
，(S
α
＋
β
)
tan
α
－tan
β
tan(
α
－
β
)＝，( T
α
－
β
)
1＋tan
α
tan
β
tan
α
＋tan
β
tan(
α
＋
β
)＝.(T
α
＋
β
)
1－tan
α
tan
β
2．二倍角公式
sin 2
α
＝2sin
α
cos
α
；(S
2
α
)
cos 2
α
＝cos
α
－sin
α
＝2cos
α
－1＝1－2sin
α
；(C
2
α
)
2tan
α
tan 2
α
＝.(T
2
α
)
2
1－tan
α
【知识拓展】
1＋cos 2
α
1－cos 2
α
22
1．降幂公式：cos
α
＝，sin
α
＝.
22
2．升幂公式：1＋cos 2
α
＝2cos
α
，1－cos 2
α
＝2sin
α
.
3．辅助角公式：
a
sin
x
＋
b
cos
x
＝
a
＋
bsin(
x
＋
φ
)，其中sin
φ
＝
22< br>22
2222
b
a
2
＋
b
2
，co s
φ
＝
a
a
2
＋
b
2
.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在 实数
α
，
β
，使等式sin(
α
＋
β
)＝ sin
α
＋sin
β
成立．( √ )
(2)在锐角△
ABC
中，sin
A
sin
B
和cos
A
cos
B
大小不确定．( × )
(3)若
α
＋
β
＝45°，则tan
α
＋tan
β
＝1－tan
α
tan
β
.( √ )
(4)对任意角
α
都有1＋sin
α
＝(sin ＋cos ).( √ )
22
(5)
y
＝3sin
x
＋4cos
x
的最大值是7.( × )
(6)在非直角三角形中，tan
A
＋tan
B
＋tan
C
＝tan
A
tan
B
tan
C
．( √ )
1．(教材改编)sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是( )
αα
2
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2

2
3

2
1
B.
2
D．－
2

2
A.
C.
答案 A
解析 sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°＝sin(18°＋27°)
＝sin 45°＝
2
.
2
cos 40°
2．化简等于( )
cos 25°1－sin 40°
A．1 B.3 C.2 D．2
答案 C
cos 40°
解析 原式＝
cos 25°1－cos 50°
＝
cos 40°
＝＝2.
cos 25°·2sin 25°2
sin 50°
2
cos 40°
sin
α
＋cos
α
1
3．若＝，则tan 2
α
等于( )
sin
α
－cos
α
2
3344
A．－ B. C．－ D.
4433
答案 B
sin
α
＋cos
α
1tan
α
＋11
解析 由＝，等式左边分子、分母同除cos
α
，得＝，解得tan
sin
α
－cos
α
2tan
α
－12
α
＝－3，
2tan
α
3
则tan 2
α
＝＝.
2
1－tan
α
4
4．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ .
答案 3
tan 20°＋tan 40°
解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，
1－tan 20°tan 40°
∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝3－3tan 20°tan 40°，
∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝3.
ππ
2
5．(2016·江西玉山 一中期中)已知
f
(
x
)＝－3sin
x
cos
x
－sin
x
，则
f
(
x
)在[－，]
46
上的最大值为( )
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11
A．－ B．0 C. D．1
22
答案 C
解析 ∵
f
(
x
)＝－3sin
x
cos
x
－sin
x

＝－
31－cos 2
x
sin 2
x
－
22
2
π1
＝－sin(2
x
－)－，
62
ππ
∵
x
∈[－，]，
46
π2ππ
∴2
x
－∈[－，]，
636
1
∴
f
(
x
)的最大值为.
2
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一 和差公式的直接应用
3π
例1 (1)(2016·广州模拟)已知sin
α
＝，
α
∈(，π)，则
52
cos 2
α
π
2sin
α
＋
4
＝ .
(2)在△
ABC
中，若tan
A
tan
B
＝tan
A
＋tan
B
＋1，则cos
C
的值为( )
A．－
2

