近似值公式人教A版高中数学必修二两点间的距离教案(1)

两点间距离

教学目标
1．使学生理解并掌握平面上任意两点间的距离公式．
2．使学生初步了解解析法证明．
3．①教学中渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想．
②“数”和“形”结合转化思想．
③鉴赏公式蕴含的数学美．
教学重点与难点
重点 猜测两点间的距离公式．
难点 理解公式证明分成两种情况．
教学过程
师：上节我们学习了有向线段，现 在有问题是：如果A、B是x轴上两点，C、
D是y轴上两点，它们坐标分别是x
A
、 x
B
、y
C
、y
D
，那么|AB|、|CD|又怎样求？
生：|AB|=|x
B
-X
A
|，|CD|=|y
C
-y
D
|．
师：现在再请同学们解如下两题．

①求B(3，4)到原点的距离．
②设A(x
1
，y
1
) ；B(x
2
，y
2
)，求|AB|．
生：B到原点距离是5．
师：你是怎么得出来的？

生：我是通过观察图形，发现一个Rt△BMO，应用勾 股定理得到的．(注：
为②猜想打基础．)
师：请同学们猜猜②题的结果？

丁：

师：哪个公式对呢？或问甲、乙、丙…怎么猜出来的．
生甲：利用①题求出A点到原点距离加上B点到原点距离．
(其他学生讨论反向原点O在P< br>1
、P
2
直线上吗？引导讨论达到认同

师：我们来欣赏和考验它的正确性．
① 按距离要求它大于等于零，是这样吗？
生：是．
② |AB|=|BA|．公式满足吗？
生：满足．
师：用猜出公式检验①题．

师：当AB平行于x轴或平行于y轴，公式还适用吗？


师：这就增强了我们猜想公式的信心．那么我们应该对公式从理论上加以证
明．应该怎么办？
生：证明时要构造Rt△．
师：总能构造Rt△吗？
生：当AB平行于x轴或AB平行于y轴时不行．
师：那么AB不平行于x轴或y轴任意两点总能构造Rt△吗？
生：可以．
师：好 ！要求我们证明时分两种情况：①两点连线平行x轴或y轴时；②两
点连线不平行于x轴或y轴．下面， 我们来求平面上任意两点间的距离．(教师
在黑板上画图，学生完成证明过程．)
生：在直角 坐标系中，已知两点P
1
(x
1
，y
2
)、P
2< br>(x
2
，y
2
)如图：从P
1
、P
2
分别
向x轴和y轴作垂线P
1
M
1
、P
1
N1
和P
2
M
2
、P
2
N
2
， 垂足分别为M
1
(x
1
，0)、N
2
(0，y
1< br>)、
M
2
(x
2
，0)、N
2
(0，y2
)，其中直线P
1
N
1
和P
2
M
2
相交于点Q．

在Rt△P
1
QP
2
中， |P
1
P
2
|
2
=|P
1
Q|
2
+|QP
2
|
2
．因为 |P
1
Q|=|M< br>1
M
2
|=|x
2
-x
1
|，|QP
2
|=|N
1
N
2
|=|y
2
-y
1< br>|，所以
|P
1
P
2
|
2
=|x
2
-x
1
|
2
+|y
2
-y
1
|< br>2
．
由此得到两点P
1
(x
1
，y
1)、P
2
(x
2
，y
2
)的距离公式：


师：同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的．(回
忆过程)
①我们先计算在x轴和y轴两点间的距离．②又问了B(3．4)到原点的距离，
发现了Rt△ ．③猜想了任意两点距离公式．④最后求平面上任意两点间的距离
公式．这种由特殊到一般，由特殊猜测 任意的思维方式是数学发现公式或定理到
推导公式、证明定理经常应用的方法．同学们在做数学题可以采 用！下面对两点
间的距离公式应该进一步理解和鉴赏它．



对任何长度单位都适用吗？答案也是肯定的，说明公式应用的广泛性．
④当P
1
、 P
2
点同时平移时，不论 P
1
P< br>2
落在什么位置，|P
1
P
2
|有变化吗？答案
也是 肯定的，又说明了公式的任意性．
⑤对于这个公式的重要性：公式是解析几何的基础知识，基本公式． 它对以
后继续学习研究解析几何问题有着广泛的用途，在以后学习任何曲线问题时都会
用到它， 在解决实际问题时也会经常用到，在今后的学习中会体会到这一点．
现在我们再看一个例子：在一个圆上，有A、B、C、D4个点，你怎样证明：

|AO|=|BO|=|CO|=|DO|=R呢？
引导学生利用三角解决．

设A(x
0
，y
0
)，∠AOM=θ．

今天我们学习了平面上两点间的距离．(教师在黑板上写上课题：两点间的
距离．)
练习：求下列坐标下的两点间的距离？

(3)有一线段的长度是13，它的一个端 点是A(-4，8)，另一个端点是B的纵
坐标3，求这个端点的横坐标？并画出这个点．

练习方式：(1)(2)学生下面做，教师叫一个或二个学生板书后，再纠正错
误．或叫学生口 述，教师板演，规范书写格式．而对于(3)应让学生先画图，再
解．
解：设B(x，3)，根据|AB|=13，
即：(x+4)
2
+(3-8)
2
=13
2
，
x
2
+8x-128=0，
解之：x
1
=8或x
2
=-16．


