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两角和与差的正弦、余弦和正切
基础梳理
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C
(α-β)
:cos(α -β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β;
(2)C
(α+β)
:c os(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β;
(3)S
(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β;
(4)S
(α- β)
:sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β;
tanα+tanβ
(5)T
(α+β)
:tan(α+β)=
1-tanαtanβ
;
tanα-tanβ
(6)T
(α-β)
:tan(α-β)=.
1+tanαtanβ
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α:sin2α=2sin_αcos_α;
(2)C
2α
:cos2α=cosα-sin α=2cosα-1=1-2sinα;
2
α-sin
2tanα
2
(3)T2α:tan2α=α.
1-tan
3.有关公式的逆用、变形等
(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tan_αtan_β);
1+cos2α 1-cos2α
;
(2)cos
2
α=
,sin
2
α=
2 2
2,2
1-sin2α=(sinα-cosα),
(3)1+sin2α=(sinα+cosα)
sinα±cosα=2sinα±
π
.
4
2 222
4.函数f(α)=acosα+bsinα(a,b为常数),可以化为f(α)=a
2
+b
2
sin(α+φ)或f(α)=a
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2
+bcos(α-φ),其中φ可由a,b的值唯一确定.
2
两个技巧
(1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;β=
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α+β
2
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-
α-βα-β
2;2-
2=α+
β α
+β.
2
(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等.
三个变化
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、
“升幂与降幂”等.
(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目
标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、
“配方与平方”等.
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)下列各式的值为
π
1
4
的是().
2
75°
2
A.2cos
12-1B.1-2sin
2tan22.5
°
C.
1-tan
2
22.5°D.sin15°cos15°
2
22.5°D.sin15°cos15°
2.(2011·福建)若tanα=3,则
sin2α
2
α的值等于().
cos
2
3.已知sinα=,则cos(π-2α)等于().
3
4.(2011·辽宁)设sin
1
π
4
+θ=,则sin2θ=().
3
5.tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=________.
考向一三角函数式的化简
1
.
2
4
x-2cosx+
2
2cos
【例1】?化简
π
2
π
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-xsin+x
2tan
44
[审题视点]切化弦,合理使用倍角公式.
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三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
(1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使
用公式;(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式;
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向.
【训练1】化简:
sinα+cosα-1sinα-cosα+1
sin2α
.
考向二三角函数式的求值
π
<α<π,且cosα-
2
β
1
α
2
,sin
2=-
9
-β=
,
23
【例2】?已知0<β<
求cos(α+β)的值.
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三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示:
(
(2)
1
已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系.
)
已
知
π
练2】已知α,β∈0,
4 1
角
3
2
,sinα=,tan(α-β)=-
为
5
,求cosβ
两
个
的值.
时
,
待
π
113
求3】?已知cosα= 【例
,求β.
考
,cos(α-β)=,且0<β<α<
角
向2
714
一
三
三
般
角
①已知正切函数值,选正切函 数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;
表
函
示
数
π
为
若角的范围是0,
的
2
已
题
,
知
选
ππ
角
若角的范围为-,
,选正弦较好.
的2
2
.
2
ππ
,且tanα,tanβ是方程x+33x+4
2
,
+33x+4
练3】已知α,β∈-
22
=0的两个根,求α+β的值.
通
过
求
角
的
某< br>种
三
角
函
数
值
来
求
角
,< br>在
选
取
函
数
时
,
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考向四三角函数的综合应用
【例4】?(2010·北京)已知函数f(x)=2cos2x+sin
π
(1)求f
的值;
3
(2)求f(x)的最大值和最小值.
x.
2
高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往
往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为y=
Asin(ωx+φ)的形式,再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、
周期性、对称性等性质.
【训练4】已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期;
ππ
,
(2)求f(x)在区间-
62
上的最大值和最小值.
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面
是
对
三
有忆
角一、给值求值
关众
函< br>三多
数
角公一般是给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关 键
的
函式
求
数,
在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=( α+β)+(α-β)等,把所求角用
值
的其
、
求二
含
求
值,
已
π
tanx
角
、如
知
【
=
问
化何
角
示4
tan2x
题
简根
________.
的
中
, 据
式
的
许三
子
难
多角
表
点
考函< br>示
和
生数
,
二、给值求角
重
一的
求
点
筹形
解
“
,
三
莫式
时
给
角
角
其
展去
要
值
的
函
难
,选< br>注
求
式
【示例】
数
1
点
而择
意
?(2011·南昌月考)已知tan(α-β)=,tanβ=-
角
子
在
求
三合
角
2
”
表
于
值
角适
的
:
示
∈
:
、
恒的< br>范
实
,
(0,π),求2α-β的值.
