小学换算公式高中数学知识点总结及公式大全

高中数学知识点总结及公式大全

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、
互异性、无序性”。
中元素各表示什么?
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质：
(3)德摩根定律：
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
的取值范围。
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗?映射f：A→B，是否注意到A中元素的
任意性和B中与之对 应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射?
(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。)
8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
10. 如何求复合函数的定义域?
义域是_____________。
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定
义域了吗?
12. 反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
13. 反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
14. 如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?
∴……)
15. 如何利用导数判断函数的单调性?
值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
∴a的最大值为3)
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
注意如下结论：
(1)在公共定义域内：两个奇 函数的乘积是偶函数;两个偶函数的
乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
17. 你熟悉周期函数的定义吗?
函数，T是一个周期。)
如：
18. 你掌握常用的图象变换了吗?
注意如下“翻折”变换：
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
的双曲线。
应用：①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系
——二次方程
②求闭区间[m，n]上的最值。
③求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质! (注意底数的限定!)
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
20. 你在基本运算上常出现错误吗?
21. 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗?
(二次函数法 (配方法)，反函数法，换元法，均值定理法，判别式
法，利用函数单调性法，导数法等。)
如求下列函数的最值：
23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α，半径为R的弧长公
式和扇形面积公式吗?
24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写
出单调区间、对称点、对称轴吗?
(x，y)作图象。
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一
个三角函数值，再判定角的范围。
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意(到)运用函数的有
界性了吗?
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗?
(平移变换、伸缩变换)
平移公式：
图象?
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
理解公式之间的联系：
应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求：项数最少、函数
种 类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。)
具体方法：
(2)名的变换：化弦或化切
(3)次数的变换：升、降幂公式
(4)形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角
转化，而解斜三角形?
(应用：已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34. 不等式的性质有哪些?
答案：C
35. 利用均值不等式：
值?(一正、二定、三相等)
注意如下结论：
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗?
(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)
并注意简单放缩法的应用。
(移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结
果。)
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右
上方开始
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解?
(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。)
证明：
(按不等号方向放缩)
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么?(可转化为最值
问题，或“△”问题)
43. 等差数列的定义与性质
0的二次函数)
项，即：
44. 等比数列的定义与性质
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?
例如：(1)求差(商)法
解：
[练习]
(2)叠乘法
解：
(3)等差型递推公式
[练习]
(4)等比型递推公式
[练习]
(5)倒数法
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?
例如：(1)裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现
成对互为相反数的项。
解：
[练习]
(2)错位相减法：
(3)倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列
相加。
[练习]
48. 你知道储蓄、贷款问题吗?
△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
△若按复利，如贷款问题 ——按揭贷款的每期还款计算模型(按
揭贷款——分期等额归还本息的借款种类)
若贷款 (向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算
起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此 下去，第n次还清。如果
每期利率为r(按复利)，那么每期应还x元，满足
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排
列，无序组合。
(2)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的
顺序排成一
(3)组合：从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组，叫
做从n个不
50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多 元问题
分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法，数量不大
时可以逐一排出结 果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( )
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可分成两类：
(2)中间两个分数相等
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，
4，3种，∴有10种。
∴共有5+10=15(种)情况
51. 二项式定理
性质：
(3)最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大
且为第
表示)
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?
的和(并)。
(5)互斥事件(互不相容事件)：“A与B不能同时发生”叫做A、B
互斥。
(6)对立事件(互逆事件)：
(7)独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两
个事件叫做相互独立事件。
53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法，
即
(5)如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试