学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面．也可以引至到
A(-4，8)点距离等于 13的点的轨迹(或集合)是以 A点为圆心13为半径的圆上
与y=3的交点，应交出两个点．
师：两点间的距离公式能起到证明两条线段相等作用吗？我们看下面一题．
例1 △ABC 中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|
2
+|AC|
2
=2(|AD|
2
+|DC|
2
)．
师：我们先作一个三角形ABC，AD是BC 边上的中线。再想如何证明：
|AB|
2
+|AC|
2
=2( |AD|
2
+|DC|
2
)．
生：必须把△ADC放在直角坐标系内，利用距离公式．
师：如何放呢？下面可以画画坐标系．
生：在下面画，教师下面巡视，最后归纳成以下几种．

师：△ABC在坐标系中大致有以上4种，都能达到证明结论．请同学观察哪
种放法 比较简捷呢？
生：(1)(4)的放法比较好，其中(4)种最好．
师：好，哪种放法最不好？
生：(3)种放法最不好．
师：为什么？说说理由？(讨论)
生：(3) A、 B、 C坐标均不一样，字母太多，且D点坐标不知如何求？(未
学中点坐标公式．)

(2)种B、 C两点纵坐标一样．(1)种B点与原点重合B(0， 0)， D、 C坐
标 纵坐标为零，比较好，计算较简便．(4)种方法是B、D、C在x轴上，纵坐标
均为零，且B、C对称 ，横坐标互为相反数．
师：好，我们就选(4)种方法证明．再问一下A点放在y轴上不更好吗？
生：把A点放在y轴上，三角形是特殊的等腰三角形，失去一般性．
证明：取线段所在的直线 为x轴，点D为原点(O)，建立直角坐标系，设点
A的坐标为(b，c)，点C的坐标为(a，0)， 则点 B的坐标为(-a， 0)，可得：
|AB|
2
=(a+b)
2
+c
2
，|AC|
2
=(a-b)
2
+c
2，|AD|
2
=b
2
+c
2
，|OC|
2=a
2
．

所以|AB|
2
+|AC|
2< br>=2(a
2
+b
2
+c
2
)，
|AO|< br>2
+|OC|
2
=a
2
+b
2
+c
2
．
所以 |AB|
2
+|AC|
2
=2(|AD|2
+|DC|
2
)．
例2 对任意实数x
1
，x< br>2
，y
1
，y
2
下面的不等式成立：

师：这样的代数不等式通常怎样证？
生：从现在学习代数不等式的知识来看有比较法． 师：是这样，随着学习的深入，代数不等式还有综合法、分析法、放缩法、
数学归纳法、反证法、判 别式法、图象法等．
师：按距离公式，3个根式各像什么？


生：距离公式．
师：涉及到哪几个点？
生：涉及(x
1
，y1
)、(x
2
，y
2
)、(0，0)．
师：画图看看，怎样证？
生：设O(0，0)、A(x
1
，y
1< br>)、B(x
2
，y
2
)，且O、A、B构成一个三角形．

边之和大于第三边)，

师：等式如何取得？
生：当O、A、B共线且O在AB之间时：则|AB|=|OA|+|OB|．
师：当O、 A、 B 3点共线， O在AB之外时，又怎么样？
生：这时|AB|＜|OA|+|OB|．

题实际上是距离公式的逆用．我们在解数学问题时经常强调“形”到“数”
转化，而 这道题以形解数．从例1来看是用代数方法解决几何问题，起名叫做解
析法，而例2是形解数．这些都是 “数”和“形”相互转化．今后我们由它在方
程中的应用、在函数最值中应用、在证明恒等式中应用、在 三角方面的应用，可
以看出两点间的距离公式在解决数学问题中的广


的 数或形进行几何解释，利用数形结合的数学思想，借助于图形的有关性质
得出问题的解或结论．
练习：试证直角三角形斜边中线等于斜边一半．(学生自己完成)
小结：1．学习了两点间的距离公式．
2．解析法证明几何问题，建立坐标系的原则又是什么 呢？在不失一般性的
前提下：(1)设点尽可能出现对称点．(2)尽可能的把点放在坐标轴上，这样， 点
的坐标会出现有的坐标为零，优化计算．
3．学习中运用特殊到一般，再由一般到特殊的思想．还有“数”“形”结
合的数学思想．
补充作业：
1．若B、C、D在数轴上的坐标是a， 2a， 3a(a＞0)，那么求

