对数公式换底公式三角公式之“三角三姊妹”应用

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三角公式之“三角三姊妹”应用

作者：郑光耀

来源：《新课程学习·下》2015年第01期

我们课本上的一道题：已知sinθ+cosθ=■，求sin2θ的值。现将sinθ+cosθ=■两边平方 ，易
得sin2θ=-■。
顺水推舟，由2sinθcosθ=-■两边乘以-1后再加1得（sinθ-cosθ）2=■，
解方程组sinθ+cosθ=■sinθ-cosθ=■或sinθ+cosθ=■sinθ-cosθ=-■
得sinθ=■cosθ=■或sinθ=■cosθ=■
不难发现sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ之间有着知其一可求其二的密切关系，进 而可求
sinθ与cosθ的值，从而求出θ的任一三角函数值，其中sinθcosθ起着纽带的作用 。应用这一关
系可以巧妙地解决一类相关问题。
例1.函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值为_________。
解：设t=sinx+cosx=■sin（x+■），则-■≤t≤■。
又sinxcosx=■，
那么y=sinx+cosx+sinxcosx=t+■=■（t+1）2-1，
所以当t=■时，y有最大值■+■。
例2.求f（θ）=■（0≤θ≤■）的最大值和最小值。
解：设t=sinθ+cosθ=■sin（θ+■），
由0≤θ≤■，得■≤θ+■≤■，则1≤t≤■，
又由（sinθ+cosθ）2=t2，得2sinθcosθ=t2-1，
所以f（t）=■=2（t-1）-■，
当1≤t≤■时，利用单调性定义容易证 明f（t）是[1，■]上的增函数，所以f（1）≤f（t）≤f
（■），即-■≤f（t）≤■-1 。
故函数f（θ）有最大值■-1，最小值-■。