验中A恰好发生
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
(1)从中任取2件都是次品;
(2)从中任取5件恰有2件次品;
(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;
解析：有放回地抽取3次(每次抽1件)，∴n=103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取(有顺序)
分清(1)、(2)是组合问题，(3)是可重复排列问题，(4)是无重复排
列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常
用于总体个数较少时，它的特征是 从总体中逐个抽取;系统抽样，常
用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取< br>一个;分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明
显差异，它们的共同特征是每 个个体被抽到的概率相等，体现了抽样
的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计— —用样本的频率作为总体的概率，用样
本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
(2)决定组距和组数;
(3)决定分点;
(4)列频率分布表;
(5)画频率直方图。
如：从10名女生与5 名男生中选6名学生参加比赛，如果按性
别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为_________ ___。
56. 你对向量的有关概念清楚吗?
(1)向量——既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
(6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(7)向量的加、减法如图：
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
的一组基底。
(9)向量的坐标表示
表示。
57. 平面向量的数量积
数量积的几何意义：
(2)数量积的运算法则
[练习]
答案：
答案：2
答案：
58. 线段的定比分点
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线面平行的判定：
线面平行的性质：
三垂线定理(及逆定理)：
线面垂直：
面面垂直：
60. 三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角θ，0° (2)直线与平面所成的角θ，
0°≤θ≤90°
(三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥ β于B，作BO⊥棱于O，连
AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。)
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。
[练习]
(1)如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O
点任一直线。
(2) 如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1=8，BD1
与侧面B1BCC1所成的为 30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角;
②求异面直线BD1和AD所成的角;
③求二面角C1—BD1—B1的大小。
( 3)如图ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD⊥面ABCD，且PD=AD，
求面PAB与面PC D所成的锐二面角的大小。
(∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB， 则
PF为面PCD与面PAB的交线……)
61. 空间有几种距离?如何求距离?
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点 的距离，构造三角形，解三角形求线段的
长(如：三垂线定理法，或者用等积转化法)。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：
(1)点C到面AB1C1的距离为___________;
(2)点B到面ACB1的距离为____________;
(3)直线A1D1到面AB1C1的距离为____________;
(4)面AB1C与面A1DC1的距离为____________;
(5)点B到直线A1C1的距离为_____________。
62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质?
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
它们各包含哪些元素?
63. 球有哪些性质?
(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要
找球心角!
(3)如图，θ为纬度角，它是线面成角;α为经度角，它是面面成角。
(5)球内接长方体的对 角线是球的直径。正四面体的外接球半径R
与内切球半径r之比为R：r=3：1。
积为( )
答案：A
64. 熟记下列公式了吗?
(2)直线方程：
65. 如何判断两直线平行、垂直?
66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系?
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?
68. 分清圆锥曲线的定义
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的 方程，要注意
其二次项系数是否为零?△≥0的限制。(求交点，弦长，中点，斜率，
对称存在 性问题都在△≥0下进行。)
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗?
如：
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准
线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
答案：
73. 如何求解“对称”问题?
(1)证明曲线C：F(x，y)=0关于点M(a，b)成中心对称， 设A(x，
y)为曲线C上任意一点，设A’(x’，y’)为A关于点M的对称点。
75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。
(直接法、定义法、转移法、参数法)
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直
线，在可行域内平移直 线，求出目标函数的最值。
高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
, .
2.德摩根公式
.
3.包含关系
4.容斥原理
.
5.集合 的子集个数共有 个;真子集有 –1个;非空子集有 –1个;
非空的真子集有 –2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
(2)顶点式
(3)零点式 .
7.解连不等式 常有以下转化形式
.
8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个
必要而不是充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价
于 ,或 且 ,或 且 .
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取
得，具体如下：
(1)当a>0时，若 ，则
， ， .
(2)当a 10.一元二次方程的实根分布
依据：若 ，则方程 在区间 内至少有一个实根 .
设 ，则
(1)方程 在区间 内有根的充要条件为 或
(2)方程 在区间 内有根的充要条件为 或 或 或
(3)方程 在区间 内有根的充要条件为 或 .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间 的子区间 (形如 ， ， 不同)上含参数的二次不
等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .
(2)在给定区间 的子区间上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成
立的充要条件是 .
(3) 恒成立的充要条件是 或 .
12.真值表
p q 非p p或q p且q
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有 个
至多有( )个
小于 不小于 至多有 个
至少有( )个
对所有 ，
成立 存在某 ，
不成立
或
且
对任何 ，
不成立 存在某 ，
成立
且
或
14.四种命题的相互关系
原命题 互逆
若p则q
互 互
互 为 为
否
逆 逆
否 否
否命题
若非p则非q 互逆
15.充要条件
(1)充分条件：若 ，则 是 充分条件.
逆命题
若q则p
互
否
逆否命题
若非q则非p