2．在x轴上求一点P，使P点到A(-4，3)和B(2，6)两点的距离

3．判断三点A(3， 1)、 B(-2， 9)、 C(8， 11)是否共线？(答案不共线)
4．已知三点A(3，2)、B(0，5)、C(4，6)，则△ABC的形状是什么？(答案
B)
A．直角三角形． B．等边三角
形．
C．等腰三角形． D．等腰直角
三角形．
5．试证矩形的对角线相等．
设计说明
距离概念，在日常生活中时刻遇到，学生在 初中平面几何中已经学习了两点
间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离概念．到高一立体几何 中又学

习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等．其基础是两点间的
距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离．在平面直角坐标系中任意两点间
的距离是解析几何重要 的基本概念和公式．到复平面内又出现两点间距离，它为
以后学习圆锥曲线，动点到定点的距离，动点到 定直线的距离打下基础，为探求
圆锥曲线方程打下基础．例如：圆的概念是动点到定点的距离等于定长的 点的集
合．椭圆的概念是动点到两个定点距离和等于常数的点的集合．双曲线的概念以
及抛物线 的概念都涉及到距离的概念．另外，可以看出两点间距离公式为解决代
数、三角和几何问题起到了重要作 用，所以学习掌握运用两点间的距离公式的重
要性是显而易见的．
解析几何是通过代数运算来 研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，
在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想 和方法．
1．关于本节课的宏观想法
从本节课的内容，即平面内两点间的距离公式及应用公 式解题，来了解解析
法证明．初步会用解析法证明简单的几何题．因而确定的教学目标是从教材的性质确定本节课是概念及公式的推导课．而重点是掌握两点间的距离公式，所以采
用了“归纳—演译” ，渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的方法．同时充分利
用了数形转化，以形促数、以数找形的数学思 想和方法．
确定导入课是在上节有向线段的长度基础上提出一个问题，即A、B是x轴
上两点 ，C、D是y轴上两点，求|AB|及|CD|？再引出一个特殊点B(3， 4)到原
点距离，让学生 观察图形发现Rt△，利用勾股定理解决，为猜想两点间的距离
公式和推导打下基础．再提出任意两点A (x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)，如 何求|AB|．让学
生猜想，引导到正确公式中来．应该在猜想的教学环节上下功夫．在猜出公式后及时引导学生欣赏和考验它的正确性．由此说明公式普遍性及特殊性都适用，才
称其为公式．在经过 严格的理论推导出公式才能成为真理．更深一层引导同学理
解和鉴赏公式．让学生在学数学时更重要的是 学会数学思维方法，在得到公式时
不要到此而止，还要进一步理解它，鉴赏它，使学生体会到数学的美． 解析法证
明为几何证明又开辟了新的途径是本节的难点，特别是如何建立坐标系，比较它
优劣， 在小结中总结出建立坐标系的一般原则，使学生初步了解解析法证明．对
于例2代数不等式的证明，其目 的是以形解数，如果利用代数中的比较法、综合
法、逆证法等都是不能很快解决的，但这个题要根据所授 学生的实际决定取舍．
2．教学微观想法
两点间的距离公式的导出以及它的应用解题，从问 题的提出开始，尽可能地
让学生参与知识的产生及形成过程，充分发挥学生的主体作用，要全方位、分层
次参与任何问题结论的得出都由学生自己完成，教师只起到点拨作用．在有可能
的情况下可以用 电脑提高动画效果．例：A、B平行移动，解析几何证明坐标系
的选择、代数不等式中三角形的变化等． 这样，学生真正参与概念的建立、公式
推导探索过程，从而体会获取知识的乐趣，成为“生产”知识的主 人．
3．教学情境设计的想法

以提出问题导入新课，每个问题又尽可能地让学生 动脑、动手、动口，去发
现、去猜想、去在理论上推导，所有的机会都给学生，同时又及时小结数学思想
和方法，思维策略，以及相互转化，都会极大地调动学生学习的积极性．另外，
又因为每个学生 实际情况有差异，学生参与要分层次进行．
对课内练习及课外作业要求来讲，教学任务要保底但不封顶 ，所以要结合自
己学生的实际情况，有选择去练习，以达到掌握本节课内容的主要目标．本节课
主要掌握两点间距离公式及应用．在应用涉及到其他知识，例如三角知识，或数
字带根号的等，首先要保 底，不要理它，但基础好的学生也可以增加涉及其他知
识范围．例如在例2代数不等式中，教案教师问了 这样的代数不等式怎样证？是
从代数角度考虑如何证它．但学生没有学习到代数不等式这章，则可以改变 问法．
(北京市新源里中学 谭志敏)