求
其
更求
质
由
角
一
值
上
所
略
,
、
也
得
“给值求值”
的
,关键也是变角,把所求角用含已知
函
数
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值
结
合
该
函
数
的
间求得角.
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1
7
,且α,β
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具,是每年高考的必考内容,常
在
在
选
▲
解
【示例】?(2011·温州一模)已知向量a =(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)
择
三
答
题
角
题
中
π
.
恒
互相垂直,其中
中
以
θ∈0,
等
,
条
2
变
并
件
换
且
求
(1)
与
成
求sinθ和cosθ的值;
式
向
为
考
量
高
查
(2)若5cos(θ-φ)=35cosφ,0<φ<
的
考
.
题
的
近
一
几
个
年
新
该
向.
部
分
内
容
与
向
量
的
【课后训】练
A组专项基础练训
:
一、选择题(每小题5分,共20分
3
5
)
1
分
钟
1
,
.tan
57分
(
θ
)
2
0
1
()
2
·
江
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)
若
t
a
n
θ
+
=
sin2θ等于
π
,求cosφ的值.
2
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1
A.
5
1
B.
4
1
C.
3
1
2
D.
3
,则cos2α等于
2
.
(
3
()
A.-
5
B.-
5
3 9
C.
5
D.
5
9 3
3.已知α,β都是锐角,若sinα=
5
,sinβ=
10
,则α+β等于
5
10
()
A.
π
4
B.
3π
4
C.
π
3π
D.-
π
3π
4
和
4
4
和-
4
4.(2011·福建)若α∈0,
π
2
,且sin
1
2
α+cos2α=
,则tanα的值等于
4
()
A.
2
2
B.
3
3
C.2D.3
5.cos
2
二
75°+cos
2
15°+cos75°cos15°的值等于________.
、
(
5
6.
分,共
15分
3tan12
=
)
°-3
4cos
2
________.
12°-2sin12°
2
12°-2sin12°
7.sinα=
3
3
,则α+β=____________.
5
π
,cosβ=
,其中α,β∈0,
52
三、解答题(共22分)
8.(10分)已知
1+sinα
1-sinα
1-sinα 1+sinα
-
=-2tanα,试确定使等式成立的α
集合.
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的取值
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π
α α
6
,π,且sin
9.(12分)已知α∈
+cos
=
.
2
2
2
2
(1)求cosα的值;
π
3
(2)若sin(α-β)=-
,π,求cosβ的值.
5
,β∈
2
3
41 43+3
3
=-
× +×-
5
=-
.
2
52
10
B组专项能力提升
(
5分,共15分)
1.(2012·山东)若θ∈
:
2
5
π π
37
分
,
钟
,sin2θ=
4 2 8
,
,则sinθ等于
43分)
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()
3
A.
5
7
C.
4
3
D.
4
1π
=
,那么tanα+
44
等于
4
B.
5
2π
2.已知tan(α+β)=
,tanβ-
54
()
13
A.
18
3
C.
22
3.当-
()
13
22
B.
1
6
D.
π π
≤x≤
2
时,函数f(x)=sinx+3cosx的
2
A.最大值是1,最小值是-1
1
B.最大值是1,最小值是-
2
C.最大值是2,最小值是-2
D.最大值是2,最小值是-1
π
4.已知锐角α满足cos2α=cos
-α,则sin2α=_______.
二
4
、
(
π π
12
cos2α
,则
5.已知=_________.
分,共
cos
15分)
-α=
13
π
4 4
sin
+α
,α∈0,
4
6.设x∈0,
π
2
,
则
函
2sinx+1
2
x+1
sin2x
2
三、解答题
7
.
(
10π.
(1)求ω的值;
(2)设α,β∈0,
π
5 5
6
,f5α+
3 6
2 5
π=-
,f5β-
π
π
(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为
6
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16
=
17
,求cos(α+β)的值.
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-
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