2
B.
2

2
1
C.
2
7
答案 (1)－ (2)B
5
解析 (1)
cos 2
α
π
2sin
α
＋
4
＝
2
1< br>D．－
2
cos
α
－sin
α
22
sin
α
＋cos
α
22
22
＝cos
α
－sin
α
，
3π47
∵sin
α
＝，
α
∈(，π)，∴cos
α
＝－，∴原式＝－.
5255
(2)由tan
A
tan
B
＝tan
A
＋tan
B
＋1，
tan
A
＋tan
B
可得＝－1，即tan(
A
＋
B
)＝－1，
1－tan
A
tan
B
3π
又
A
＋< br>B
∈(0，π)，所以
A
＋
B
＝，
4
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π2
则
C
＝，cos
C
＝.
42
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
3
(1)(2016·全国丙卷)若tan
α
＝，则
4
cos
α
＋2sin 2
α
等于( )
644816
A. B. C．1 D.
252525
sin 110°sin 20°
(2)计算
2
的值为( )
2
cos155°－sin155°
1
A．－
2
C.
3

2
1
B.
2
D．－
3

2
2
答案 (1)A (2)B
3cos
α
＋2sin 2
α
2
解析 (1)tan
α
＝，则cos
α
＋2sin 2
α
＝
22
4cos
α
＋sin
α
＝
1＋4tan
α
64
＝.
2
1＋tan
α
25
2
sin 110°sin 20°sin 70°sin 20°
(2)
2
＝
2
cos155°－sin155°cos 310°
1
sin 40°
cos 20°sin 20°
2
1
＝＝＝.
cos 50°sin 40°2
题型二 和差公式的综合应用
命题点1 角的变换
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53
，sin(
α
＋
β
)＝，则cos
β
等于( )
55
例2 (1)设
α
、
β
都是锐角，且cos
α
＝
A.
C.
25

25
2525
或
255
B.
D.
25

5
55
或
525
π47π
(2)已知cos(
α
－)＋sin
α
＝3，则sin(
α
＋)的值是 ．
656
4
答案 (1)A (2)－
5
解析 (1)依题意得sin
α
＝1－cos
α
＝
cos(
α< br>＋
β
)＝±1－sin
2
2
25
，
5
α
＋
β
＝±.
4
5
又
α，
β
均为锐角，所以0<
α
<
α
＋
β
<π，cos
α
>cos(
α
＋
β
)．
4544
因为>>－，所以cos(
α
＋
β
)＝－.
5555
于是cos
β
＝cos[(
α
＋
β
)－
α
]
＝cos(
α
＋
β
)cos
α
＋sin(
α
＋
β
)sin
α

4532525
＝－×＋×＝.
555525
π4
(2)∵cos(
α
－)＋sin
α
＝3，
65
∴
334
cos
α
＋sin
α
＝3，
225
134π4
3(cos
α
＋sin
α
)＝3，3sin(＋
α
)＝3，
22565
π4
∴sin(＋
α
)＝，
65
7π π4
∴sin(
α
＋)＝－sin(＋
α
)＝－.
665
命题点2 三角函数式的变形
1＋sin
θ
＋cos
θ
例3 (1)化简：
sin －cos
22
θθ
(0<
θ
<π)；
2＋2cos
θ
1＋cos 20°1
(2)求值：－sin 10°(－tan 5°)．
2sin 20°tan 5°
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θ
π
解 (1)由
θ
∈(0，π)，得0<<，
22
∴cos >0，
2
∴2＋2cos
θ
＝ 4cos
2
θ
θ
＝2cos .
22
θ
又(1＋sin
θ
＋cos
θ
)(sin －cos )
22
＝(2sin cos ＋2cos)(sin －cos )
22222
＝2cos (sin－cos)
222
＝－2cos cos
θ
.
2
－2cos cos
θ
2
故原式＝＝－cos
θ
.
θ
2cos
2
2cos10°cos 5°sin 5°
(2)原式＝－sin 10°(－)
2×2sin 10°cos 10°sin 5°cos 5°
cos 10°cos5°－sin5°
＝－sin 10°·
2sin 10°sin 5°cos 5°
＝
cos 10°cos 10°
－sin 10°·
2sin 10°1
sin 10°
2
cos 10°cos 10°－2sin 20°
－2cos 10°＝
2sin 10°2sin 10°
cos 10°－2sin30°－10°