(2)必要条件：若 ，则 是 必要条件.
(3)充要条件：若 ，且 ，则 是 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件;反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设 那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数;如果 ，则 为
减函数.
17.如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减
函数; 如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 是
增函数.
18.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过
来，如果一个函数的图象关 于原点对称，那么这个函数是奇函数;如
果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.
19.若函数 是偶函数，则 若函数 是偶函数，则 .
20.对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是函数 两个函数 与
的图象关于直线 对称.
21.若 ,则函数 的图象关于点 对称; 若 ,则函数 为周期为 的周
期函数.
22.多项式函数 的奇偶性
多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数 的图象的对称性
(1)函数 的图象关于直线 对称
.
(2)函数 的图象关于直线 对称
.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.
(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.
(3)函数 和 的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象;若
将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象.
26.互为反函数的两个函数的关系
.
27.若函数 存在反函数,则其反函数为 ,并不是 ,而函数 是 的反
函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数 , .
(2)指数函数 , .
(3)对数函数 , .
(4)幂函数 , .
(5)余弦函数 ,正弦函数 ， ，
.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
(1) ，则 的周期T=a;
(2) ，
或 ，
或 ,
或 ,则 的周期T=2a;
(3) ，则 的周期T=3a;
(4) 且 ，则 的周期T=4a;
(5)
,则 的周期T=5a;
(6) ，则 的周期T=6a.
30.分数指数幂
(1) ( ，且 ).
(2) ( ，且 ).
31.根式的性质
(1) .
(2)当 为奇数时，
当 为偶数时， .
32.有理指数幂的运算性质
(1) .
(2) .
(3) .
注： 若a>0， p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述
有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
.
34.对数的换底公式
( ,且 , ,且 , ).
推论 ( ,且 , ,且 , , ).
35.对数的四则运算法则
若a>0，a≠1，M>0，N>0，则
(1)
(2)
(3) .
36.设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ，且 若 的值域为 ,则 ，且 .
对于 的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
若 , , , ,则函数
(1)当 时,在 和 上 为增函数.
， (2)当 时,在 和 上 为减函数.
推论:设 ， ， ，且 ，则
(1) .
(2) .
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为 ，则对于时间 的总
产值 ，有 .
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列 的前n项的和为 ).
40.等差数列的通项公式

其前n项和公式为
.
41.等比数列的通项公式

其前n项的和公式为
或 .
42.等比差数列 : 的通项公式为

其前n项和公式为
.
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).
44.常见三角不等式
(1)若 ，则 .
(2) 若 ，则 .
(3) .
45.同角三角函数的基本关系式
， = ， .
46.正弦、余弦的诱导公式
47.和角与差角公式
;

.
(平方正弦公式);
.
= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
. .
50.三角函数的周期公式
函数 ，x∈R及函数 ，x∈R(A,ω, 为常数，且A≠0，
期 函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0，ω>0)的周期 .
ω>0)的周
51.正弦定理
.
52.余弦定理
;

