公式种类高中数学经典解题技巧和方法：三角变换与解三角形.

高中数学经典解题技巧：三角变换与解三角形
一、三角变换及求值
解题技巧： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形
（1）
（2）角的变换
；
；
（3）。
2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类
型：
（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式
的值；
（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式
的值；
（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。
例1：已知向量
(Ⅰ求tanA的值； (Ⅱ求函数
解析：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
,且
R的值域

因为xR,所以.当时，f(x有最大值，
当sinx=-1时，f(x有最小值-3
所以所求函数f(x的值域是
二、正、余弦定理的应用

解题技巧：1． 在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是
在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻 注意它重要性：一是作为三角形问
题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的 性质，及
时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只
是角的 范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三
统一”，即“统一角、统一函数 、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。
2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该 角不一定是锐角，也
可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问
题，应尽量避免求正弦 值。
例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C
的对边，且

（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函
数的最值。 < br>【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，
再由余弦定理求 角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求< br>出最值
【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即 由余弦定理得 故 ，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】

(1利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换
sinB,用c替换si nC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反
之，用角的正弦替换边时也要 这样，不能只替换一部分。
(2以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C
＝60°
三、三角函数的实际应用
例3：（2010·江苏高考·Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单
位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=
∠A DE=。
，
(1该小组已测得一组、的值，算出了
tan=1.24，tan=1. 20，请据此算出H的值；
(2该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（ 单
位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为
-最大？ 125m ，试问d为多少时，
【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
【思路点拨】（1）分别利用
解；
（2）利用基本不等式求解.
表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求
【规范解答】（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，

，（当且仅当
取等号）
故当时，最大。
时，
因为
大。
故所求的是
，则，由的单调性可知：当时，-最
m。
的结果等于（ ） 例4．（2010·福建高考文科·Ｔ2）计算
A. B. C. D.
【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化
简求值。
【思路点拨】 直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。
【规范解答】选B，。
【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的
恒等变换。如 倍角公式：，
的逆用公式为“降幂公式”，即为
，
形中，降幂公式的起着重要的作用。
例5．（2010 海南宁夏高考理科T16）在
BD=DC,=120°，AD=2，若的面 积为
，在三角函数的恒等变
中，D为边BC上一点，
，则= .
【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.
【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解.
【规范解答】设，则，由的面积为可知
，可得，由余弦定理可知
，所以
，所以
由
可求得
【答案】60°

，及
【方 法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的
关系，列出等式求解. < br>例6．（2010·天津高考理科·Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是
a,b, c，若，，则A= (
（A） （B） （C） （D）
【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问
题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A，根据正弦定理及得：
，
。
【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边
转化为角。
例7．（2010·天津高考理科·Ｔ１7）已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【 命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数
的性质、同角三角函数的基本 关系、两角差的余弦等基础知识，
考查基本运算能力。
【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角，
【规范解答】（1）由，得

所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，所以函数
值为-1
在区间上的最大值为2，最小
（Ⅱ）由（1）可知 又因为，所以

由，得从而
所以