2sin 10°
cos 10°－2
＝
13
cos 10°－sin 10°
22

2sin 10°
22
2
θ θ
θθ
2
θθθ
θ
2
θ
2
θ
θ< br>θ
＝
＝
＝
3sin 10°3
＝.
2sin 10°2
引申探究
1＋sin
θ
－cos
θ
化简：
sin －cos
22
θθ
(0<
θ
<π)．
2－2cos
θ
θ
π
θ
解 ∵0<<，∴2－2cos
θ
＝2sin ，
222
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又1＋sin
θ
－cos
θ
＝2sin cos ＋2sin
222
＝2sin (sin ＋cos )
222
2sin
2
∴原式＝
θθ
2
θ
θθθ
θ
sin ＋cos
22
θθ
θ
2
sin －cos
22
θθ
＝－cos
θ
.
2sin
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已
知角”有两个时，“ 所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”
有一个时，此时应着眼于“所求角 ”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所
求角”变成“已知角”．
(2)常 见的配角技巧：2
α
＝(
α
＋
β
)＋(
α
－
β
)，
α
＝(
α
＋
β
)－
β< br>，
β
＝
α
＋
βα
－
β
2
－
2
，
α
＋
βα
－
βα
－
ββα< br>α
＝＋，＝(
α
＋)－(＋
β
)等．
22222
π1
(1)(2016·宿州模拟)若sin(＋
α
) ＝，
43
π
则cos(－2
α
)等于( )
2
A.
424277
B．－ C. D．－
9999
11
2
(2)(2016·青岛模拟)化简(tan
α
＋)·sin 2
α
－2cos
α
等于( )
tan
α
2
A．cos
α

C．cos 2
α

2
B．sin
α

D．－cos 2
α

2
(3)计算：sin 50°(1＋3tan 10°)＝ .
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答案 (1)D (2)D (3)1
π1π1
解析 (1)∵sin(＋
α
)＝，∴cos(－
α
)＝，
4343
ππ17
∴cos(－2
α
)＝cos 2(－
α
)＝2×－1＝－.
2499
11
2
(2)原式＝·sin 2
α
－2cos
α

sin
α
cos
α
2
＝1－2cos
α
＝－cos 2
α
.
(3)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋3
cos 10°＋3sin 10°
＝sin 50°×
cos 10°
13
2cos 10°＋sin 10°
22
＝sin 50°×
cos 10°
＝
2sin 50°cos 50°sin 100°cos 10°
＝＝＝1.
cos 10°cos 10°cos 10°
8．利用联系的观点进行角的变换
π4π
典例 (1)设
α
为锐角，若cos(
α
＋)＝，则sin(2
α
＋)的值为 ．
6512
3π
cos
α
－
10
π
(2 )若tan
α
＝2tan，则等于( )
5π
sin
α
－
5
A．1
C．3
B．2
D．4
sin 10°
)
cos 10°
2
思想方法指导 角的变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆 角、
凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有
π
12
π
3
π
4
α
＋
β
2
＝(
α
－)－(－
β
)；
α
＝(
α
－
β
)＋
β
；22
βα
α
＋＝(
α
＋)－；15°＝45°－30°等．
π4
解析 (1)∵
α
为锐角且cos(
α
＋)＝>0，
65
ππππ3
∴
α
＋∈(，)，∴sin(
α
＋ )＝.
66265
πππ
∴sin(2
α
＋)＝sin[2(α
＋)－]
1264
ππππ
＝sin 2(
α
＋)cos －cos 2(
α
＋)sin
6464
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ππ2π
2
＝2sin(
α
＋)cos(
α
＋)－[2cos(
α
＋)－1]
6626
3424
2
＝2××－[2×()－1]
5525
＝
12272172
－＝.
255050
3π3 ππ
cos
α
－sin
α
－＋
10102
(2)＝
ππ
sin
α
－sin
α
－
55

πππ
sin
α
＋sin
α
cos＋cos
α
sin
555
＝＝
πππ
sin
α
－sin
α
cos－cos
α
sin
555
sin
α
ππ
cos＋sin
cos
α
55
＝
sin
α
ππ
cos－sin
cos
α
55< br>π
sin
5
ππ
2·cos＋sin
π55
cos< br>5
＝
π
sin
5
ππ
2·cos－sin
π55
cos
5
π
3sin
5
＝＝3，故选C.
π
sin
5
172
答案 (1) (2)C
50
1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A．－
3

