钟表公式《两角和与差的余弦公式》教学设计

《两角和与差的余弦公式》教学设计
一、教材地位和作用分析：

两角和与差 的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱
导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角 公式、和差化积、积化和差公式的知识
基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求 值等三角问题
的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差
的 余弦公式以及诱导公式。
二、教学目标：
1、知识目标：



①、

使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；

②、

使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；

③、

使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。


2、能力目标：
①、培养学生逆向思维的意识和习惯；


②、培养 学生的代数意识，特殊值法的应用意识；
③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3、情感目标：



①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；


②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。


三、教学重点和难点：

教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。
教 学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。
四、教学方法：



创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现
形式是探索尝试，探索尝 试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维
活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的 思维以适当的引导并不一定会降低学生
思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用 和学生主体作用的
和谐统一。
由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题 ----探索尝试----启发
引导----解决问题。
学法指导：


1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦
和正弦表 示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温
故知新的认知规律。)
2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，
培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。
五、教学过程



课

题



设 计 意 图

00
教 学 程 序

让学生先讨论“cos（45+3 0）=cos45+cos30是否
成立？”。（学生可能通过计算器、量余弦线的长度、
特殊 角三角函数值和余弦函数的值域三种途径解
00
通过创设问题情境，自然
流畅地

提出问题，揭示课题，引
发学生

思考。使学生目标明确、
引

0000
。得出cos（45+30）≠cos45

+cos30。
入

决问题）
进而得出cos（α+β）≠cosα+cosβ这个结论。
迅速进

入角色。

此时再次提出那么cos（α+β）又等于什么呢？

这正是我们今天要研究的内容。

揭示课题：两角和与差的余弦。

通过复习使学生熟悉基
1、画出一个锐角、一个钝角的正弦线、余弦线。

复

础知识、特别是用角的
习

2、如果角α的终边与单位圆相交于点P，点P的
正、余弦表示特殊点的坐
提

坐标能否用角α的三角函数值表示？怎样表示？

标，为新课的推进做准
备。

问

3、写出同一坐标轴上两点间距离公式。

在解决上面的问题之前，我们先来解决“平面内两
引

点间距离的求法”这一 问题。通过上面的复习，我
让学生通过特殊值在
转化到一般情况，符
合学生的认知规律 。
入

们已经熟悉了同一坐标轴上两点间距离公式。那
新

么，平面内两点间距离与坐标有什么样的关系呢？
课

（通过特殊的例子让学生体会平面内两点间距离
和同一坐标轴上两点间距离的关系。）

1、分析：设P
1
（x
1
，
y
1
），P< br>2
（x
2
，
y
2
）则有：M
1
（x
1
，
1、通过几何画板动态演
0），M
2
（x
2< br>，
0）,N
1

（0
，
y
1
），N
2
（0
，
y
2
）。

通过演示课件提出问题：P
1
P
2

的长度与什么有关？
根据图写出M
1
M
2
和N
1
N
2
。

P
1
Q= M
1
M
2
=│x
2
-x
1
│

QP
2
= N
1
N
2
=│y
2
-y
1
│

根据勾股定理写出
P
1
P
2
=P
1
Q+ QP
2
=(x
2
-x
1
)
+(y
2
-y
1
)

由此得平面内P
1
（x
1
，
y
1
）、P
2
（x
2
，
y
2）两点间的距
离公式:

P
1
P
2
= (x
2
-x
1
)+(y
2
-y
1
)

22
22222
示，给学生以直观感受，
让他们认识到：平面内两
点间距离和同一坐标轴
上两点间距离总能构成
一个直角三角形，利用勾
股定理即可解 决。


2、两角和余弦公式的证
明中存在困难：三角函数
表示单 位圆上点的坐标，
它虽然算理简单，但学生
由于陌生而很不习惯，通
过前面习环节应该 有所
熟悉。3、两角和的余弦
2、在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角
α,α+β 和-β。它们的终边分别交单位圆于P
2
、
P
3
和P
4点，单位圆与X轴交于P
1
。则： P
1
(1,0)、 学完 之后，要强调其中两
P
2
（cosα，sinα）、P
3
（cos（ α+β），sin（α+β）

角均为任意角，这样一
P
4
(cosβ,-sinβ)
根据︱P
1
P
4
︱=︱P
2
P
3
︱即可得到
cos（α+β）= cosαcosβ- sinαsinβ
教
用-β代替β得cos（α-β）的公式。


注意公式的结构特征。



学

及cos105°的值．


例1、
求cos15°


来，两角差的余弦只是两
角和的余弦的特殊形式。





例1的作用一方面让学
生熟练两角和与差的余
分析：本题关键是 将15°角分成45°与30°的差或者
弦公式，另一方面也向学
过

分解成 60°与45°的差，再利用两角差的余弦公式即
对于cos105°，可进行类似地处理，cos10 5°
生展示了公式的一种实


可求解．
＋45°）．
际应用价值，即：将非特


＝cos（60°
程













殊角转化为特殊角的和
与差。



例2利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公
式：
π
（1） cos( -α)=sinα
2
π
（2） sin( -α)=cosα
2

例2
的目
的在
于熟
悉公
式，
同时
对同例3 已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，
角三
角函
数关
系 有
复习
的作
用，
其难
度不
是很
大，
在提< br>且β是第三象限的角，求cos（α＋β）的值．
分析：观察公式C
α
＋β
与本题已知条件应先计算
出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cos β的
值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β
的取值范围来求解．
课堂练习：
1. （1）求sin75°的值．
（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．
2. （1）求证：cos（－α） ＝sinα．
供了
公式
（2）已知sinθ＝
（θ－）的值．
，且θ为第二象限 角，求cos
之
后，
学生
应当
（3）已知sin（30°＋α）＝< br>cosα．

小

，60°＜α＜150°，求
能够
完
成.

本节课我们学习 了下面两组公式，在公式的
小节以十四字口诀概括
两角和与差的三角函数
关系式，既体 现了公式的
本质特征，又朗朗上口，
便于记忆。有助于学生对



记忆上，我们应注意函数和符号的变化。




结

两角和与差的余弦：
（同名之积相加减，运算符号左右反。）
cos（α+β）= cosα cosβ- sinα sinβ

本节课的内容更好地掌
握。

cos（α-β）= cosα cosβ+ sinα sinβ
8、课堂练习有助于学生
进一步熟悉公式，加深学
生对公式的理 解和认识。
回馈教学效果。思考题对
学生本节课所学知识方
法的考察要求较高，但能< br>力较强学生能够完成，也

是为下一节课的内容做
准备。体现问题必须略高于学生现有知识水平的
原则。

1、课堂练习（P
38
）

①、第2题（3）、（4）。

②、第3题（2）、（3）。

练
2、课后作业P
40

习
巩
习题4.6第2 、 3、(2)、(3)

固

3、思考题：

试运用今天所学知识和方法证明：

sin（ α+β）= sinα cosβ+cosα sinβ

sin（ α-β）= sinα cosβ-cosα sinβ

六、板书设计
两角和与差的余弦
公式 推导 例1


例2
例3