.
53.面积定理
(1) ( 分别表示a、b、c边上的高).
(2) .
(3) .
54.三角形内角和定理
在△ABC中，有
.
55. 简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.
56.最简单的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律：
(1) a?b= b?a (交换律);
(2)( a)?b= (a?b)= a?b= a?( b);
(3)(a+b)?c= a ?c +b?c.
59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2.
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
60.向量平行的坐标表示
设a= ,b= ，且b 0，则a b(b 0) .
53. a与b的数量积(或内积)
a?b=|a||b|cosθ.
61. a?b的几何意义
数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘
积.
62.平面向量的坐标运算
(1)设a= ,b= ，则a+b= .
(2)设a= ,b= ，则a-b= .
(3)设A ，B ,则 .
(4)设a= ，则 a= .
(5)设a= ,b= ，则a?b= .
63.两向量的夹角公式
(a= ,b= ).
64.平面两点间的距离公式
=
(A ，B ).
65.向量的平行与垂直
设a= ,b= ，且b 0，则
A||b b=λa .
a b(a 0) a?b=0 .
66.线段的定比分公式
设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且
( ).
，则
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC的重心的坐标
是 .
68.点的平移公式
.
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，
且 的坐标为 .
69.“按向量平移”的几个结论
(1)点 按向量a= 平移后得到点 .
(2) 函数 的图象 按向量a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式
为 .
(3) 图象 按向量a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数
解析式为 .
(4)曲线 : 按向量a= 平移后得到图象 ,则 的方程为 .
(5) 向量m= 按向量a= 平移后得到的向量仍然为m= .
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则
(1) 为 的外心 .
(2) 为 的重心 .
(3) 为 的垂心 .
(4) 为 的内心 .
(5) 为 的 的旁心 .
71.常用不等式：
(1) (当且仅当a=b时取“=”号).
(2) (当且仅当a=b时取“=”号).
(3)
(4)柯西不等式
(5) .
72.极值定理
已知 都是正数，则有
(1)若积 是定值 ，则当 时和 有最小值
(2)若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .
推广 已知 ，则有
(1)若积 是定值,则当 最大时, 最大;
当 最小时, 最小.
(2)若和 是定值,则当 最大时, 最小;
当 最小时, 最大.
73.一元二次不等式 ，如果 与 同号，则其解集在两根之外;如果
与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之
间.

.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
.
或 .
75.无理不等式
(1) .
(2) .
(3) .
76.指数不等式与对数不等式
(1)当 时,

.
(2)当 时,

77.斜率公式
( 、 ).
78.直线的五种方程
(1)点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 ).
(2)斜截式 (b为直线 在y轴上的截距).
(3)两点式 ( )( 、 ( )).
(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距，
(5)一般式 (其中A、B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若 ，
)
①
② .
(2)若 , ,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①
②
80.夹角公式
(1) .
( ， , )
(2) .
( , , ).
直线 时，直线l1与l2的夹角是 .
81. 到 的角公式
(1) .
( ， , )
(2) .
( , , ).
直线 时，直线l1到l2的角是 .
82.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点 的直线系方程为 (除直线 ),其中
是待定的系数; 经过定点 的直线系方程为 ,其中 是待定的系数.
(2)共点直线系方程：经过两直线 , 的交点的直线系方程为
(除 )，其中λ是待定的系数.
(3)平行直线系方程：直线 中当斜率k一定而b变动时，表示平
行直线系方程.与直线 平行的直线系方程是 ( )，λ是参变量.
(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是 ,λ
是参变量.
83.点到直线的距离
(点 ,直线 ： ).
84. 或 所表示的平面区域
设直线 ，则 或 所表示的平面区域是：
若 ，当 与 同号时，表示直线 的上方的区域;当 与 异号时，
表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若 ，当 与 同号时，表示直线 的右方的区域;当 与 异号时，
表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85. 或 所表示的平面区域
设曲线 ( )，则
或 所表示的平面区域是：
所表示的平面区域上下两部分;
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
(1)圆的标准方程 .
(2)圆的一般方程 ( >0).
(3)圆的参数方程 .
(4)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ).
87. 圆系方程
(1)过点 , 的圆系方程是
,其中 是直线 的方程,λ是待定的系数.
(2)过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程是 ,λ是待定的系数.
(3) 过圆 : 与圆 : 的交点的圆系方程是 ,λ是待定的系数.
88.点与圆的位置关系
点 与圆 的位置关系有三种
若 ，则
点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线 与圆 的位置关系有三种:


