重庆时间-沈阳师范大学
第3课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考
纲
索
引
课
标
要
1
.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
.
2
.
二倍角的正弦、余弦、正切公式
.
1
.
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式
.
2
.
能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式
.
3
.
能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、
求 余弦、正切公式,了解它们的内在联系
.
知识梳理
1
.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)
C
(
α-β
)
:cos(
α-β
)
=
;
(2)
C
(
α+β
)
:cos(
α+ β
)
=
;
(3)
S
(
α+β
)
:sin(
α+β
)
=
;
(4)
S
(
α-β
)
:sin(
α- β
)
=
;
(5)< br>T
(
α+β
)
:tan(
α+β
)
=
;
(6)
T
(
α-β
)
:tan(
α- β
)
= .
2
.
二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)
S
2
α
:sin2
α=
;
(2)
C
2
α
:cos2
α= = =
;
(3)
T
2
α
:tan2
α= .
3
.
函数
f
(
α
)
=a
cos
α+b
sin
α
(
a
,
b
为常
数),可以化为
或
基础自测
1
.
(教材 改编)下列各式的值为
,其中
φ
可由
a
,
b
的值唯 一确定
.
的是(
)
.
A.
C.
2
.
已知sin
α=
B. 1
-
2sin
2
75°
D. sin15°cos15°
,则cos(π
-
2
α
)等于
(
)
.
3
.
(cos15°
-
cos75°)(sin75°
+
sin15°)等于(
)
.
4
.
(课本精选)化简: sin200°cos140°
-
cos160°sin40°
= .
5
.
(教材改编题)tan20°
+
tan40°+
tan20°tan40°
= .
指 点 迷 津
◆一个源头
公式cos(
α-β
)是所有公式的源头,其他公式 可以利用角的变换、公式变形等手段得出
.
◆两个技巧
(1)折角、拼角 技巧:2
α=
(
α+β
)
+
(
α-β
);
(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等
.
◆三种应用
公式有正用、逆用、变形用
.
如:
(
α+β
)
-β
;
α=
考点透析
考向一
三角函数的化简
例1
化简:(1)
(2)
.
【审题视点】
(1)分子展开消去1,目标把cos
α
约去化为整式
.
(2)中分母切化弦,分子配方降幂,进行约分
.
【方法总结】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看“ 角”:通过分析角之间的差异
与联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式;二看“函数名称”:尽可 能统一函数名,如弦
切互化;三看“结构特征”:分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的 有“分式通
分,根式的被开方数升幂去根号”等
.
变式训练
1
.
化简:
.
考向二
三角函数的求值
例2
(2013· 福建龙岩质检)计算sin68°sin67°
-
sin23°cos68°的值为(
【审题视点】
给角求值:非特殊角化为特殊角
.
)
.
【方法总结】
(1)给角求值的关键是正确地选用 公式,以便把非特殊角的三角函数相消,从
而化为特殊角的三角函数
.
(2 )给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异
.
一般可以适当变换已
知式,求得另外函数式的值,以备应用,同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数
值代入, 从而达到解题的目的
.
变式训练
考向三
三角函数的给值求角
例3
(2014·广东)已知函数
,且
(1)求
A
的值;
(2)若
【审题视点】
本题考查三角函数图象的性质
.
.
【方法总结】
1
.
三角函数的给值求角问题的一般思路
(1)求出该角的某一三角函数值;
(2)确定角的范围;
(3)根据角的范围写出角
.
2
.
三角函数给值求角时应注意的问题
求角的某一三角函数值时,尽量选择在该角所在范围内是单调的函数 ,这样,由三角函数值才
可以唯一确定角
.
(1)若角的范围是
(2)若角的范围是(0,π),选余弦较好;
(3)若角的范围为
变式训练
,选正、余弦皆可;
,则选正弦
.
经典考题
典例
(2014·山东)在△
ABC
中,角< br>A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c.
已知
a=
3,
(1)求
b
的值;
(2)求△
ABC
的面积
.
真题体验
1
.
(2014·全国新课标
Ⅱ
)函数
f
(
x
)
=
sin(
x+φ
)
-
2sin
φ
cos
x
的最大值为
.
2
.
(2014·湖南)如图所示,在平面四边形
ABCD
中,< br>DA
⊥
AB
,
DE=
1,
EC=
,
EA=
2,∠
ADC=
,∠
BEC=
(1)求sin∠
CED
的值;
(2)求
BE
的长
.
3
.
(2014·江西)
(第2题) < br>知函数
f
(
x
)
=
(
a+
2cos
2
x
)cos(2
x+θ
)为奇函数,且
,其中
a
∈R,
θ
∈(0,π)
.
已
(1)求
a
,
θ
的值;
(2)若
.
的值
参考答案与解析
知识梳理
1
.
(1) cos
α
cos
β+
sin
α
sin
β
(2) cos
α
cos
β-
sin
α
sin
β
(3) sin
α
cos
β+
cos
α
sin
β
(4) sin
α
cos
β-
cos
α
sin
β
(5)
2
.
(1) 2sin
α
cos
α
(2) cos
2
α-
sin
2
α -
2sin
2
α
2cos
2
α-
1
(6)
1
(3)
基础自测
1
.
D
2
.
B
3
.
C
4
.
5
.
考点透析
【例2】
B
解析:sin68°sin67°
-
sin23°cos68°
=
sin68°cos23°
-
cos68°sin23°
=
sin(68°
-
23°)
=
sin45°
=
,故选B
.
变式训练
经典考题
真题体验
1
.
1
解
析:
f
(
x
)
=
sin(
x+φ
)
-
2sin
φ
c os
x=
sin
x
cos
φ+
cos
x
s in
φ-
2sin
φ
cos
x=
sin
x
cos
φ-
cos
x
sin
φ
=
sin(
x-φ
),其最大值为1
.
2
.
设∠
CED=α.
(1) 在△
CDE
中,由余弦定理,得 EC
2
=CD
2
+DE
2
-
2
CD< br>·
DE
·cos∠
EDC
,
于是由题设,知7
=C D+
1
+CD
,即
CD+CD-
6
=
0,
解得
CD=
2(
CD=-
3舍去)
.
22
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