2
B.
3

2
1
C．－
2
答案 D
1
D.
2
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝
1
sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.
2
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?
π< br>?
3
2．(2016·全国甲卷)若cos
?
－
α
?
＝，则sin 2
α
等于( )
?
4
?
5
7
A.
25
1
C．－
5
答案 D
1
B.
5
7
D．－
25
?
π
???
π
?
3
2
?
π
解析 因为sin 2
α
＝cos?
－2
α
?
＝2cos
?
－
α
?－1，又因为cos
?
－
α
?
＝，所以sin
?2
??
4
??
4
?
5
97
2
α
＝2×－1＝－，故选D.
2525
π
?
2
2
?
3．已知sin 2
α
＝，则cos
?
α
＋
?
等于( )
4
?
3
?
1
A.
6
1
C.
2
答案 A
π
??
1＋cos 2
?
α
＋
?
4
?
π
?
?
2
?
解析 因为cos
?
α
＋
?
＝
4
?
2
?
π
??
1＋cos
?
2
α
＋
?
2
?
1－sin 2
α
?
＝＝，
22
2
1－
3
1
π
?
1－sin 2α
2
?
所以cos
?
α
＋
?
＝＝＝， 故选A.
4
?
226
?
1
2
π
4．(2 016·东北三省三校联考)已知sin
α
＋cos
α
＝，则sin(－
α
)等于( )
34
1
A.
18
8
C.
9
答案 B
11
解析 由sin
α
＋cos
α
＝，两边平方得1＋sin 2
α
＝，
39
8
解得sin 2
α
＝－，
9
17
B.
18
D.
2

9
1
B.
3
2
D.
3
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π
1－ cos－2
α
2
π
2
所以sin(－
α
)＝
42
8
1＋
9
171－sin 2
α
＝＝＝.
2218
5.
2cos 10°－sin 20°
的值是( )
sin 70°
B.
3

2
1
A.
2
C.3
答案 C
D.2
2cos30°－20°－sin 20°
解析 原式＝
sin 70°
＝
2cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°

sin 70°
3cos 20°
＝3.
cos 20°
＝
1
6．(2016·江西九校联考)已知锐角
α
，
β满足sin
α
－cos
α
＝，tan
α
＋tan
β
＋3
6
tan
α
tan
β
＝3，则
α
，
β
的大小关系是( )
π
A．
α
<<
β

4
π
C.<
α
<
β

4
答案 B
1π
解析 ∵
α
为锐角，sin
α
－cos
α
＝>0，∴
α
>.
64
又tan
α
＋tan
β
＋3tan
α
tan
β
＝3，
tan
α
＋tan
β
∴tan(
α
＋
β
)＝＝3，
1－tan
α
tan
β
πππ
∴
α
＋
β
＝ ，又
α
>，∴
β
<<
α
.
344
17．(2016·江西玉山一中模拟)已知
α
，
β
为锐角，且sin
α
－sin
β
＝－，cos
α
－cos
2
π
B．
β
<<
α

4
π
D.<
β
<
α

4
β
＝，则tan(
α
－
β
)＝ .
答案 －
7

3
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1
2
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11
解析 ∵sin
α
－sin
β
＝－，cos
α
－cos
β
＝，
22
1
22
∴
α
<
β
，∴(sin
α
－sin
β
)＋(cos
α
－cos
β
)＝，
2
1
∴2－2(cos
α
cos
β
＋sin
α
sin
β
)＝，
2
3
∴cos(
α
－
β
)＝cos
α
cos
β
＋sin
α
sin
β
＝，
4
∴tan(
α
－
β
)＝－
7
.
3
π
2
8．已知tan(＋
θ
)＝3，则sin 2
θ
－2cos
θ
的值为 ．
4
4
答案 －
5
π
解析 ∵tan(＋
θ
)＝3，
4
∴
1＋tan
θ
1
＝3，解得tan
θ
＝.
1－tan
θ
2
2
∵sin 2
θ
－2cos
θ
＝sin 2
θ
－cos 2
θ
－1
2sin
θ
cos
θ
cos
θ
－sin
θ
＝－
2
－1 222
sin
θ
＋cos
θ
sin
θ
＋cos
θ
2tan
θ
1－tan
θ
＝－－1
221＋tan
θ
1＋tan
θ
434
＝－－1＝－.
555
35π
9．已知sin(
α
－
β
)cos
α
－cos(
β
－
α
)sin
α
＝，< br>β
是第三象限角，则sin(
β
＋)
54
＝ .
答案
72