.
其中 .
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，




.
91.圆的切线方程
(1)已知圆 .
①若已知切点 在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当 圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程.
②过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求k，这时
必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为 ，再利用相切条件求b，必有两
条切线.
(2)已知圆 .
①过圆上的 点的切线方程为
②斜率为 的圆的切线方程为 .
92.椭圆 的参数方程是 .
93.椭圆 焦半径公式
， .
94.椭圆的的内外部
(1)点 在椭圆 的内部 .
(2)点 在椭圆 的外部 .
95. 椭圆的切线方程
(1)椭圆 上一点 处的切线方程是 .
(2)过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是
.
(3)椭圆 与直线 相切的条件是 .
96.双曲线 的焦半径公式
， .
97.双曲线的内外部
(1)点 在双曲线 的内部 .
(2)点 在双曲线 的外部 .
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线方程为 渐近线方程： .
(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .
(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 ( ，焦点在x轴上， ，
焦点在y轴上).
99. 双曲线的切线方程
(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .
(2)过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是
.
(3)双曲线 与直线 相切的条件是 .
100. 抛物线 的焦半径公式
抛物线 焦半径 .
过焦点弦长 .
101.抛物线 上的动点可设为P 或 P ，其中 .
102.二次函数 的图象是抛物线：(1)顶点坐标为 (2)焦点的坐标
为 (3)准线方程是 .
103.抛物线的内外部
(1)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
(2)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
(3)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
(4) 点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
104. 抛物线的切线方程
(1)抛物线 上一点 处的切线方程是 .
(2)过抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
(3)抛物线 与直线 相切的条件是 .
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线 , 的交点的曲线系方程是
( 为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 ,其中 .当 时,表示椭圆; 当
时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或
(弦端点A ，由方程 消去y得到 ， , 为直线 的倾斜角， 为直
线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题
(1)曲线 关于点 成中心对称的曲线是 .
(2)曲线 关于直线 成轴对称的曲线是
.
108.“四线”一方程
对于一般的二次曲线 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代
即得方程
，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.
109.证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;
(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;
(4)转化为线面垂直;
(5)转化为面面平行.
110.证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
111.证明平面与平面平行的思考途径
(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;
(3)转化为线面垂直.
112.证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为线与另一线的射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
113.证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114.证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a+b=b+a.
(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
(3)数乘分配律：λ(a+b)=λa+λb.
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之 和，等于以这三个向
量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b 存在实数λ使a=λb.
三点共线 .
、 共线且 不共线 且 不共线.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的 存在实数对 ,使 .
推论 空间一点P位于平面MAB内的 存在有序实数对 ,使 ，
或对空间任一定点O，有序实数对 ，使 .
119.对空间任一点 和不共线的三点A、B、C，满足 ( )，则当 时，
对于空间任一点 ，总有P、A、B、C四点共面;当 时，若 平面ABC，
则P、A、B、C四点共面;若 平面ABC，则P、A、B、C四点不共
面.
四点共面 与 、 共面
( 平面ABC).
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么 对空间任一向量p，存在一
个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc.
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都
存在唯一的三个有序实数x，y，z，使 .
121.射影公式
已知向量 =a和轴 ，e是 上与 同方向的单位向量.作A点在 上
的射影 ，作B点在 上的射影 ，则
〈a，e〉=a?e
122.向量的直角坐标运算
设a= ，b= 则
(1)a+b=
(2)a-b=
(3)λa= (λ∈R);
(4)a?b=
123.设A ，B ，则
= .
124.空间的线线平行或垂直
设 ， ，则

.
125.夹角公式
设a= ，b= ，则
cos〈a，b〉= .
推论 ，此即三维柯西不等式.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体 中, 与 所成的角为 ,则
.
127.异面直线所成角
=
(其中 ( )为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量)
128.直线 与平面所成角
( 为平面 的法向量).
129.若 所在平面若 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面
成的角分别是 、 , 为 的两个内角，则
.
特别地,当 时,有
.
130.若 所在平面若 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面
成的角分别是 、 , 为 的两个内角，则
.
特别地,当 时,有
.
131.二面角 的平面角
或 ( ， 为平面 ， 的法向量).
132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO
与AB所成的角为 ，AB与AC所成的角为 ，AO与AC所成的角为 .
则 .
133. 三射线定理
若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成
的角是 , ,与二面角的棱所成的角是θ，则有
(当且仅当 时等号成立).
134.空间两点间的距离公式
若A ，B ，则
= .
135.点 到直线 距离
(点 在直线 上，直线 的方向向量a= ，向量b= ).
136.异面直线间的距离
( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 分别是 上任一点， 为 间
的距离).
137.点 到平面 的距离
( 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ).
138.异面直线上两点距离公式
.
.
( ).
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段 的长度为h.在直
线a、b上分别取两点E、F， , , ).
139.三个向量和的平方公式
140. 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分
别为 ，夹角分别为 ,则有
.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
141. 面积射影定理
.
(平面多边形及其射影的面积分别是 、 ，它们所在平面所成锐
二面角的为 ).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是 和 ,它的直截面
的周长和面积分别是 和 ,则
① .
② .
143.作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相
平行.
144.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比
(对应角相等，对应边对应成比 例的多边形是相似多边形，相似多边
形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积 的
比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.
145.欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
(1) =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 的多
边形，则面数F与棱数E的关系：
(2)若每个顶点引出的棱数为 ，则顶点数V与棱数E的关系： .
146.球的半径是R，则
其体积 ,
其表面积 .
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直
径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对
角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 .
148.柱体、锥体的体积
( 是柱体的底面积、 是柱体的高).
( 是锥体的底面积、 是锥体的高).
149.分类计数原理(加法原理)
.
150.分步计数原理(乘法原理)
.
151.排列数公式
= = .( ， ∈N*，且 ).
注:规定 .
152.排列恒等式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) .
(6) .
153.组合数公式
= = = ( ∈N*， ，且 ).
154.组合数的两个性质
(1) = ;
(2) + = .
注:规定 .
155.组合恒等式
(1)
(2)
(3)
(4) =
(5) .
(6) .
(7) .
(8) .
(9) .
(10) .
156.排列数与组合数的关系
.
157.单条件排列
以下各条的大前提是从 个元素中取 个元素的排列.
(1)“在位”与“不在位”
①某(特)元必在某位有 种;②某(特)元不在某位有 (补集思想)
(着眼位置) (着眼元素)种.
(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
①定位紧贴： 个元在固定位的排列有 种.
②浮动紧贴： 个元素的全排列把k个元排在一起的排法有 种.
注：此类问题常用捆绑法;
③插空：两组元素分别有k、h个( )，把它们合在一起来作全排
列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有 种.
(3)两组元素各相同的插空
个大球 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法?
当 时，无解;当 时，有 种排法.
(4)两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分
别相同的排列数为 .
158.分配问题
(1)(平均分组有归属问题)将相异的 、 个物件等分给 个人，各
得 件，其分配方法数共有 .
(2)(平均分组无归属问题)将相异的 ? 个物体等分为无记号或无