10
2
22
解析 依题意可将已知条件变形为
33
sin[(
α
－
β
)－< br>α
]＝－sin
β
＝，sin
β
＝－.
55
4
又
β
是第三象限角，因此有cos
β
＝－.
5
5ππ
sin(
β
＋)＝－sin(
β
＋)
44
ππ72
＝－sin
β
cos －cos
β
sin ＝.
4410
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π< br>4
1
4
10.(2016·宝鸡模拟)已知cos(
π
＋4
θ
)cos(－
θ
)＝，则sin
4
θ
＋c os
4
θ
的值为 ．
5
答案
8
ππ
解析 因为cos(＋
θ
)cos(－
θ
)
44
＝(
2222
cos
θ
－sin
θ
)(cos
θ
＋sin
θ
)
2222111
22
＝(cos
θ
－sin
θ
)＝cos 2
θ
＝.
224
1
所以cos 2
θ
＝.
2
1－cos 2
θ
2
1＋cos 2
θ
244
故sin
θ
＋cos
θ
＝()＋()
22
195
＝＋＝.
16168
π1π
11．已知
α
∈(0，)，tan
α
＝，求tan 2
α
和sin(2
α
＋)的值．
223
1
解 ∵tan
α
＝，
2
1
2×
2
42tan
α
∴tan 2
α
＝＝＝，
2
1－tan
α
13
1－
4
且
sin
α
1
＝，即cos
α
＝2sin
α
，
cos
α
2
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又sin
α
＋cos
α
＝1，∴5sin
α
＝1，
π525
而
α
∈(0，)，∴sin
α
＝，cos
α
＝.
255
∴sin 2
α
＝2sin
α
cos
α
＝2×
5254
×＝，
555
222
413
22
cos 2
α
＝cos
α
－sin
α
＝－＝，
555
πππ
∴sin(2
α
＋)＝sin 2
α
cos ＋cos 2
α
sin
333
41334＋33
＝×＋×＝.
525210
αα
6
?
π
?
12．已知
α
∈
?
，π
?
，且sin ＋cos ＝.
222
?
2
?
(1)求cos
α
的值；
3
?
π
?
(2)若sin(
α
－
β
)＝ －，
β
∈
?
，π
?
，求cos
β
的值．
5
?
2
?
αα
6
解 (1)因为sin ＋cos ＝，
222
1
两边同时平方，得sin
α
＝.
2
π3
又<
α
<π，所以cos
α
＝－.
22
ππ
(2)因为<
α
<π，<
β
<π，
22
π
所以－π<－
β
<－，
2
ππ
故－<
α
－
β
<.
22
34
又sin(
α
－
β
)＝－，得cos(
α
－< br>β
)＝.
55
cos
β
＝cos[
α
－(
α
－
β
)]
＝cos
α
cos(
α
－
β
)＋sin
α
sin(
α
－
β
)
＝－
341
?
3
?
×＋×
?
－
?

252
?
5
?
43＋3
＝－.
10
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13.(20 16·合肥质检)已知cos(
π
3
1
4
π
3
π< br>2
π
＋
6
α
)cos(－
α
)＝－，
α
∈(，)．
(1)求sin 2
α
的值；
(2)求tan
α
－
1
的值．
tan
α
ππ
解 (1)cos(＋
α
)·cos(－
α
)
63
ππ
＝cos(＋
α
)·sin(＋
α
)
66
1π1
＝sin(2
α
＋)＝－，
234
π1
即sin(2
α
＋)＝－.
32
ππ π4π
∵
α
∈(，)，∴2
α
＋∈(π，)，
3233
π3
∴cos(2
α
＋)＝－，
32
ππ
∴sin 2
α
＝sin[(2
α
＋)－]
33
ππππ1
＝sin(2
α
＋)cos －cos(2
α
＋)sin ＝.
33332
ππ2π
(2)∵< br>α
∈(，)，∴2
α
∈(，π)，
323
13
又由(1)知sin 2
α
＝，∴cos 2
α
＝－.
22
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1sin
α
cos
α
sin
α
－cos
α
∴tan
α
－＝－＝
tan
α
cos
α
sin
α
sin
α
cos
α
3
－
2
－2cos 2
α
＝＝－2×＝23.
sin 2
α
1
2
22
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