顺序的 堆，其分配方法数共有
.
(3)(非平均分组有归属问题)将相异的 个物体分给 个人，物件必
须被分完，分别得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 这 个数彼此不
相等，则其分配方法数共有 .
(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 个物体分给 个人，物
件必须被分完，分别得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 这 个数中
分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有 .
(5)(非平均分组无归属问题)将相异的 个物体分为任意
的 ， ，…， 件无记号的 堆，且 ， ，…， 这 个数彼此不相等，
则其分配方法数有 .
(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 个物体分为任意
的 ， ，…， 件无记号的 堆，且 ， ，…， 这 个数中分别有a、
b、c、…个相等，则其分配方法数有 .
(7)(限定分组有归属问题)将相异的 ( )个物体分给甲、乙、
丙，……等 个人，物体必须被分完，如果指定甲得 件，乙得 件，
丙得 件，…时，则无论 ， ，…， 等 个数是否全相异或不全相异
其分配方法数恒有
.
159.“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信 封信与 个信封全部错位的组合数为
.
推广: 个元素与 个位置,其中至少有 个元素错位的不同组合总
数为
.
160.不定方程 的解的个数
(1)方程 ( )的正整数解有 个.
(2) 方程 ( )的非负整数解有 个.
(3) 方程 ( )满足条件 ( , )的非负整数解有 个.
(4) 方程 ( )满足条件 ( , )的正整数解有 个.
161.二项式定理
二项展开式的通项公式
.
162.等可能性事件的概率
.
163.互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A+B)=P(A)+P(B).
164. 个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
165.独立事件A，B同时发生的概率
P(A?B)= P(A)?P(B).
个独立事件同时发生的概率
P(A1? A2?…? An)=P(A1)? P(A2)?…? P(An).
次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
168.离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)
(2) .
169.数学期望
170.数学期望的性质
(1) .
(2)若 ～ ,则 .
(3) 若 服从几何分布,且 ，则 .
171.方差
172.标准差
= .
173.方差的性质
(1)
(2)若 ～ ，则 .
(3) 若 服从几何分布,且 ，则 .
174.方差与期望的关系
.
175.正态分布密度函数
，式中的实数μ， ( >0)是参数，分别表示个体的平均数与标准
差.
176.标准正态分布密度函数
.
177.对于 ，取值小于x的概率
.
.
178.回归直线方程
，其中 .
179.相关系数
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大;|r|越接近于0，相关程度越
小.
180.特殊数列的极限
(1) .
(2) .
(3) ( 无穷等比数列 ( )的和).
181. 函数的极限定理
.
182.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：
(1)
(2) (常数),
则 .
本定理对于单侧极限和 的情况仍然成立.
183.几个常用极限
(1) ， ( );
(2) ， .
184.两个重要的极限
(1)
(2) (e=…).
185.函数极限的四则运算法则
若 ， ，则
(1)
(2)
(3) .
186.数列极限的四则运算法则
若 ，则
(1)
(2)
(3)
(4) ( c是常数).
187. 在 处的导数(或变化率或微商)
.
188.瞬时速度
.
189.瞬时加速度
.
190. 在 的导数
.
191. 函数 在点 处的导数的几何意义
函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，相应的切线
方程是 .
192.几种常见函数的导数
(1) (C为常数).
(2) .
(3) .
(4) .
(5) .
(6) .
193.导数的运算法则
(1) .
(2) .
(3) .
194.复合函数的求导法则
设函数 在点 处有导数 ，函数 在点 处的对应点U处有导数 ，
则复合函数 在点 处有导数，且 ，或写作 .
195.常用的近似计算公式(当 充小时)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) ( 为弧度);
(6) ( 为弧度);
(7) ( 为弧度)
196.判别 是极大(小)值的方法
当函数 在点 处连续时，
(1)如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极大值;
(2)如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极小值.
197.复数的相等
.( )
198.复数 的模(或绝对值)
= = .
199.复数的四则运算法则
(1)
(2)
(3)
(4) .
200.复数的乘法的运算律本 文说课稿由小编为您整理编辑，来源
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对于任何 ，有
交换律: .
结合律: .
分配律: .
201.复平面上的两点间的距离公式
( ， ).
202.向量的垂直
非零复数 ， 对应的向量分别是 ， ，则
的实部为零 为纯虚数
(λ为非零实数).
203.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程 ，
①若 ,则
②若 ,则
③若 ，它在实数集 内没有实数根;在复数集 内有且仅有两个共
轭复数根 .